从中性氢的信号读出电离泡

先读两个电离泡相遇以后，光去了哪里。这里从原子的两个能级解释亮温，再用一组正弦条纹说明功率保留了什么。后半章需要基础三角函数；复数只用来合并两个实数投影。

原子里的温度与天空背景

电子与质子的自旋相互作用，让中性氢基态分成两个很接近的超精细能级。上能级跃迁到下能级，会放出波长约21厘米的光子，静止频率为 $\nu_{21}=1420.4057\,\mathrm{MHz}$。宇宙膨胀把它拉到更低的接收频率：

例如红移八对应约158 MHz。改变氢是否电离的高能紫外光，和这里读出中性氢状态的无线电光，是两个不同环节。

用 $n_1$、$n_0$ 表示上、下能级的原子数密度。它们的比例定义了自旋温度 $T_{\mathrm s}$：

$h_{\mathrm P}$ 是普朗克常数，$k_{\mathrm B}$ 是玻尔兹曼常数；前面的三来自上能级的三种简并状态。能级间隔折成温度只有约 $0.068\,\mathrm K$。这里用温度描述两群原子各占多少，并未假定它等于气体运动的温度。Furlanetto、Oh 与 Briggs，2006，§2.1

天空还有微波背景，温度记为 $T_\gamma$。观测关心气体经过这份背景之后，亮度增加还是减少。在 Rayleigh–Jeans 近似下，用亮温表示的差值为

其中 $\tau$ 是21厘米光学深度，用来描述这段气体对该谱线的吸收程度。自旋温度高于背景，差值为正；低于背景，会出现吸收；两者相等时，气体和背景之间没有这份对比。

前面电离相的 $10^4\,\mathrm K$ 用来计算复合。这里关心的是中性原子的能级比例，必须另外给出 $T_{\mathrm s}$。以下取它远高于微波背景，并采用光学薄、密度均匀、只有整体哈勃膨胀的近似。它们让一张电离体积分数图可以直接换成理想亮温图。

从中性份额得到亮温

在这个局部、同一红移的近似里，物理中性氢数密度为 $n_{\mathrm{HI}}$，哈勃膨胀率为 $H(z)$。自旋温度远高于超精细能级温度尺度时，光学深度可写为

$c$ 是光速，$A_{10}$ 是上能级的自发跃迁率，单位为 $\mathrm{s^{-1}}$。这里的数密度是物理密度；整体膨胀在物理距离上的速度梯度就是 $H(z)$。公式中的四分之一能级占比与受激辐射修正已经计入。

光学薄时，$1-\mathrm e^{-\tau}\simeq\tau$。再取 $T_{\mathrm s}\gg T_\gamma$，前一个式子的温度因子约为 $T_{\mathrm s}$，恰好与光学深度里的倒数抵消。给定均匀气体的今天等效氢数密度 $\bar n_{\mathrm H,0}$，便得到

代入SI单位，$T_0$ 的单位是开尔文；显示成毫开尔文时再换单位。$f_j$ 仍是电离相体积分数。在光学薄条件下，单元内未分辨的中性体积可以这样线性平均。这里的氢数密度包含氢质量份额 $X_{\mathrm H}=0.76$；只计算氢的反应，不代表把全部重子质量都当作氢。

固定输入的一个例子是红移八时 $T_0\simeq25.43\,\mathrm{mK}$。若某格 $f_j=0.3$，理想亮温约为 $17.8\,\mathrm{mK}$；若 $f_j=0.8$，则约为 $5.09\,\mathrm{mK}$。电离更多，留下的中性氢信号更少。这正是常用高自旋温度表达式的物理内容。Mesinger、Furlanetto 与 Cen，固定v1，式1

平均信号只需要平均中性份额

把所有等体积单元平均，上式给出

在这套均匀近似下，两种源分布只要有相同的 $Q$，就有相同的平均信号。泡的位置、大小与边界仍可以不同。

配套合成模型保存的一帧在红移约8.64时给出 $Q\simeq0.458$、$T_0\simeq26.3\,\mathrm{mK}$，于是平均亮温约为 $14.3\,\mathrm{mK}$。这些值来自同一时刻的体积与温度换算，用来说明平均关系。固定记录复算教程进一步检查原始格点与有限模式功率。时间、次序及网格比较针对声明的固定预设和选定电离体积；功率相同，形状仍可以不同。同帧数值与来源

