两个电离泡相遇以后，光去了哪里

先读一片膨胀的气体需要多少光。那一章算出总电离体积；这里学习怎样把新增体积分到空间里。用到分数、求和与距离，公式中的量都会先解释。

两份供光，一份重叠区

先取均匀、起初中性的气体，忽略这一小段时间里的复合。一个被吸收的光子完成一次初级氢电离。把体积单位选成“装有同样多氢核的一格”，也允许四分之一格这样的分数。

设两个光源分别能电离四十格体积。如果各自单独照亮的区域有二十格重叠，两个区域的并集只有

40+40-20=60

格。光源合起来却已提供足够电离八十格的光。若周围还有中性气体、光也能被它吸收，剩下的二十格供光仍然有用。只把重叠区域涂成一次电离，会漏掉这部分供给。这是讨论光子守恒时最容易看见的问题。Choudhury 与 Paranjape，2018，§4.1

真实气体还会复合，光也需要时间传播。前一章已经用逃逸光子与复合计算了当前能保留多少电离。接下来的教学方法只安排这份净增长，不再把累计发出的光全部用一次。否则，同一份补偿复合的光就会被重复算成新电离体积。Madau、Haardt 与 Rees，1999，§3.1

先保存每一份过量

仍把盒子分成等体积单元。上一步，单元中属于电离相的体积分数记为 $f_j$ ；它还可接受的电离体积分数为

c_j=1-f_j.

下标 $j$ 是单元编号。若 $f_j=0.7$ ，剩下的是三成体积；这和整格气体处处只有七成氢电离的微观状态不同。

一次增长中，各个源先按照距离，把各自份额分给周围尚中性的体积。它们都从同一个旧状态开始，因此可能同时给同一个单元增加电离。把第一次分配相加，暂记为 $g_j$ 。若某格得到 $g_j=1.25$ ，一格里最多能保留一格电离体积，但还要记住多出的 $0.25$ 。

保留部分与过量分别是

h_j=\min(g_j,1),\qquad \epsilon_j=\max(g_j-1,0).

它们满足 $g_j=h_j+\epsilon_j$ 。截到一的操作因而分成了两件事：把一份体积留在原处，把过量交给下一轮。若只留下 $h_j$ ，丢掉的总量恰好是 $\sum_j\epsilon_j$ 。

第二轮从过量所在的单元出发，寻找还有中性体积的近邻。此时重新计算各格尚可接纳的份额；每次填入后再更新，后来的分配就能避开已经填满的地方。只要剩余空间足够接纳全部过量，最后的总电离体积便和第一次分配的总和相同。

这里采用一种明确的近似：同样远的一层单元，按各自剩余容量填入同一比例。例如这一层只有两格还可接受电离，分别剩 $0.2$ 与 $0.3$ 格体积，要分入的过量是 $0.25$ 格。能填入的共同份额是

\lambda=\frac{0.25}{0.2+0.3}=0.5.

两格各得到 $0.1$ 与 $0.15$ ，总和仍为 $0.25$ 。容量小的格子没有被强迫接纳同样多的体积。

新增体积怎样分给各个源

总共有 $N^3$ 个单元，一小步中体积填充因子增加 $\Delta Q$ ，于是可新增 $N^3\Delta Q$ 个单元体积。让源 $s$ 的电离光子率为 $\dot N_s$ 。所有源共用同一逃逸率时，按逃逸率前后的光子率计算相对权重，结果相同。分给这个源的份额为

b_s=N^3\Delta Q\frac{\dot N_s}{\sum_r\dot N_r}.

$b_s$ 的单位是单元体积；光子率的比值没有单位。若共有一千格， $\Delta Q=0.02$ ，两源光子率之比为三比一，便分得十五格与五格。复合所需的供光已经在求 $\Delta Q$ 时扣除。

第一次分配共用了 $\sum_s b_s$ 。第二轮把过量全部重新分配后，

\sum_j f_j^{\mathrm{new}} =\sum_j f_j^{\mathrm{old}}+\sum_s b_s =\sum_j f_j^{\mathrm{old}}+N^3\Delta Q.

这个式子说明为什么总量可以检查得很严格：每一份新增体积都有去处。它没有指定真实气体边界的唯一形状。

配套均匀气体合成试算中，有一步新增量约为 $67.2$ 个单元体积。第一次相加并截到一后，会少掉 $0.561$ 个单元体积；第二轮把这部分全部送入尚中性的区域。这组摘录展示方法如何保存体积，具体空间细节仍属于近似结果。同一小步的数值与来源

距离规则给出一种空间安排

均匀气体、共同复合预算的两份合成记录：同一原生时刻的全局计数相同，电离区排列不同。颜色来自原始单元体积分数，仅显示时分为三十二级；白点为光源的平面投影。该分配是非因果近似。

上述方法受光子守恒分配算法启发，但采用了逐步增长、按剩余容量填入的规则。它把相邻盒面接起来，用周期边界计算最近距离。一个边缘的源可以从相对的盒面影响附近气体，每份体积只计一次。

配套计算先把源的光子率按三维线性权重分给包围它的单元中心，最多八份。各份加起来还是原来的光子率；重合位置先合并，再进入上述分配。这些份额都代表同一个源。这种源平滑的共动尺度会随网格变细而减小。

分配顺序也会影响结果。两处过量若都想填同一片近邻，先来的会占掉一些剩余空间，后来的便要继续向外寻找。总量相同，单元边界仍可能不同。更细的增长步长和网格也可能改变这些边界。研究泡的大小、连通关系或空间起伏时，就需要分别比较这些选择。Choudhury 与 Paranjape，2018，§4.1–4.2

这套均匀气体模型让各处共用同一复合代价，所以移动固定源分布会改变形状，而总电离体积仍由前一章的方程决定。真实稠密结构若改变了复合次数，这份空间安排也会影响总量。

最近邻分配在一次计算中完成，表示一种非因果的空间近似。真实电离前沿的速度、吸收和频谱需要求解辐射传播。这里得到的是可逐步增长、可以检查体积守恒的电离相分布；下一章从同一分布求中性氢的理想 21 厘米信号。

练习和解释

两份供光各可电离三十五格体积，独立区域重叠十格。周围气体足够，且忽略复合与其他损失。并集有多大？还应向外安排多少体积？
某格原有 $0.6$ 份电离体积，两源分别再给 $0.25$ 与 $0.3$ 。求临时值、保留部分和过量。若最近一层剩余容量为 $0.1$ 与 $0.2$ ，按同一比例接纳过量，各收到多少？
两种源分布有相同的总光子率和供光历史。为什么这里可以得到相同的 $Q$ 、不同的空间图像？改成真实非均匀密度时，还要重新计算什么？

第一题的并集为 $35+35-10=60$ 格，供光足够电离七十格，因此还应安排十格。那十格来自重叠部分曾被重复计入的供给。

第二题有 $g=0.6+0.25+0.3=1.15$ ，保留一，过量为 $0.15$ 。最近层容量共 $0.3$ ，填入比例为一半，两处分别接纳 $0.05$ 和 $0.1$ 。

第三题的全局方程只用了固定总供光和共同复合代价，空间规则另行决定把电离相放在哪里。若密度不均匀，不同安排可能照到不同密度的气体；复合与电子、质子相遇有关，便要重新计算这些区域的复合损耗。