四个函数描述修改引力，以及它什么时候稳定

这一章接着增长和透镜怎样感受引力。假定你熟悉以 $\ln a$ 为自变量的增长方程，也不怕多个符号的代数运算。读完应该能说出每个函数管什么，在两个能手算的极限下推出稳定条件，并算出 Lab 默认宇宙的 $\mu$ 和 $\Sigma$。

一个标量场，四个函数

Horndeski 理论是只含一个标量场和度规、运动方程仍保持二阶的最一般的理论。Bellini 和 Sawicki 证明，在宇宙学背景上，这类理论的线性扰动只取决于膨胀速率加上四个无量纲的时间函数。Bellini 和 Sawicki 2014 按 DESI 分析和 hi_class 程序的记号：

• 动能项 $\alpha_K$，是标量扰动自身的动能；
• 编织 $\alpha_B$，把标量场和度规混在一起，于是物质会激发标量场；
• 普朗克质量变化率 $\alpha_M=\mathrm d\ln M_*^2/\mathrm d\ln a$，描述有效普朗克质量 $M_*^2$ 变得多快，也就是引力强度本身怎样漂移；
• 张量偏离 $\alpha_T$，把引力波速度改成 $c_T^2=1+\alpha_T$。

广义相对论加任意暗能量流体，都有 $\alpha_B=\alpha_M=\alpha_T=0$。真正改变物质成团方式的，是编织和普朗克质量变化这两个。

为什么张量速度取零

2017 年，中子星并合 GW170817 的引力波和伽马射线暴 GRB 170817A 相隔 1.74 秒先后到达。这个时间差把引力速度与光速之差限制在光速的 $-3\times10^{-15}$ 到 $+7\times10^{-16}$ 之间。LIGO、Virgo、Fermi 与 INTEGRAL 2017 由于 $\alpha_T=c_T^2-1\simeq2(c_T-1)$，今天它必须在 $10^{15}$ 分之一的水平上为零。Lab 和 DESI 分析一样，取 $\alpha_T=0$。

跟着暗能量变化的时间依赖

拟合需要剩下几个函数的具体形式。常见做法是让每个函数都正比于暗能量比例：

这样，修改只在暗能量起作用时才打开。普朗克质量由变化率积分得到，Lab 规定它在 $z=30$ 时等于一：

DESI 分析固定 $c_K=0.01$。Lab 默认用 $0.1$，并把它放在高级设置里，因为在下面用到的极限中响应与它无关。Ishak 等 2024，DESI 2024 修改引力，§4.2

两个稳定条件

标量扰动满足一个波动方程，带有动能系数和声速。健康的理论要求两者都为正。Pogosian 和 Silvestri 在同一组基里给出了两者；下面的写法和 hi_class 一样，把物质项里的有效普朗克质量显式写出来。Pogosian 和 Silvestri 2016 没有鬼场，要求

没有梯度失稳，要求 $c_s^2>0$，其中

$c_s^2$ 为负不是小修正：短波长的标量起伏会指数增长，这样的宇宙学就失去意义。拟合必须排除这些参数，所以 Lab 在这里标红，而不画增长曲线。式子里的 $\alpha_K$ 只出现在 $D$ 中，而 $D$ 乘在 $c_s^2$ 前面，所以乘积 $Dc_s^2$ 与 $\alpha_K$ 无关。

极限一：只有普朗克质量在变

在宇宙学常数背景上令 $\alpha_B=0$。这时 $-\dot H/H^2=\frac32\Omega_{\mathrm m}(a)$，条件变成

两项都与 $c_M$ 同号。变化率为正，理论稳定；为负，起点之后每一刻都不稳定。今天取 $c_M=0.1$ 时，$\alpha_M=0.069$，$M_*^2=1.0398$，于是 $Dc_s^2=0.1736$；取 $c_M=-0.1$ 时为 $-0.1750$。DESI 论文对宇宙学常数背景的拟合给出同样的结论：没有编织时，稳定要求 $\alpha_M\ge0$。Ishak 等 2024，§4.2.1

极限二：只靠暗能量穿越负一

再令 $\alpha_B=\alpha_M=0$，于是 $M_*^2=1$，暗能量的 $w$ 任取。膨胀速率的斜率是 $\dot H/H^2=-\frac32[\Omega_{\mathrm m}(a)+(1+w)\Omega_{\mathrm{DE}}(a)]$。代进去，物质项正好抵消：

符号就是 $1+w$ 的符号，不管动能项多大。没有编织的单个标量场，只要 $w<-1$，声速平方就是负的，穿越 $w=-1$ 本身也不可能稳定。这就是 Vikman 的不可行定理，换成了这里的语言。Vikman 2005

