一片膨胀的气体需要多少光

先修是电离一半究竟是什么意思，以及分数、指数函数和量纲。下面从短时间内的增减引出导数；不要求先学会数值解微分方程。目标是写出体积方程、解一个定系数例子，并用一组已保存的合成记录解释光子的去向。

每一秒增加多少，失去多少

采用均匀密度的两相近似，电离相近乎完全电离。总氢核数记为 $N_{\mathrm H}$，电离体积填充因子为 $Q$，于是当前电离氢核数为 $N_{\mathrm I}=QN_{\mathrm H}$。这些数都是粒子计数，$Q$ 没有单位。

光源每秒送入星系际气体的电离光子数记为 $S$，单位为 $\mathrm{s^{-1}}$。这里数的是已逃出星系的光，不是恒星原本产生的全部光。教学模型把相对的盒面接在一起，不另计盒子边界流失；逃逸率只针对星系内部。每个光子计一次初级氢电离，暂不计额外的二次电离或穿越时间。

电离相的气体温度取为给定值，Case-B 复合系数为 $\alpha_{\mathrm B}$。用给定的无量纲因子 $C$ 表示未分辨细节增加的共同复合代价。它没有给格子画出稠密团块。每个电离氢核的有效复合速率是 $\alpha_{\mathrm B}C\bar n_{\mathrm H}$，其中 $\bar n_{\mathrm H}$ 是此刻的物理数密度。

若很短的一段时间为 $\Delta t$，且其中各速率变化很小，电离份额的变化近似为

把变化除以时间间隔，再把间隔取得越来越短，就得到变化率 $\mathrm dQ/\mathrm dt$。定义 $s=S/N_{\mathrm H}$ 和 $t_{\mathrm{rec}}=1/(\alpha_{\mathrm B}C\bar n_{\mathrm H})$，方程成为

$s$ 是每颗氢核每秒能分到多少逃逸光子，$t_{\mathrm{rec}}$ 的单位是秒。两项都是每秒改变的份额。这里损耗正比于 $Q$，因为减少的是完全电离相；上一章同一团气体的局部 $x^2$ 方程在计算不同的对象。各处电离体积共用同一复合代价，因此源总量和历史固定以后，改变源的位置不会改变这个体积方程；真实稠密结构若改变了复合损耗，就需要把那份影响另外算进去。Madau、Haardt 与 Rees，1999，§3.1

一个能完整算完的例子

先保持密度、温度和 $C$ 不变，让光源以恒定速率供光，从 $Q=0$ 开始。取 $s\,t_{\mathrm{rec}}=0.8$：意思是每过一个复合时间，光源送入每颗氢核 0.8 个光子。令 $u=t/t_{\mathrm{rec}}$，方程是

最初几乎没有复合损耗，增长最快。随着电离相增加，要补偿的复合也越来越多。若把离平衡值的差写成 $0.8-Q$，这份差的下降速率正比于它自身，因此呈指数下降。满足初始条件的解是

代入 $u=0$ 得零；对它求变化率，得到 $0.8\mathrm e^{-u}=0.8-Q$，也符合方程。过一个复合时间，

已经送入每颗氢核 0.8 个光子，当前只保留约 0.506 份电离。其余约 0.294 对应期间的净复合。若把累计逃逸光子、净复合和足够维持完全电离后仍剩余的光分别记作 $N_\gamma$、$N_{\mathrm{rec}}$、$N_{\mathrm{spare}}$，从全中性开始有

这个例子还没填满，最后一项是零。光源强到能填满盒子时，$Q$ 到达一；只要后续供光仍足以补偿复合，它就保持在一。继续供入、又未用于补偿复合的光进入剩余计数。后续的传播路径要由额外的辐射模型描述。

