早期的氢为什么会在21厘米发亮或变暗

本章用到指数和对数。再电离课程里的从中性氢的信号读出电离泡讨论过自旋温度非常高的特例，这里去掉这个假设。温度用开尔文，频率用兆赫，时间用红移 $z$ 表示，$z$ 越大越早。

频率与两个超精细能级

氢原子里电子和质子的自旋可以平行，也可以反平行。平行态的能量高出一点点，两态之间跃迁的光子静止频率为 $\nu_{21}=1420.406\,\mathrm{MHz}$。宇宙膨胀让接收到的频率变低：

$z=7.93$ 时得到 $159\,\mathrm{MHz}$，$z=14.4$ 时得到 $92\,\mathrm{MHz}$。每个观测频率挑出一个红移，也就挑出视线上的一个距离。

记上、下能级的数密度为 $n_1$ 和 $n_0$。自旋温度 $T_{\mathrm s}$ 由它们的比值定义：

因子3数的是上能级的三个状态。$T_{\mathrm s}$ 只描述原子怎样分布在两个能级上，只有在别的过程强迫时，它才等于气体温度。Furlanetto, Oh and Briggs 2006, §2.1

衬着微波背景的亮温

微波背景是温度 $T_\gamma=2.7255\,\mathrm K\,(1+z)$ 的黑体。射电天文学用亮温来表示气体带来的改变。让背景光穿过光深为 $\tau$ 的一层气体，再红移到今天，得到

正负号只来自 $T_{\mathrm s}-T_\gamma$。因子 $1-e^{-\tau}$ 是气体能吸收、再重新发出的那部分背景光。Furlanetto, Oh and Briggs 2006, equation 17

气体随哈勃膨胀运动时，设中性氢的固有数密度为 $n_{\mathrm{HI}}$，爱因斯坦系数 $A_{10}=2.85\times10^{-15}\,\mathrm{s^{-1}}$，哈勃率为 $H(z)$，则

光深按 $1/T_{\mathrm s}$ 变化，气体越冷，吸收越强。Furlanetto, Oh and Briggs 2006, equation 15

$\tau\ll1$ 时可把 $1-e^{-\tau}$ 换成 $\tau$。代入宇宙学平均密度，得到常用的薄气体公式，其中 $x_{\mathrm{HI}}$ 是中性比例：

Pritchard and Loeb 2012, equation 7 这个式子略去了密度和速度起伏。它们决定空间花样，但不改变平均值。

谁来决定自旋温度

有三种过程在争夺 $T_{\mathrm s}$。微波光子把它拉向 $T_\gamma$；碰撞和莱曼阿尔法光子把它拉向气体的动理温度 $T_K$。莱曼阿尔法光子被原子吸收再放出，原子可能落回任一个超精细能级，这叫沃特胡森-菲尔德效应。Furlanetto, Oh and Briggs 2006, §2.3 结果是倒数温度的加权平均：

$x_\alpha$ 是无量纲的莱曼阿尔法耦合系数。红移约30以后气体很稀，碰撞耦合很弱，这里略去；莱曼阿尔法的颜色温度取为 $T_K$。Furlanetto, Oh and Briggs 2006, equation 20 $x_\alpha\gg1$ 时自旋温度跟着气体走；$x_\alpha\ll1$ 时它回到背景温度，信号随之消失。

例题：红移7.93处被加热的气体

设X射线加热后 $T_K=300\,\mathrm K$，$x_\alpha=20$，$x_{\mathrm{HI}}=0.734$，背景 $T_\gamma=24.34\,\mathrm K$。

1. 自旋温度：$T_{\mathrm s}^{-1}=(1/24.34+20/300.4)/21\,\mathrm{K^{-1}}$，所以 $T_{\mathrm s}=195\,\mathrm K$。
2. 用完整公式算光深：$\tau=8.5\times10^{-4}$，薄气体近似非常好。
3. 亮温：$\delta T_{\mathrm b}=(195.1-24.3)\times8.47\times10^{-4}/8.93\,\mathrm K=16.2\,\mathrm{mK}$。

