把时延功率变成带功率，又不丢掉信号

本章接着上一章的时延变换和换算量 $X$ 、 $Y$ 。波数用 $h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ ，无量纲功率用 $\mathrm{mK^2}$ 。

从两份可见度到功率谱

HERA取两份噪声相互独立的数据，各自做时延变换得到 $\tilde V_1$ 和 $\tilde V_2$ ，把它们交叉相乘再归一化：

\hat P(k_\perp,k_\parallel)=\frac{X^2Y}{\Omega_{pp}B}\,\tilde V_1\tilde V_2^{*}.

$\Omega_{pp}$ 是波束平方对全天的积分， $B$ 是有效带宽。HERA Collaboration 2022, equation 12 本系列沿用上一章的记号： $X$ 把角度换成横向距离， $Y$ 把频率换成视线方向距离。论文第13、14式里这两个字母的含义恰好对调，本系列的论文导读会讲怎样从单位判断哪个是哪个。

单位可以验证这个形式。 $\tilde V$ 的单位是 $\mathrm{mK\,sr\,Hz}$ 。两份相乘，乘以每球面度 $(h^{-1}\mathrm{Mpc})^2$ 的 $X^2$ 和每赫兹 $h^{-1}\mathrm{Mpc}$ 的 $Y$ ，再除以球面度和赫兹，剩下 $\mathrm{mK^2}\,h^{-3}\mathrm{Mpc^3}$ 。

用两份独立数据很关键。同一份可见度自乘，会给每个模式都加上噪声功率。交叉相乘没有噪声偏置，噪声平均为零，于是单个估计值可能是负的。HERA Collaboration 2022, §4.1

无量纲功率谱

宇宙学里通常报告

\Delta^2(k)=\frac{k^3P(k)}{2\pi^2},

它表示每个对数 $k$ 间隔对亮温方差的贡献，单位 $\mathrm{mK^2}$ 。HERA Collaboration 2022, equation 15 开方后就是这个尺度上典型的亮温反差。

接着，HERA把柱坐标 $(k_\perp,k_\parallel)$ 上的估计值按 $|k|$ 分壳平均。每个格点按预期噪声功率平方的倒数加权， $k_\parallel$ 低于地平线加缓冲的格点权重为零。HERA Collaboration 2022, §4.4

窗函数

报告出来的带功率不是某一个波数上的功率。锥化窗和分箱会把相邻模式混在一起，所以估计值 $\hat{\mathbf p}$ 和真实带功率 $\mathbf p$ 之间隔着一个窗函数矩阵：

\hat{\mathbf p}=\mathbf W\,\mathbf p .

HERA Collaboration 2022, equation 18 $\mathbf W$ 每一行之和为一，平坦的谱穿过它不变。HERA选了对角归一化，误差棒小，但相邻窗函数会重叠。HERA Collaboration 2022, §4.1

论文图18画出了第二频带、第一天区的窗函数。它们的第16和第84百分位离中位数 $0.031\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ ；由于缓冲区，最低的那个窗函数在 $0.128\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 以下没有响应。HERA Collaboration 2022, Fig. 18 and footnote 7 为了减少重叠，HERA隔一个原生模式报告一个。即便如此，从公开的协方差算出，相邻原生行之间的相关系数仍有 $0.25$ 到 $0.33$ ，计算过程见本系列的方法指南。

模型必须经过同一个窗函数，比较才公平：

\hat m_\alpha=\sum_\beta W_{\alpha\beta}\,m_\beta .

例题：让模型穿过HERA的窗函数

取实验室的加热历史和它在 $z=7.93$ 处只含密度的预测（下文介绍）。在HERA第一个带功率 $k=0.192\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 处：

在箱中心取值，模型为 $15.49\,\mathrm{mK^2}$ 。
用窗函数那一行加权，得到 $15.87\,\mathrm{mK^2}$ ，高出2.5%，因为窗函数伸向更大的 $k$ ，那里 $\Delta^2$ 还在上升。
冷历史经同样一步，从 $2893$ 变为 $2964\,\mathrm{mK^2}$ 。

这里窗函数只让结果变了百分之几。谱上若有尖锐的特征，影响会大得多；而为了前后一致，这一步总是要做。

从带功率到上限

HERA没有探测到信号。它把每个带功率变成95%置信的上限：负的估计值先置零，再加两倍误差棒：

U=\max\left(\hat\Delta^2,0\right)+2\sigma .

