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Sandbox Physics
行星大气怎样流成风

AC13 · L3

让等温风穿过声速点

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一股平滑加速的等温风，必须在球对称压力项与引力平衡的半径穿过声速。连续性决定密度形状，底部密度决定质量流量；热量能否支持这股流动，要另行计算。

用连续性消去密度梯度

从固定球形储气边界 RbR_{\rm b} 向外量半径 rr。径向整体速度 uu 向外为正，质量密度 ρ\rho 以千克每立方米计。温度与粒子质量固定，因此 P=ρc2P=\rho c^2 且 c2=kT/mc^2=kT/m 为常数。取稳态、球对称、无粘流动，沿途没有额外质量注入。

每个薄球壳中的质量不随时间增加，内外两面的质量流量便相等。对这个乘积取对数再微分，就能用速度梯度替换动量方程里的密度梯度。

M˙=4πr2ρu,dln⁡ρdr=−2r−1ududr\dot M=4\pi r^2\rho u,\qquad\frac{d\ln\rho}{dr}=-\frac2r-\frac1u\frac{du}{dr}
球面积带来两个半径幂次；几何膨胀与流动加速都会降低密度。
ududr=−c2dln⁡ρdr−GMr2⟹(u−c2u)dudr=2c2r−GMr2u\frac{du}{dr}=-c^2\frac{d\ln\rho}{dr}-\frac{GM}{r^2}\quad\Longrightarrow\quad\left(u-\frac{c^2}{u}\right)\frac{du}{dr}=\frac{2c^2}{r}-\frac{GM}{r^2}
左侧原为流体沿路径的加速度，代入连续性后，把压强中含速度梯度的部分移到左边。

对应阅读：Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1

怎样平滑地穿过临界点

到 u=cu=c 时，速度导数前的系数为零。若斜率有限，右侧必须同时为零，于是 rs=GM/(2c2)r_{\rm s}=GM/(2c^2)。这只找到临界位置，还没有决定穿越方向。

令 x=r/rsx=r/r_{\rm s}、M=u/c\mathcal M=u/c。在临界点附近写 M=1+a(x−1)\mathcal M=1+a(x-1)，代入无量纲方程，最低阶得到 2a2(x−1)=2(x−1)2a^2(x-1)=2(x-1)，故 a=±1a=\pm1。正号对应加速风。数值积分从临界点两侧很近的地方出发，用正斜率的局部展开给出初值。

(M−1M)dMdx=2(1x−1x2),dudr∣s=crs\left(\mathcal M-\frac1{\mathcal M}\right)\frac{d\mathcal M}{dx}=2\left(\frac1x-\frac1{x^2}\right),\quad\left.\frac{du}{dr}\right|_{\rm s}=\frac c{r_{\rm s}}
原来的零除以零，用加速分支的正则斜率取代。
M=1+δ−δ22+δ34+O(δ4),δ=x−1\mathcal M=1+\delta-\frac{\delta^2}{2}+\frac{\delta^3}{4}+O(\delta^4),\qquad\delta=x-1
这条临界附近的展开，先于积分选定加速分支。

对应阅读：Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1

选根以后，再给气体多少

将无量纲方程积分一次，利用 x=1x=1、M=1\mathcal M=1 定积分常数。设 w=M2w=\mathcal M^2，下面的式子通常有两个正根。加速风在临界点内选亚声速根，外侧选超声速根；若始终取小根，会得到另一条解。

浏览器对 ln⁡w\ln w 分别在负区间、正区间求根。独立参考则在内外分别采用 Lambert-W 的主实分支与另一实分支。速度求出以后，把任意球面的连续性表达式除以底部表达式，就能恢复密度。

w−ln⁡w=4ln⁡x+4x−3w-\ln w=4\ln x+\frac4x-3
在声速点，两侧都等于一；对数根的正负选择相应分支。
n(r)=nbubu(r)(Rbr)2,M˙P=4πRb2mnbubn(r)=n_{\rm b}\frac{u_{\rm b}}{u(r)}\left(\frac{R_{\rm b}}r\right)^2,\qquad\dot M_{\rm P}=4\pi R_{\rm b}^2mn_{\rm b}u_{\rm b}
底部数密度决定质量流量的归一，与恒星加热比例独立。