用 $\Omega_bh^2=0.02237$、$\Omega_mh^2=0.1424$ 代入薄气体公式，得到 $16.4\,\mathrm{mK}$，相差1%，来自公式系数的舍入。气体在发亮，但很弱。$T_{\mathrm s}$ 已经远高于 $T_\gamma$，最后一个因子接近1，再加热到几百开以上，它也亮不了多少。

例题：没被加热的气体与饱和的吸收

去掉加热。固定保存的CAMB计算给出：没有天体加热时，$z=7.93$ 处气体温度 $T_K=1.72\,\mathrm K$。耦合不变，则 $T_{\mathrm s}=1.80\,\mathrm K$。

1. 光深：$\tau=0.0918$，约为上一例的一百倍。
2. 薄气体估计：$(1.80-24.34)\times0.0918/8.93\,\mathrm K=-232\,\mathrm{mK}$。
3. 完整公式：再乘以 $(1-e^{-\tau})/\tau=0.956$，得到 $-221\,\mathrm{mK}$。

冷气体投下的暗影，比热气体发的光深十倍以上。这里薄气体近似已经差了5%，气体更冷、更稠时差得更多。HERA的上限之所以能说明加热，靠的就是这道暗影有多深。

四个阶段的历史

复合以后残留的自由电子让气体温度跟微波背景绑在一起，直到 $1+z\approx150\,(\Omega_bh^2/0.023)^{2/5}$ 左右。Furlanetto, Oh and Briggs 2006, equation 66 之后气体绝热冷却，$T_K\propto(1+z)^2$，比背景的 $T_\gamma\propto1+z$ 降得快。固定的CAMB表里，$z=30$ 时气体为 $19.8\,\mathrm K$，背景为 $84.5\,\mathrm K$；$z=10$ 时气体为 $2.60\,\mathrm K$，背景为 $30.0\,\mathrm K$。

从早到晚读这段历史：

• 恒星出现以前，$x_\alpha$ 很小，$T_{\mathrm s}\approx T_\gamma$，天空几乎什么也看不到。
• 第一缕星光让 $x_\alpha$ 变大，$T_{\mathrm s}$ 降向冷气体，出现很深的吸收信号。
• X射线加热气体。$T_K$ 一旦超过 $T_\gamma$，信号变号，转为发射。
• 再电离消耗中性氢，$x_{\mathrm{HI}}$ 把信号压到零。

每个阶段什么时候发生，取决于第一批光源，目前还不知道。实验室把耦合和加热画成中点可调的平滑台阶。这些台阶是教学用的参数化，中点由你手动设定，好让每个阶段都能单独移动。

实验室任务

打开21厘米宇宙黎明实验室，使用历史图。

1. 耦合手柄放在17，先预测加热手柄放在红移6，也就是观测频带之后时，频带中心的亮温是多少。拖过去检查：气体只比背景略冷，信号是约 $-1\,\mathrm{mK}$ 的淡淡暗影。再拖到9，看亮温升到约 $16\,\mathrm{mK}$。
2. 选“第一缕星光投下暗影”预设。只把耦合手柄移到红移10，也就是频带之后，解释亮温读数为什么趋向零而不是变成正值。
3. 在高级设置里把耦合最终强度先设为2，再设为100。每次对照自旋温度读数和气体曲线，解释亮温为什么从约 $11\,\mathrm{mK}$ 变到约 $17\,\mathrm{mK}$。

练习

1. 接收机调到 $120\,\mathrm{MHz}$ 时，收到的是哪个红移的氢？那里的 $T_\gamma$ 是多少？
2. 由自旋温度的关系式证明，$T_{\mathrm s}$ 总是介于 $T_K$ 和 $T_\gamma$ 之间。
3. $z=10$ 处气体 $T_K=2.60\,\mathrm K$，$x_{\mathrm{HI}}=1$，耦合很强。用薄气体公式估计 $\delta T_{\mathrm b}$，再判断真实值的大小是更大还是更小，并说明原因。
4. 某个模型恰好在 $z=9$ 把气体加热到 $T_K=T_\gamma$。不管耦合多强，此刻的21厘米信号是多少？