距离怎样记下宇宙的膨胀

建议先读同样的膨胀，能配上不同的引力吗。需要的数学是指数、对数，以及把积分理解成许多小段相加。读完应该能推出暗能量随时间变化时平直宇宙的膨胀速率，亲手算两种距离，并看懂 Lab 里的距离图。

尺度因子、红移和膨胀速率

用尺度因子 $a$ 描述膨胀，规定今天 $a$ 等于一。任意两点的共动间隔都按 $a$ 的比例变大。尺度因子为 $a$ 时发出的光，到达时被拉长了 $1/a$ 倍，这就是红移的定义：

1+z=\frac{1}{a}.

膨胀速率是单位时间里尺度因子增长的比例， $H=\dot a/a$ ，今天的值记作 $H_0$ ，写成 $H_0=100\,h\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$ 。光在一个哈勃时间里走过的距离 $c/H_0$ 是天然的长度单位， $h=0.68$ 时等于 $4408.7\,\mathrm{Mpc}$ 。

空间平直时，弗里德曼方程把膨胀速率和总能量密度联系起来。各种密度都除以今天的临界密度，记今天的物质比例为 $\Omega_{\mathrm m}$ 。物质随体积稀释，密度按 $a^{-3}$ 下降。辐射只在比这里早得多的时候才重要，先略去。于是

E^2(a)\equiv\frac{H^2(a)}{H_0^2}=\Omega_{\mathrm m}a^{-3}+(1-\Omega_{\mathrm m})\frac{\rho_{\mathrm{DE}}(a)}{\rho_{\mathrm{DE}}(1)}.

第二项是暗能量，平直条件把它今天的份额定为 $1-\Omega_{\mathrm m}$ 。Weinberg 和 White，PDG 粒子物理评述 2025，§28.1

暗能量密度怎样变化

压强为 $p$ 、密度为 $\rho$ 的流体，在体积膨胀时对外做功，自身能量随之减少。膨胀宇宙里的能量守恒给出

\frac{\mathrm d\ln\rho}{\mathrm d\ln a}=-3(1+w),\qquad w\equiv\frac{p}{\rho c^2}.

物质的 $w=0$ ，回到 $\rho\propto a^{-3}$ 。宇宙学常数的 $w=-1$ ，密度完全不变。DESI 和许多分析把变化的暗能量写成尺度因子的一条直线， $w(a)=w_0+w_a(1-a)$ ： $w_0$ 是今天的值， $w_a$ 表示过去和今天差多少。DESI DR2 BAO 结果，2025

从今天 $a=1$ 往回积分到 $a$ ：

\ln\frac{\rho_{\mathrm{DE}}(a)}{\rho_{\mathrm{DE}}(1)}=-3\int_1^a\frac{1+w_0+w_a(1-a')}{a'}\,\mathrm da'=-3(1+w_0+w_a)\ln a-3w_a(1-a).

膨胀速率里的暗能量项因此是

\frac{\rho_{\mathrm{DE}}(a)}{\rho_{\mathrm{DE}}(1)}=a^{-3(1+w_0+w_a)}\,\mathrm e^{-3w_a(1-a)}.

过去若 $w>-1$ ，往回走时它被压缩，密度比今天大。若 $w<-1$ ，密度反而随膨胀增大，这叫幻影行为。Lab 用的正是这个背景，不改的话 $\Omega_{\mathrm m}=0.31$ 。

从膨胀速率到距离

朝我们走来的光，在一小段时间 $\mathrm dt$ 里走过共动距离 $c\,\mathrm dt/a$ 。由 $\mathrm dz=-\mathrm da/a^2$ 和 $\mathrm da=aH\,\mathrm dt$ ，这一小段等于 $c\,\mathrm dz/H$ 。从光源一路加到我们这里，得到共动距离

D_{\mathrm M}(z)=\frac{c}{H_0}\int_0^z\frac{\mathrm dz'}{E(z')}.

平直宇宙里它也是横向共动距离：红移 $z$ 处共动尺寸为 $r$ 的东西，张开的角度是 $r/D_{\mathrm M}$ 。另一种距离管视线方向上的间隔：一小段红移 $\Delta z$ 对应共动长度 $D_{\mathrm H}\,\Delta z$ ，其中

D_{\mathrm H}(z)=\frac{c}{H(z)}.

星系巡天在天空方向和视线方向上量重子声学尺度 $r_{\mathrm d}$ ，得到 $D_{\mathrm M}/r_{\mathrm d}$ 和 $D_{\mathrm H}/r_{\mathrm d}$ 。超新星量的是光度距离 $(1+z)D_{\mathrm M}$ ，差一个整体定标。这些数无一例外都由 $E(z)$ 算出。

一个能精确核对的例子

只有物质的宇宙里， $\Omega_{\mathrm m}=1$ ， $E=(1+z)^{3/2}$ ，积分有解析解：

D_{\mathrm M}(z)=\frac{2c}{H_0}\left(1-\frac{1}{\sqrt{1+z}}\right).