想进一步知道“泡怎样分布”，便要研究偏离平均值的那一部分。大块亮暗区域与细碎斑点，对不同空间尺度的起伏贡献不同。

用条纹测量空间尺度

在边长 $L$ 的周期立方体中，位置记为 $\boldsymbol r_j$。用整数三元组 $\boldsymbol n$ 标记条纹方向与周期数，对应波数大小

把亮温偏离平均值的场记为 $\Delta T_j=\delta T_{\mathrm b,j}-\overline{\delta T_{\mathrm b}}$。它与一组正弦、余弦条纹重合多少，可以合并成一个复系数：

这里 $\mathrm i^2=-1$，指数里的函数等于余弦减去 $\mathrm i$ 乘正弦。复数只是把这两个实数投影放在一起；系数的幅度描述该尺度有多强，相位记录条纹峰出现在什么位置。采用单元中心的实际坐标，就同时确定了相位原点。

一种常见功率约定是

若亮温用mK、长度用共动Mpc，功率单位为 $\mathrm{mK^2\,cMpc^3}$。先计算无量纲中性份额的功率时，它的单位只是共动体积；换成亮温功率，需要再乘 $T_0^2$。

来看一个人为构造的条纹例子。让三维立方体中的连续场只随横向 $x$ 变化：

先比较连续条纹在三个位置的值，分别取 $\phi=0$ 与 $\phi=\pi$。放入格点做傅里叶分析时，仍在单元中心采样，每边至少八格。

两张图的平均值都是10 mK，两个波的幅度也相同。改变第二个波的相位，却改变了峰与谷怎样叠在一起。每个波的功率仍相同，因为取绝对值平方会丢掉相位。单靠这些功率，无法把表中的两幅空间图分开。

实际分析常把长度相同、方向不同的波数归为一组。这里最初四组的 $|\boldsymbol n|^2$ 是一、二、三、四，分别有六、十二、八、六个带正负号的模式。每组取平均后，只剩四个尺度统计，更多的方向与相位信息也随之省去。图像、数值分布和功率因而各有作用；半数值21厘米研究也会分别比较它们。Mesinger 等，§2.4

练习和解释

1. 给定 $T_0=20\,\mathrm{mK}$，求 $f=0.75$ 的单元亮温，以及 $Q=0.4$ 时的平均亮温。若取消高自旋温度假设，一处没有亮温对比是否足以确定它已完全电离？
2. 把一个单独的余弦波平移四分之一波长。其傅里叶相位、功率与峰的位置分别怎样变？再说明为什么上面改变第二个波的相对相位，会改变两波叠加的形状。
3. 边长 $20\,\mathrm{cMpc}$ 的立方体中，某个沿横向变化的余弦波振幅为 $2\,\mathrm{mK}$。求它的正、负基频系数幅度、各自功率，以及含六个方向模式的第一组平均功率。其余四个方向在这个例子中为零。

第一题依次得到 $20(1-0.75)=5\,\mathrm{mK}$ 与 $20(1-0.4)=12\,\mathrm{mK}$。一般情况下，中性气体若有 $T_{\mathrm s}=T_\gamma$，也没有这份对比。理想图中“暗区对应电离”的读法需要保留自旋温度条件。

第二题改变相位、移动峰的位置，功率保持不变。两个波若只作整体平移，它们的相位改变彼此有关；单独调整第二个波的相位，还会改变它与第一个波峰谷相遇的位置，形成另一种叠加形状。功率保存的是各波的强度。

第三题的两系数幅度各为 $1\,\mathrm{mK}$，功率各为 $20^3\times1^2=8000\,\mathrm{mK^2\,cMpc^3}$。第一组要把这两个非零模式和四个零模式一起平均，得到约 $2.67\times10^3\,\mathrm{mK^2\,cMpc^3}$。单模式与一组模式的平均是两个不同的量。

真正的无线电数据还经过前景处理、仪器响应和有限观测窗口。这里先从同一份中性气体分布得到理想信号，再看统计怎样压缩空间信息。后面的论文阅读会接着问：观测给出的功率上限，究竟限制了哪些信息？