一条基线怎样把平滑的前景和氢分开

你需要上一章的结论：氢的信号只有几毫开到几百毫开；还需要知道傅里叶变换就是把信号拆成许多振荡项。时延用纳秒，基线用米，波数用 $h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$。

一条基线量到的是什么

相距矢量 $\mathbf b$ 的两台天线把电压相乘再取平均，得到可见度。它是对整片天空的加权求和：

$I$ 是天空亮度，$A$ 是天线的功率方向图，也叫波束；指数项是波前到达第二台天线时多走的路程。Parsons et al. 2012, §2.1 对长度为 $b$ 的东西向基线，只有东西方向的方向余弦 $l$ 起作用，相位为 $2\pi\nu b l/c$。

换个角度，沿频率而不是沿天空去读这个指数。固定在 $l$ 处的一个源，相位随 $\nu$ 线性增长，增长率由它的几何时延 $\tau_g=bl/c$ 决定。可见度就是许多条这样的相位斜线叠在一起，每个方向一条。

时延变换

先乘一个在频带两端平滑降到零的锥化窗 $w(\nu)$，再做变换：

一个频谱平坦的源变成 $\tau=\tau_g$ 处的一个峰。地平线以上的天体都满足 $|l|\le1$，所以

这叫地平线时延。Parsons et al. 2012, §2.1 它和频率无关，也和波束指向哪里无关。

真实的源频谱并不平坦。它的频谱 $S(\nu)$ 乘上波束和锥化窗，再乘到相位斜线上；到了时延空间，峰就和这个乘积的变换做卷积。频谱平滑，变换就窄，峰仍留在 $\tau_g$ 附近。每个通道看到的是宇宙中不同的一层，氢的亮度每隔一兆赫就起伏一次，幅度与平均值相当，它的变换因此很宽。

频带宽度还决定了时延的分辨率。宽 $B$ 的频带给出间隔 $1/B$ 的时延采样。实验室用 $128$ 个 $125\,\mathrm{kHz}$ 的通道，$B=16\,\mathrm{MHz}$，时延间隔为 $62.5\,\mathrm{ns}$。

例题：HERA几种间距的地平线时延

HERA的天线口径 $14\,\mathrm m$，按六边形紧密排列，最短基线为 $14.6\,\mathrm m$。HERA Collaboration 2022, §1 and Table 1

1. 最短基线：$\tau_h=14.6/(2.998\times10^8)\,\mathrm s=48.7\,\mathrm{ns}$，还不到一个时延采样。
2. 三倍间距 $43.8\,\mathrm m$：$\tau_h=146.1\,\mathrm{ns}$。
3. 八倍间距 $116.8\,\mathrm m$：$\tau_h=389.6\,\mathrm{ns}$。

基线越长，前景被推到越大的时延，最干净的区域先在短基线上出现。

从时延到宇宙学波数

频率对应视线方向的距离，角度对应垂直视线方向的距离。在频带中心附近，把这两个换算记为 $Y$（每兆赫多少 $h^{-1}\mathrm{Mpc}$）和 $X$（每弧度多少 $h^{-1}\mathrm{Mpc}$）。时延是频率的傅里叶对偶，以波长计的基线是角度的傅里叶对偶，于是

实验室采用Planck 2018宇宙学，在 $159\,\mathrm{MHz}$，即 $z=7.93$ 处，$X=6149\,h^{-1}\mathrm{Mpc}$ 每弧度，$Y=11.25\,h^{-1}\mathrm{Mpc}$ 每兆赫。Planck Collaboration 2018, Table 2

拿HERA来核对：$200\,\mathrm{ns}$ 的时延对应 $k_\parallel=2\pi\times0.200/11.25=0.112\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$。HERA给出的 $z=7.9$ 处 $200\,\mathrm{ns}$ 缓冲区是 $0.11\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$。HERA Collaboration 2022, §4.3

楔形

把地平线时延代进两个换算式。地平线处的 $k_\parallel$ 和 $k_\perp$ 都正比于 $b$，二者之比与基线无关：

在以 $k_\perp$ 为横轴、$k_\parallel$ 为纵轴的图上，地平线是一条过原点的直线。频谱平滑的前景都在它下方，填满的这块区域叫前景楔形。Parsons et al. 2012, Fig. 9 $z=7.93$ 时斜率为 $6149/(11.25\times159)=3.44$，$z=14.4$ 时为 $5.14$。红移越高楔形越陡，偏偏在信号最古老的地方，前景占的面积最大。