对 DESI 式的背景 $w_0=-0.752$、$w_a=-0.86$，$w$ 在 $a=1-0.248/0.86$ 即 $z=0.405$ 处等于负一，更早时低于负一。公式给出的最负值是 $z=0.94$ 附近的 $Dc_s^2=-0.121$。这就是 Lab 响应图里的红色区域。

编织怎样救回穿越

打开编织以后，$(2-\alpha_B)\alpha_B/2$ 和 $\mathrm d\alpha_B/\mathrm d\ln a$ 两项加进声速。$c_B$ 取适中的正值时，在暗能量越来越重要的阶段两项都为正，足以压过为负的 $3(1+w)\Omega_{\mathrm{DE}}$。Deffayet 等人构造了明确的编织理论，可以无失稳地穿越负一。Deffayet、Pujolàs、Sawicki 和 Vikman 2010

取 $c_B=1.25$、$c_M=0.33$，这是 DESI 在变化暗能量背景上拟合的中心值，把它们放到 Lab 的 DESI 式背景上。在 $z=0.94$ 处条件变成 $Dc_s^2=0.797$，而且从 $z=30$ 到今天一直为正。DESI 的结果是这对系数本身；它们在这个略有不同的背景上是否稳定，是本课程的模型预言。

准静态响应

在远小于标量声视界的尺度上，标量场的时间导数相比空间梯度可以忽略。在这个准静态极限下，势对物质的响应是

这是 DESI 论文印出的表达式。$\alpha_T=0$ 时，它也和 Pogosian、Silvestri 的小尺度极限以及 hi_class 代码里的有效牛顿常数一致。逐项来看：前因子 $1/M_*^2$ 是改变了的牛顿常数。第二项是标量场自己的拉力：物质通过 $\alpha_B+2\alpha_M$ 激发标量场，标量场再去拉物质和光。稳定性出现在分母里。$Dc_s^2$ 趋于零时响应无限增大，提醒你理论已经接近失稳。

两个特殊情形可以检验公式。若 $\alpha_B=-2\alpha_M$，标量场与物质脱耦，$\mu=\Sigma=1/M_*^2$，两个势之间没有滑移。若 $\alpha_B=-\alpha_M$，这是 $f(R)$ 理论满足的关系，那么 $\Sigma$ 严格等于 $1/M_*^2$，$\mu$ 却不同，透镜只感受到普朗克质量的变化。取 $c_B=-0.5$、$c_M=0.5$，Lab 的模型给出今天 $\Sigma=0.8227=1/1.2155$。在这个背景上，这组参数在早期就通不过稳定性检验，因为负编织的增长占了上风，所以它只用来验算代数。

例题：今天的默认宇宙

Lab 默认宇宙是宇宙学常数背景，$c_K=0.1$、$c_B=0.9$、$c_M=0.6$。今天 $\Omega_{\mathrm{DE}}=0.69$，所以 $\alpha_B=0.621$，$\alpha_M=0.414$，$\alpha_K=0.069$。对变化率积分得 $M_*^2=1.264$。

算声速：$-\dot H/H^2=1.5\times0.31=0.465$，$\mathrm d\alpha_B/\mathrm d\ln a=c_B\times3\times0.31\times0.69=0.5775$。于是

为正。耦合是 $\alpha_B+2\alpha_M=1.449$，所以

今天物质受到的拉力比爱因斯坦引力大 35%，光线多弯 19%。把这些对过去积分，就是上一章里 $z=0.5$ 处 $f\sigma_8$ 高出 6.4% 的来源。

Lab 任务

1. 选“爱因斯坦引力加宇宙学常数”，编织保持为零，把引力强度变化拖到零以下。标量扰动读数应该马上变成不稳定，增长读数变成已排除。再拖回零以上，确认模型恢复。
2. 选“单靠暗能量会失稳”的穿越预设，在响应图里找到红色区域，读出红移范围，和 $w$ 跌到负一以下的红移比一比。
3. 换到“修改引力让 $w<-1$ 成立”。慢慢减小编织，大致找出红色区域重新出现的位置。

习题

1. 用 $Dc_s^2$ 的表达式说明：$\alpha_B=\alpha_M=0$ 时，动能项救不了 $w<-1$ 的模型。
2. 只有普朗克质量在变、$c_M=0.1$ 时，今天 $\alpha_M=0.069$、$M_*^2=1.0398$、$Dc_s^2=0.1736$。算 $\mu$ 和 $\Sigma$。
3. 解释为什么取 $\alpha_T=0$ 是测量逼出来的选择，而不是图方便。
4. 某次拟合的最佳点在 $z=1$ 处 $Dc_s^2$ 略为负。它能作为最佳拟合报告吗？