算出热运动尾部的逃逸通量

先选粒子与球面

取以行星为中心、半径为 $r$ 的球面，向外为正方向。行星引力参数为 $GM$ ，粒子质量为 $m$ ，数密度 $n$ 的单位是每立方米，温度 $T$ 的单位是开尔文。定义热速标度 $c=\sqrt{kT/m}$ ；对于这里的单组分理想气体，它也就是等温声速。

假设球面内侧的碰撞维持了各向同性、整体漂移可以忽略的 Maxwell 速度分布。外侧近似为中心引力中的无碰撞运动，没有从无穷远入射的粒子。这组条件适合强束缚外逸层的示例。

f(\mathbf v)=\frac{n}{(2\pi c^2)^{3/2}}e^{-v^2/(2c^2)},\qquad v_{\rm esc}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}

速度密度在全部三维速度上积分得到数密度。要离开行星，既要总速率超过逃逸速度，也要正在向外运动。

对应阅读：Volkov et al. 2011, Thermally driven atmospheric escape, arXiv v1

穿面次数要按向外速度加权

在很短的时间 $\Delta t$ 里，向外速度为 $v_r$ 的粒子，能从厚度 $v_r\Delta t$ 的薄层中穿过球面。它们对单位面积、单位时间的贡献是 $v_r f\,d^3v$ 。把速度方向与径向的夹角记为 $\theta$ ，就有 $v_r=v\cos\theta$ ，速度空间体积元为 $v^2\sin\theta\,dv\,d\theta\,d\phi$ 。

只取朝外半球。方位角积分给出 $2\pi$ ，极角积分 $\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=1/2$ ，合起来是 $\pi$ 。余下的速率积分里多出一个速度因子，正是穿面加权带来的。

\Phi_{\rm J}=\frac{n\pi}{(2\pi c^2)^{3/2}}\int_{v_{\rm esc}}^\infty v^3e^{-v^2/(2c^2)}\,dv

这是单位面积、单位时间的数通量。积分只包含向外且速率足够大的轨迹。

z=\frac{v^2}{2c^2},\quad v^3dv=2c^4z\,dz,\quad\lambda=\frac{GM}{rc^2}

用无量纲能量换元，下限恰好变成束缚参数。

\Phi_{\rm J}=\frac{nc}{\sqrt{2\pi}}\int_\lambda^\infty ze^{-z}dz=\frac{nc}{\sqrt{2\pi}}(1+\lambda)e^{-\lambda},\quad\dot M_{\rm J}=4\pi r^2m\Phi_{\rm J}

分部积分得到尾部因子，再乘球面积与粒子质量，就得到每秒流失的质量。

对应阅读：Volkov et al. 2011, Thermally driven atmospheric escape, arXiv v1

找到碰撞开始稀少的地方

采用有效硬球碰撞截面 $\sigma$ ，平均自由程为 $\ell=1/(\sqrt2 n\sigma)$ 。把它与密度明显变化的距离——标高 $H$ ——相比，得到局部 Knudsen 数 $\mathrm{Kn}=\ell/H$ 。用行星半径作分母，会得到另一种 Knudsen 数，不能混用。

为定位一个示例外逸层，先在它下方采用静止等温大气。压力梯度平衡引力，把理想气体压强代入后，从储气边界积分到候选球面。

\frac{d\ln n}{dr}=-\frac{GM}{c^2r^2},\quad n(r)=n_{\rm b}\exp\!\left[\lambda_{\rm b}\left(\frac{R_{\rm b}}r-1\right)\right],\quad H=\frac{c^2r^2}{GM}

对数导数表示单位距离内密度的相对变化，积分反平方项即可得到密度剖面与局部标高。

对应阅读：Volkov et al. 2011, Thermally driven atmospheric escape, arXiv v1

完整算例：强束缚的大气

取八个地球质量单位、两个地球半径的储气边界、 $T=1000\,\mathrm K$ 和 $n_{\rm b}=10^{15}\,\mathrm{m^{-3}}$ 。粒子质量固定为 $1.6735\times10^{-27}\,\mathrm{kg}$ ，有效截面取 $2\times10^{-19}\,\mathrm{m^2}$ 。这些是给定的合成条件。

底部束缚参数为 $30.3342$ 。在储气边界与形式等温声速半径之间，寻找第一个 $\mathrm{Kn}=1$ 的根，得到 $r_{\rm ex}/R_{\rm b}=1.20447$ 。这里 $\lambda_{\rm ex}=25.1846$ ，数密度约为 $5.80\times10^{12}\,\mathrm{m^{-3}}$ 。向外通量中可逃逸的比例只有 $3.02\times10^{-10}$ 。代入局部密度、半径与热速后，得到 $\dot M_{\rm J}=9.96\times10^{-6}\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$ 。

为了看得见，场景画了八条无束缚轨迹，它们的总权重仍只有 $(1+\lambda_{\rm ex})e^{-\lambda_{\rm ex}}$ ；四十八条束缚轨迹承担剩余权重。直接数琥珀点会严重高估逃逸通量。轨迹形状按中心引力积分，播放时间经过加速。

什么时候该换一种计算

这条流体静力等温密度若延伸到无穷远，并不会降到零，因此这里只用到声速区域以内、局部 Knudsen 数的第一个交点。如果底部碰撞充分却找不到这样的交点，就不指定 Jeans 外逸层。

示例以外逸层束缚参数至少为六，作为选择 Jeans 图景的教学限制。真实动力学计算还会考虑返回粒子、非 Maxwell 分布与热传导，结果可偏离简单 Jeans 值。若气体已经集体外流，就需要同时处理连续性与动量；下一章从这里接着推。

对应阅读：Volkov et al. 2011, Thermally driven atmospheric escape, arXiv v1 · Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1

算出热运动尾部的逃逸通量

先选粒子与球面

穿面次数要按向外速度加权

找到碰撞开始稀少的地方

完整算例：强束缚的大气

什么时候该换一种计算

练习与解释性答案

动手检验预测

找到罕见的尾部

来源与计算范围