增长和透镜怎样感受引力

这一章接着距离怎样记下宇宙的膨胀。需要导数，以及解是幂函数的二阶微分方程。读完应该能用尺度因子的对数写出增长方程，在只有物质的宇宙里精确求解，说清增长率和透镜与增长之比，并读懂一份合成记录。

两个势，两种响应

在大尺度上，宇宙是平滑的背景加上微小的起伏。把物质密度写成 $\bar\rho(1+\delta)$ ， $\delta$ 是相对超密度。时空的起伏用两个势描述： $\Psi$ 扰动时间的流逝，给慢速物质加速； $\Phi$ 扰动空间。光对两者之和有响应，因为无质量粒子对空间和时间一视同仁。

对共动波数为 $k$ 、远在视界之内、仍处于线性阶段的起伏，取代牛顿定律的两条方程是

k^2\Psi=-4\pi Ga^2\mu\,\bar\rho\,\delta,\qquad k^2(\Phi+\Psi)=-8\pi Ga^2\Sigma\,\bar\rho\,\delta.

广义相对论里各向异性应力可以忽略， $\Phi=\Psi$ ，两个函数都等于一。修改引力理论可以改动其中任何一个，一般还会随时间和尺度变化。DESI 的修改引力分析就是这样定义参数的。Ishak 等 2024，DESI 2024 修改引力，§3.1

第一条方程管物质怎样下落，第二条管光怎样弯折。两者是彼此独立的信息，都要在膨胀速率之外另行测量。

增长方程

在这些尺度上，物质像没有压强的流体。质量守恒、欧拉方程和第一条势方程合起来，得到超密度满足的一条方程：

\ddot\delta+2H\dot\delta=4\pi G\mu\,\bar\rho\,\delta.

第二项是哈勃阻尼：膨胀把物质拉开，让坍缩变慢。右边是引力的拉力，按 $\mu$ 缩放。

距离天然地用尺度因子表示，所以换成 $\ln a$ 作自变量。撇号表示 $\mathrm d/\mathrm d\ln a$ ，对时间求导就是 $H$ 乘一次撇号。于是

\ddot\delta=H^2\Bigl(\delta''+\frac{\dot H}{H^2}\,\delta'\Bigr),\qquad 4\pi G\bar\rho=\frac32H^2\Omega_{\mathrm m}(a),

$\Omega_{\mathrm m}(a)$ 是当时的物质比例。两边除以 $H^2$ ，再用 $\dot H/H^2=\mathrm d\ln H/\mathrm d\ln a$ ：

\delta''+\Bigl(2+\frac{\mathrm d\ln H}{\mathrm d\ln a}\Bigr)\delta'=\frac32\,\Omega_{\mathrm m}(a)\,\mu\,\delta.

背景出现在 $\Omega_{\mathrm m}(a)$ 和 $H$ 的斜率里，引力只出现在 $\mu$ 里。两个背景量都由上一章的膨胀速率给出。一段膨胀历史加一个 $\mu$ ，增长就完全确定了。

只有物质时的精确解

$\Omega_{\mathrm m}=1$ 时，膨胀速率按 $a^{-3/2}$ 下降，斜率是 $-3/2$ ，而且 $\Omega_{\mathrm m}(a)$ 始终为一。让 $\mu$ 取常数，方程变成

\delta''+\frac12\delta'=\frac32\mu\,\delta.

试一个尺度因子的幂， $\delta\propto a^p$ 。每求一次撇号就带下一个 $p$ ，得到 $p^2+p/2-3\mu/2=0$ ，增长解是

p=\frac{-1/2+\sqrt{1/4+6\mu}}{2}.

$\mu=1$ 时 $p=1$ ：团块与尺度因子成正比地长大，这是经典结果。 $\mu=1.1$ ，拉力强 10%，得到 $p=1.0586$ 。拉力强了 10%，增长指数只大了 5.9%，多出来的拉力有一部分被哈勃阻尼吃掉了。

增长率和巡天报告的那个数

增长率是增长解的对数斜率，

f\equiv\frac{\mathrm d\ln\delta}{\mathrm d\ln a}.

只有物质的宇宙里它就是 $p$ 。 $\Omega_{\mathrm m}=0.31$ 的宇宙学常数模型里，数值解给出今天 $f=0.5224$ ， $z=0.5$ 时 $0.7571$ ， $z=1$ 时 $0.8743$ 。晚期增长变慢，是因为暗能量接管了膨胀。有个著名的拟合 $f\simeq\Omega_{\mathrm m}(a)^{0.55}$ ，今天给出 $0.5251$ ， $z=0.5$ 给出 $0.7569$ 。Linder 证明，对宇宙学常数和一系列变化的暗能量，这种增长指数写法与完整解的偏差都小于百分之一，指数本身随状态方程略有移动。Linder 2005

红移空间畸变测的是星系下落的速度。速度正比于 $f$ 乘以物质起伏的幅度，所以巡天报告乘积 $f\sigma_8$ ，其中 $\sigma_8$ 是半径 $8\,h^{-1}\mathrm{Mpc}$ 球内物质涨落的均方根。Lab 里所有模型从同样的早期幅度出发，归一化到宇宙学常数模型今天 $\sigma_8=0.81$ 。它在 $z=0.5$ 时是 $0.624$ ，所以那里 $f\sigma_8=0.4724$ 。

拿透镜去比增长

透镜测 $\Phi+\Psi$ ，速度测 $f$ 。两者相除，物质起伏的幅度消掉了，星系相对物质的偏袒因子也消掉了。Zhang 等人提出组合量 $E_G$ 正是为了这个目的。Zhang 等 2007 在线性理论里它化成

E_G=\frac{\Omega_{\mathrm m}\,\Sigma}{f}.