HERA Collaboration 2022, §4.4 道理来自物理：真实的天空信号只会增加正的功率，噪声却可以往两边推。

第二频带、第一天区 $k=0.192$ 处，公开文件给出 $\hat\Delta^2=211.7\,\mathrm{mK^2}$ 、 $\sigma=367.3\,\mathrm{mK^2}$ ，于是 $U=946.4\,\mathrm{mK^2}=(30.76\,\mathrm{mK})^2$ ，正是论文在 $z=7.9$ 的标志性上限。 $k=0.320$ 处估计值为 $-516.0$ ， $\sigma=1229.8$ ；估计值置零后 $U=2459.7\,\mathrm{mK^2}=(49.60\,\mathrm{mK})^2$ 。

信号损失

每一步改动数据的处理都可能去掉一部分氢。HERA列出了四种已识别的损失，并对功率谱逐项修正。HERA Collaboration 2022, §3.11, Table 2

**表 4.1** 已识别的信号损失，HERA在最终功率谱中逐项修正。
步骤	第一频带功率损失	第二频带功率损失
绝对定标	9%	8%
交叉耦合滤波	3%	1%
时间平均	1%	1%
冗余平均	1%	1%

论文指出，这些损失与尺度无关，也与再电离模型无关。HERA发表时还在准备中的一篇配套论文，把模拟天空送进几乎整条流程，在 $k\ge0.192\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 处恢复出了一个真实感较强的模型。HERA Collaboration 2022, §5

标准的检验办法是注入信号：加入一份按 $A$ 放大的已知信号，做完全相同的处理 $T$ ，看能拿回多少：

f=\frac{P\left[T(\mathrm{fg}+A\,s)\right]-P\left[T(\mathrm{fg})\right]}{A^2\,P(s)} .

$f=1$ 表示什么都没丢。 $A$ 取得足够大，前景与信号的交叉项就既掩盖不了损失，也伪造不出损失。实验室在所选处理实际使用的模式上计算 $f$ ，范围是 $0.05\le k\le0.6\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$ 。

例题：避开楔形与平滑拟合

避开楔形只是丢掉一些模式，留下的模式一点不动。实验室默认记录里回收比例 $f=0.999$ 。

对每份可见度沿频率减去三阶多项式就不一样了。最小二乘拟合对数据是线性的，它在去掉前景的同时，也去掉了氢信号里恰好显得平滑的那部分。实验室里回收比例降到 $f=0.823$ 。更糟的是，在这个示意天空里，三阶拟合在所用模式上留下前景残余，达到氢功率的 $5.8\times10^{4}$ 倍。损失了18%的信号，却连干净的测量都没换来。真正做前景扣除的分析会用更仔细的模型，但同样必须做注入检验。

拿模型和上限比较

实验室的预测只保留密度起伏：

\Delta^2_{21}(k)=\bar T_{\mathrm b}^2\,(1+\mu^2)^2\,\Delta^2_m(k),

$\Delta^2_m$ 是线性物质功率谱， $\mu$ 是 $\mathbf k$ 与视线夹角的余弦。这是Furlanetto、Oh和Briggs给出的红移空间功率谱，令其中各向同性部分等于密度起伏，也就是没有自旋温度和电离的起伏。Furlanetto, Oh and Briggs 2006, §4.1, equation 107 物质功率谱采用Eisenstein-Hu无振荡转移函数。Eisenstein and Hu 1998 HERA保留的模式满足 $k_\perp\ll k_\parallel$ ，所以 $\mu\approx1$ ，那个因子等于 $4$ 。自旋温度、耦合和电离的起伏都没有算进去，所以它不是完整的模型。