直线上方常称为窗口。在窗口里可以直接测氢，完全不需要给前景建模。代价是直线下方的模式全部舍弃，其中包括视线方向上大部分的大尺度结构。

边界为什么不锋利

有三件事会把前景功率推到地平线以上。

第一是锥化窗。频带有限，哪怕锥化做得再仔细，一个完全平滑的源也会变成锥化窗自身的时延核。HERA在每个频带上都加了Blackman-Harris窗。HERA Collaboration 2022, §4.3 实验室用的是四项版本，主瓣向两侧各延伸四个时延采样。在实验室里，最短基线、$z=7.93$ 时，地平线在 $0.027$，但前景从 $k_\parallel=0.035$ 处的 $4.6\times10^{7}\,\mathrm{mK^2}$ 降到 $0.175$ 处的 $1.4\times10^{2}\,\mathrm{mK^2}$，到 $0.21$ 才降到约 $2\,\mathrm{mK^2}$。HERA也指出低 $k_\perp$ 处有锥化窗留下的这种痕迹。HERA Collaboration 2022, §4.3

第二是波束。天线的波束随频率升高而变窄，大致按 $1/\nu$。偏离波束中心的源在频带内看到的增益随之改变，这就给源添上了它本来没有的谱结构。Parsons等人指出，无论来自源本身还是仪器，频率上的结构都会展宽时延核。Parsons et al. 2012, §2.1 在旁瓣里，响应随频率变化最快，这个效应也最强。Furlanetto, Oh and Briggs 2006, §9.3

第三是仪器本身。电缆反射和相邻天线之间的耦合，会产生明亮天空的延迟副本。HERA怎样处理这些系统误差，放在本系列的论文导读里讲；实验室没有模拟它们。

实际分析只保留地平线再加一段缓冲之外的时延。HERA把 $k_\parallel$ 小于地平线加 $\Delta k_\parallel$ 的模式权重设为零，缓冲取 $200\,\mathrm{ns}$。HERA Collaboration 2022, §4.4 实验室默认取 $300\,\mathrm{ns}$，因为在最短基线上，锥化窗的主瓣在 $312\,\mathrm{ns}$ 那个采样里放进的前景仍比氢多。

例题：第一个干净的模式

取实验室默认值：$b=14.6\,\mathrm m$，缓冲 $300\,\mathrm{ns}$，$z=7.93$。

1. 使用区域的边界：$\tau=48.7+300=348.7\,\mathrm{ns}$。
2. 视线方向波数：$k_\parallel=2\pi\times0.3487/11.25=0.195\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$。
3. 垂直方向：$k_\perp=2\pi\times14.6\times1.59\times10^8/(2.998\times10^8\times6149)=0.0079\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$。
4. 总波数 $k=\sqrt{k_\parallel^2+k_\perp^2}$ 保留三位仍是 $0.195$。短基线测到的模式几乎全部沿着视线方向。

这和实验室显示的“使用的最小视线方向波数”一致。HERA在这个频带报告的最小 $k$ 是 $0.192\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$，由它的 $200\,\mathrm{ns}$ 缓冲以及它自己的频带和网格决定。HERA Collaboration 2022, §4.4

实验室任务

打开21厘米宇宙黎明实验室，看时延谱和楔形图。

1. 时延谱里实线是地平线，虚线是缓冲区边界。把右边的天线从 $14.6$ 拖到约 $44\,\mathrm m$，看实线从 $0.027$ 移到约 $0.082\,h\,\mathrm{Mpc^{-1}}$，再确认虚线移动了同样多。
2. 在楔形图里找出八条基线各自的前景功率。亮区是不是沿着地平线？它停在线上，还是略高于线？
3. 选“随频率变化的天线会漏光”预设，再到高级设置里固定方向图，比较两种情况下虚线外侧的前景。实验室记录里，$k_\parallel=0.21$ 处漏出的前景，方向图随频率变化时约为 $1\times10^{5}\,\mathrm{mK^2}$，固定方向图时约为 $2\,\mathrm{mK^2}$。

练习

1. 求 $29.2\,\mathrm m$ 基线的地平线时延，以及它在 $z=7.93$ 处对应的 $k_\parallel$。
2. 用两个换算式说明：基线加长一倍，它的地平线点仍沿同一条直线移动。
3. 若频带从 $16$ 缩到 $8\,\mathrm{MHz}$，在 $z=7.93$ 处时延间隔和 $k_\parallel$ 间隔各变成多少？
4. 某个前景源在 $151$ 到 $167\,\mathrm{MHz}$ 之间的频谱为 $S\propto\nu^{-2.6}$。估计它的亮度在频带内变化多少，并解释它的时延变换为什么仍然很窄。
5. 有同事提议把缓冲设为 $0\,\mathrm{ns}$，以便多用几个模式。根据上面锥化窗的例子，最短基线上会出什么问题？