宇宙学常数模型在 $z=0.5$ 时为 $0.31/0.7571=0.4094$ 。Reyes 等人在几十百万秒差距的尺度上测得 $E_G=0.39\pm0.06$ ，与广义相对论约 $0.4$ 的预期一致。Reyes 等 2010

例题：Lab 的默认宇宙

Lab 一打开，是宇宙学常数的膨胀配上修改过的引力响应。 $z=0.5$ 处它给出 $\mu=1.170$ 、 $\Sigma=1.094$ 。背景完全相同，所以每个距离都等于宇宙学常数的值。用更大的拉力解增长方程，得到 $f\sigma_8=0.5025$ ；同一膨胀下的爱因斯坦引力给出 $0.4724$ ，增长多了 6.4%。透镜之比 $E_G=0.4276$ ，对比 $0.4094$ ，高 4.4%。

只测距离的巡天在这里什么也看不出。测增长的巡天会发现，星系团长得比实测膨胀允许的更成熟。两样合起来，才能把矛盾定位到引力上。

读一份合成记录

课程数据里有一份合成记录，它不是观测。它由默认模型生成，随机散布取自种子 81：五个 $f\sigma_8$ ，红移从 $z=0.3$ 到 $z=1.3$ ，误差 4%；两个 $E_G$ ，误差 6%。用三种方式拟合它。

宇宙学常数膨胀下的爱因斯坦引力，七个点给出 $\chi^2=21.6$ 。生成记录的那个模型给出 $\chi^2=5.0$ 。在冻结网格的稳定模型里扫一遍，能找到更小的 $\chi^2=3.7$ ，位置在编织 $c_B=1.8$ 、普朗克质量变化 $c_M=-1.0$ ，离真实的 $c_B=0.9$ 、 $c_M=0.6$ 很远。

第一项比较说明，这份记录排斥爱因斯坦引力。第二、三项说明这类数据做不到什么：差别很大的引力参数能给出几乎一样的增长和透镜。发现 $\mu=\Sigma=1$ 不成立，比指认是哪个理论要容易得多。

Lab 任务

选“膨胀相同，引力更强”，把探测壳从 $z=0.2$ 拖到 $z=1.5$ 。记下琥珀色的模型增长曲线在哪里高出青色爱因斯坦曲线最多，再联系暗能量在什么时候起作用。
选“增长更快，透镜更弱”。增长之比升到一以上， $E_G$ 却低于爱因斯坦值。在响应图里读 $\mu$ 和 $\Sigma$ ，看哪个小于一。
选“暗能量在变，引力照旧”。增长和宇宙学常数模型不同，琥珀色和青色两条曲线却重合。解释为什么这不是修改引力的证据。

习题

只有物质、 $\mu=0.9$ 为常数时，求增长指数。
巡天为什么报告 $f\sigma_8$ ，而不单报 $f$ ？
某理论没有引力滑移， $\Sigma=\mu$ ，两者在 $z=0.5$ 都等于 $0.95$ 。不解增长方程，判断 $E_G$ 是否一定低于爱因斯坦值。
某巡天测得 $f\sigma_8$ 比宇宙学常数的预言低 5%。举出两种不涉及修改引力的解释。

答案

第一题， $p=(-1/2+\sqrt{1/4+5.4})/2=(-0.5+2.377)/2=0.938$ 。拉力弱 10%，增长指数慢约 6%。

第二题，红移空间畸变测的是速度场，它等于 $f$ 乘以密度起伏。起伏幅度和增长率以乘积形式出现，数据直接约束的就是 $f\sigma_8$ 。幅度可以另由透镜或微波背景给出。

第三题，大概率是，但降幅小于 5%。 $E_G$ 正比于 $\Sigma/f$ 。拉力变弱让 $\Sigma$ 降 5%，同时也让 $f$ 变小。从只有物质的例子看， $f$ 的相对变化略多于 $\mu$ 的一半，所以 $E_G$ 大约降 2%。增长率取决于 $\mu$ 的整段历史，确切答案要靠积分。

第四题，一是膨胀历史和假设的不同，比如暗能量在变，这会同时改变阻尼和 $\Omega_{\mathrm m}(a)$ 。二是早期幅度比假设的小，每个红移的 $\sigma_8$ 都会降低。巡天系统误差，比如小尺度速度建模不准，是第三种可能。这些都排除以后，才轮到怀疑 $\mu$ 。