经过窗函数后，加热历史（ $\bar T_{\mathrm b}=16.2\,\mathrm{mK}$ ）在 $k=0.192$ 处只有上限的 $0.0168$ 。冷历史（ $\bar T_{\mathrm b}=-221\,\mathrm{mK}$ ）在同一处是上限的 $3.13$ 倍，在 $0.320$ 处是 $2.06$ 倍。即使只用这个最简单的模型， $z=7.9$ 处完全耦合、从未加热的气体也被排除了。HERA的配套分析结论相近。在标准星系天体物理假设下，这些上限不利于这样的情形：气体从未被明显加热，温度始终接近单靠膨胀冷却所能达到的值。HERA Collaboration 2022, §1

实验室任务

打开21厘米宇宙黎明实验室。

读出默认状态下“注入信号的回收比例”。把前景处理切到平滑拟合，再读一次。然后在高级设置里提高拟合阶数，说说回收比例怎样变化。
选“冷氢会超过HERA上限”预设。在HERA图里找出经窗函数的模型超过了哪些带功率： $z=7.9$ 应有两个， $z=10.4$ 一个也没有。比值读数应为 $3.13$ 。
保持这个预设，在高级设置里把“加热带来的升温”提高一档，到 $10\,\mathrm K$ 。比值降到约 $0.02$ 。在这个只含密度的模型里，把气体从 $1.7$ 加热到约 $12\,\mathrm K$ 就足以通过上限，因为亮温从 $-221$ 变成了约 $-19\,\mathrm{mK}$ 。

练习

设 $X$ 的单位是每弧度 $h^{-1}\mathrm{Mpc}$ ， $Y$ 的单位是每赫兹 $h^{-1}\mathrm{Mpc}$ ，验证 $X^2Y\,|\tilde V|^2/(\Omega_{pp}B)$ 的单位是 $\mathrm{mK^2}\,h^{-3}\mathrm{Mpc^3}$ 。
第二频带、第一天区 $k=0.448$ 处， $\hat\Delta^2=5974.1\,\mathrm{mK^2}$ ， $\sigma=3441.1\,\mathrm{mK^2}$ 。求 $U$ 及其平方根。
某一行窗函数在三个模式上的权重是 $0.2,0.6,0.2$ ，模型在这三处分别为 $10$ 、 $20$ 、 $40\,\mathrm{mK^2}$ 。求加权后的值，并与中心值比较。
注入检验给出 $f=0.82$ 。测到的功率以及由它得到的上限，应乘以多大的修正因子？
为什么单个带功率估计值可以是负的，由它得到的上限却不能？

答案与解析

第1题， $|\tilde V|^2$ 的单位是 $\mathrm{mK^2\,sr^2\,Hz^2}$ 。乘以 $X^2$ （ $h^{-2}\mathrm{Mpc^2\,sr^{-1}}$ ）和 $Y$ （ $h^{-1}\mathrm{Mpc\,Hz^{-1}}$ ），得到 $\mathrm{mK^2\,sr\,Hz}\,h^{-3}\mathrm{Mpc^3}$ 。再除以单位为球面度的 $\Omega_{pp}$ 和单位为赫兹的 $B$ ，剩下 $\mathrm{mK^2}\,h^{-3}\mathrm{Mpc^3}$ 。

第2题，估计值为正， $U=5974.1+2\times3441.1=12856.3\,\mathrm{mK^2}$ ， $\sqrt U=113.39\,\mathrm{mK}$ ，与论文公布值一致。

第3题， $0.2\times10+0.6\times20+0.2\times40=22\,\mathrm{mK^2}$ ，比中心值 $20$ 高10%。随 $k$ 上升的谱，经过对称的窗函数会被抬高。

第4题，真实功率只留下82%，所以测到的功率要除以 $0.82$ ，即乘以 $1.22$ 。修正损失总会抬高估计值和上限；不修正，上限就显得比实际更严。

第5题，两份独立的含噪数据交叉相乘，噪声部分均值为零，可能把某个估计值推到零以下。真实的天空信号只贡献正功率，真值至少是零。先把负估计值换成零再加 $2\sigma$ ，上限就不会比数据所能支持的更严。

在实验室里试一试

21厘米宇宙黎明与射电前景：换成平滑拟合，对比它和避开楔形时注入信号的回收比例。