膨胀改变复合时间

想跟踪同一批气体，方便的办法是取一个固定共动体积 $V_{\mathrm c}$。共动坐标把整体膨胀除去了；若尺度因子为 $a$，真实体积是 $V_{\mathrm p}=a^3V_{\mathrm c}$。数密度随之降低：

氢核数没有因为稀释而减少，变化的是它们彼此相遇的频率。在固定温度和 $C$ 下，$t_{\mathrm{rec}}$ 随 $a^3$ 增大。把这一时间依赖代回体积方程即可；对填充因子另添一项“膨胀造成的氢损失”，会把同一次稀释算两遍。

数值求解还需要给定 $a$ 与时间的关系。一个具体选择是平直的物质加宇宙常数背景：

$H$ 是单位时间内尺度因子的相对增长率，$H_0$ 是 $a=1$ 时的值，$\Omega_{\mathrm m}$ 是物质项的无量纲权重；常数项来自宇宙常数。这里给定 $H_0=67.4\,\mathrm{km\,s^{-1}\,Mpc^{-1}}$、$\Omega_{\mathrm m}=0.315$，在红移七到十的教学区间忽略辐射项。这一步把膨胀历史作为额外输入。复合系数采用固定电离相温度 $10^4\,\mathrm K$ 下的 Hui–Gnedin Case-B 拟合，约为 $2.592\times10^{-19}\,\mathrm{m^3\,s^{-1}}$。它不是中性氢的自旋温度。Hui 与 Gnedin，附录 A

一组已经保存的合成数值

取边长 $20$ 共动 Mpc 的均匀气体，给定今天对应的共动氢数密度 $0.190922\,\mathrm{m^{-3}}$，总氢核数约为 $4.48743\times10^{70}$。设教学光源恒定产生 $4.00\times10^{55}\,\mathrm{s^{-1}}$ 的电离光子，逃逸率 $0.2$，所以 $S=8.00\times10^{54}\,\mathrm{s^{-1}}$，并取 $C=3$。这些恒定源由教学算例指定。

从红移十的光源开启时刻起，过约 103 百万年，把保存的全局计数折成平均每一百颗氢核，得到：

前三项满足 $57.9216\simeq45.8015+12.1202$，显示值分别舍入。当前电离体积约占 45.8%；约五分之一的入射光子数已经对应重复电离的消耗。时钟可以直接从同一记录的光子数复核：

这里 $1\,\mathrm{Myr}=10^6\times31557600\,\mathrm s$。从上述光源开启时刻算起，未经舍入的经过时间为 102.954 百万年；该时刻的尺度因子约为 0.103693，仍采用今天为一的归一化。数值摘录与输入来源保存在配套数据。这个方程算出了多少体积能维持电离；把它安排到哪些空间位置，还需另一套空间分配方法。

试着改变条件

1. 在相同初始中性条件下，忽略复合且总共送入每颗氢核 0.6 个光子。求 $Q$。再说明为什么只知道这 0.6 个光子，就不足以确定有复合时的 $Q$。
2. 温度和 $C$ 固定，尺度因子变为原来的两倍。共动盒子中的氢核数、物理数密度和复合时间分别怎样变？能否据此直接说 $Q$ 也变成八倍？
3. 两组源的体积填充因子相同，是否说明逃逸率相同？指出还需要哪些信息。

第一题没有复合损耗，且尚未填满，所以 $Q=0.6$。加入复合以后，需要知道已经复合多少；同样的累计供光可以留下较少的当前电离。

第二题的氢核数不变，数密度降到八分之一，复合时间增为八倍。$Q$ 是过去供光和损耗累积的结果，仍要解随时间变化的方程，不能把瞬时复合时间的倍率直接当成体积倍率。

第三题还要知道光源原本产生多少电离光子、持续多久，以及复合代价和历史。更强的供光与更多复合可以同时出现，给出相同的 $Q$。即使这些条件都固定，同一个总体积仍可被安排成不同的空间图像；后面的泡合并与 21 厘米章节会接着研究这份空间信息。