$z=1$ 时等于 $0.585786\,c/H_0$ 。Lab 背后的数值积分算出的值，与它在小数点后十位一致。

例题：同一个红移，三个宇宙

取 $\Omega_{\mathrm m}=0.31$ 、 $h=0.68$ ，暗能量是宇宙学常数。 $z=0.5$ 时尺度因子为 $2/3$ ，

E^2=0.31\times1.5^3+0.69=1.73625,\qquad E=1.3177.

把 $1/E$ 从零数值积分到一半，得到 $D_{\mathrm M}=0.4395\,c/H_0\simeq1938\,\mathrm{Mpc}$ 。视线方向距离 $D_{\mathrm H}=c/(H_0E)=3346\,\mathrm{Mpc}$ 。例题里规定声学尺度为 $147\,\mathrm{Mpc}$ ，它张开 $147/1938=0.0759$ 弧度，天空上约 4.3 度。

改成 $w_0=-0.9$ 、 $w_a=0$ 。这时 $z=0.5$ 的暗能量密度是今天的 $1.5^{0.3}=1.129$ 倍， $E=1.3511$ 变大，积分里每一小段都变小。距离缩到 $0.4326\,c/H_0$ ，短了 1.6%，同一把尺子看起来大 1.6%。

最后换成接近 DESI 偏好的穿越模型， $w_0=-0.752$ 、 $w_a=-0.86$ 。今天 $w$ 在负一之上，到 $z=0.5$ 已经是 $-1.039$ 。与宇宙学常数相比，距离在 $z=0.5$ 短 2.3%， $z=1$ 短 1.8%， $z=2$ 短 1.0%。这种偏移只有百分之几，却铺在一整段红移上，现在的巡天正好测得出来。

引力强弱为什么不出场

再看两条距离公式，里面只有膨胀速率。物质对引力的响应，也就是后面几章的 $\mu$ ，不在里面；光线偏折也不在里面。

这句话可以说得很精确。对共动距离求导， $\mathrm dD_{\mathrm M}/\mathrm dz=c/H(z)$ 。两个平直模型若在每个红移上给出相同的 $D_{\mathrm M}(z)$ ，它们的 $H(z)$ 就相同， $D_{\mathrm H}$ 和光度距离也相同。距离把膨胀历史完全定下来，也只定下膨胀历史。

修改引力理论同样会给出某段膨胀历史。不管它是什么，都可以写成上面公式里的一个等效 $w(a)$ 。hi_class 这样的宇宙学程序就用了这份自由：背景和引力响应是两项分开的输入。Zumalacárregui 等 2017，hi_class

Lab 任务

选“暗能量在变，引力照旧”，读探测壳处与宇宙学常数模型的距离之比，再把壳拖到 $z=1$ 和 $z=2$ 。这个比值在 $z=0.5$ 约为 0.984，过了 $z=1$ 就停在 0.980 附近。说说为什么暗能量不再占主导以后，它就不怎么变了。
选“膨胀相同，引力更强”。两条增长曲线分开了，距离之比却在每个红移上都是一。用 $D_{\mathrm M}$ 的公式说明原因。
拖动 $w_a$ ，盯着光锥上的刻度。你这个宇宙的刻度会相对淡色的宇宙学常数刻度移动。找一组设置，让 $z=0.5$ 的距离缩短约 2%。

习题

用守恒律说明 $w=-1$ 时密度不变， $w=-1/3$ 时密度按 $a^{-2}$ 下降。
在只有物质的宇宙里，算 $z=3$ 的 $D_{\mathrm M}$ ，分别以 $c/H_0$ 和 $h=0.68$ 时的百万秒差距为单位。
不做积分，解释为什么 $w_0=-0.9$ 让到 $z=0.5$ 的距离比宇宙学常数情形短。
同事说：超新星样本和 BAO 样本在膨胀历史上一致，合起来就检验了广义相对论。它们真正检验的是什么？

答案

第一题， $w=-1$ 时 $\mathrm d\ln\rho/\mathrm d\ln a=-3(1+w)$ 为零， $\rho$ 不变。 $w=-1/3$ 时斜率是 $-2$ ，所以 $\rho\propto a^{-2}$ 。

第二题， $1/\sqrt{4}=1/2$ ，所以 $D_{\mathrm M}=2(1-1/2)=1$ ，单位是 $c/H_0$ ； $h=0.68$ 时为 $4409\,\mathrm{Mpc}$ 。

第三题， $w>-1$ 意味着暗能量过去更密，常数 $w$ 时多出因子 $(1+z)^{3(1+w)}$ 。密度大，中间每个红移上的膨胀速率就大，距离积分里每一小段 $\mathrm dz/E$ 就小。

第四题，它们检验的是同一段膨胀历史能否同时拟合两种距离，包括尺子和超新星亮度的定标。检验的是背景，不是引力规律。膨胀历史相同的修改引力理论两关都能过。要检验引力，得看增长或透镜，下一章就讲这两样。