电离一半究竟是什么意思

先读星系的光怎样改变宇宙中的氢。这一章只需要分数、体积和基础代数；末节会解释变化率符号。读完后，应当能从格子里算出电离体积，判断一个给定份额代表局部状态还是空间平均，并选对复合的计算方式。

先把一块气体分成格子

设有一块密度均匀的氢气，把它分成一千个等体积格子。采用一个两相近似：电离相里的氢几乎全部电离，中性相里的氢几乎全部中性。格子中的电离体积分数记为 $f_j$；下标 $j$ 只是格子的编号。这个分数没有单位。

若某格 $f_j=0.25$，它代表四分之一格的体积属于电离相。格内那一小块边界具体长什么样，还没有由这个平均数指定。它也没有说格内每一小团气体都只有四分之一的氢电离。

取下面这组人为设定的分区来练习定义。

总的电离体积等于五百五十个格子。电离相占总空间的比例叫体积填充因子，用 $Q$ 表示：

等体积才允许直接取格子分数的算术平均；格子大小不同时，要按各格体积加权。这种把电离区体积与总空间相比的写法，是再电离填充因子模型的出发点。Madau、Haardt 与 Rees，1999，§3.1

局部的电子比例是另一个量

现在放大到足以把气体看作均匀的一小团。它的氢核数密度为 $n_{\mathrm H}$，单位是每立方米的颗数；其中电离氢的数密度是 $n_{\mathrm p}$。局部电离分数定义为

在两相近似中，局部 $x$ 大致取一或零。把这些局部值按体积平均，会得到 $Q$。再加上氢密度均匀的条件，按氢核数计算的电离份额也等于 $Q$。密度不均匀时，体积平均和按氢核数加权的平均就可能不同。

同一个 $Q=0.55$ 也可以对应均匀的局部状态 $x=0.55$。后一种情况下，到处都同时有中性原子、自由电子和质子；前一种情况下，它们主要在不同的区域。这份空间安排会进入复合率。

先只计氢，忽略其他元素提供的电子。一个局部区域中，自由电子和质子的数密度相等，都是 $n_{\mathrm H}x$。每体积每时间的复合次数因而为

这里 $\alpha_{\mathrm B}$ 是给定温度下的有效复合系数，单位为 $\mathrm{m^3\,s^{-1}}$。采用 Case B：直接回到原子最低能态时发出的电离光子，假定会在附近再电离一个原子，这种就地循环不计作需要光源补上的净复合。相乘后，$\mathcal R$ 的单位是 $\mathrm{m^{-3}\,s^{-1}}$。温度相同、氢密度相同，局部电离分数减半，电子和质子都减半，相遇的次数便降到四分之一。Mellema 等，§2.2 的局部电离方程

在一块总体积为 $V$ 的均匀密度气体中，两相安排的总复合率是 $\alpha_{\mathrm B}n_{\mathrm H}^2QV$。如果处处都是 $x=Q$，则是 $\alpha_{\mathrm B}n_{\mathrm H}^2Q^2V$。取 $Q=0.55$，两者的比例因子分别为 $0.55$ 和 $0.3025$。一个平均数没有保存所有局部相遇的信息。

把光源关掉以后，先说清跟踪谁

跟踪同一团固定密度、固定温度的气体，关光以后只留下复合。变化率记号 $\mathrm dx/\mathrm dt$ 表示局部电离分数每单位时间改变多少。由于复合减少质子，符号为负：

初始局部电离分数为 $x_0$，从关光时刻算起，解为

分母不断变大，下降逐渐放缓：自由电子和质子变少，之后相遇的机会也少了。令 $t_{\mathrm{rec},0}=1/(\alpha_{\mathrm B}n_{\mathrm H})$，它是按初始完全电离气体定义的时间尺度。从 $x_0=1$ 开始，过一个这样的时间，局部电离分数是 $1/2$。

有些体积模型把“完全电离相”按给定的复合时间减少，写成 $\mathrm dQ/\mathrm dt=-Q/t_{\mathrm{rec}}$，于是 $Q$ 指数下降。它减少的是模型中完全电离相的体积。它没有逐个跟踪同一团气体的电子比例，也没有指定边界如何移动。用它给上面这团固定气体赋值，会把一个复合时间后的 $1/2$ 错写成约 $0.368$。这正是需要分开定义两个量的地方。

练习和解释

1. 一千个等体积格子中，250 格完全电离，500 格有一半体积属于电离相，其余中性。求 $Q$，并说明它是否要求所有地方都有相同的局部 $x$。
2. 两个区域体积相等，氢数密度分别为 $n$ 和 $3n$。若只有较稠密区域完全电离，体积填充因子和按氢核数计算的电离份额各是多少？
3. 一团固定密度气体初始 $x_0=0.5$。关光后过 $t_{\mathrm{rec},0}$，求局部 $x$。这里仍用前面按完全电离状态定义的时间单位。

第一题有 $250+500/2=500$ 格的电离体积，所以 $Q=0.5$。两相近似中的局部状态主要是一和零，$Q$ 记录的是它们占多少空间。

第二题的电离区域占一半体积，所以 $Q=0.5$；它包含的氢核占 $3n/(n+3n)=0.75$。这个例子把密度均匀的条件移走了，因此两种加权方式给出不同答案。

第三题代入得 $x=0.5/(1+0.5)=1/3$。复合率里有两个随 $x$ 变小的粒子数密度，初始半电离的气体不会照搬初始全电离气体的下降曲线。

下一章把光源重新打开，计算一片膨胀的气体需要多少光。