对应阅读：Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1

完整算例：默认大气

取 GM=4(3.986004418×1014) m3 s−2GM=4(3.986004418\times10^{14})\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}、Rb=2(6.371×106) mR_{\rm b}=2(6.371\times10^6)\,\mathrm m、T=4000 KT=4000\,\mathrm K 与 nb=1015 m−3n_{\rm b}=10^{15}\,\mathrm{m^{-3}}。粒子质量为 1.6735×10−27 kg1.6735\times10^{-27}\,\mathrm{kg}，声速算得 5.7446 km s−15.7446\,\mathrm{km\,s^{-1}}。临界半径是 2.41574×107 m2.41574\times10^7\,\mathrm m，即 1.89589Rb1.89589R_{\rm b}。

在底部选亚声速根，将速度乘上密度与球面积，得到 M˙P=7.69715×106 kg s−1\dot M_{\rm P}=7.69715\times10^6\,\mathrm{kg\,s^{-1}}。声速点的对数密度变化长度为 Lρ=rs/3L_\rho=r_{\rm s}/3：几何面积贡献两项，正则加速度贡献一项。采用给定碰撞截面，算得 Kns=0.00402\mathrm{Kn}_{\rm s}=0.00402。这里用低于 0.10.1 作连续介质的必要检查。

下表来自公开独立 ODE 重跑，输入与场景预设相同。文件多留的数字方便复算，不代表真实大气具有相应精度。两个较冷例子尤其能看出，形式 Parker 流量虽可算出，却未必适合作物理解释。

replay-wind.py 的实际合成结果：固定类中性氢质量与有效碰撞截面，给定温度，储气半径为地球的两倍，外边界为储气半径的十二倍。输入列明每例全部设置；即使物理条件失效，表中仍列形式风解流量。
情形声速与底部半径比形式 Parker 流量 · 千克每秒声速区 Knudsen 数所需与可用功率比
默认风1.91.97.70×1067.70\times10^{6}4.02×10−34.02\times10^{-3}2.28×10−12.28\times10^{-1}
罕见尾部1.52×1011.52\times10^{1}6.77×10−46.77\times10^{-4}1.83×1081.83\times10^{8}2.05×10−92.05\times10^{-9}
稀薄气体5.065.067.90×1027.90\times10^{2}9.05×1019.05\times10^{1}2.80×10−42.80\times10^{-4}
热量不足1.261.261.84×1071.84\times10^{7}1.37×10−31.37\times10^{-3}7.52×1027.52\times10^{2}
临界点低于底部2.11×10−12.11\times10^{-1}7.11×1077.11\times10^{7}7.26×10−57.26\times10^{-5}3.783.78

维持这股风需要多少热

入射高能辐照度 FXUVF_{\rm XUV} 是垂直于光线的单位面积功率，行星截获的是一个圆盘。可用功率为 Pav=ηπRXUV2FXUVP_{\rm av}=\eta\pi R_{\rm XUV}^2F_{\rm XUV}。示例明确取 RXUV=RbR_{\rm XUV}=R_{\rm b}；真实吸收半径可以不同于凌日半径。把功率除以底部每千克气体的束缚能，得到常用能量限制尺度。

给定温度的风则只比较到 ro=12Rbr_{\rm o}=12R_{\rm b}。两端温度相同，比焓相同，净补热就是动能与引力势能的增加。若把等温条件一直延伸到无穷远，风将需要无界的总能量供给。

M˙EL=ηπRXUV2FXUVGM/Rb\dot M_{\rm EL}=\frac{\eta\pi R_{\rm XUV}^2F_{\rm XUV}}{GM/R_{\rm b}}
这是功率尺度，与按密度归一的输运解分别计算。
Preq=M˙P[uo2−ub22+GM ⁣(1Rb−1ro)]P_{\rm req}=\dot M_{\rm P}\left[\frac{u_{\rm o}^2-u_{\rm b}^2}{2}+GM\!\left(\frac1{R_{\rm b}}-\frac1{r_{\rm o}}\right)\right]
方括号单位为焦耳每千克。它给出有限半径的机械能需求，还没有求光怎样沉积热量。

对应阅读：Murray-Clay, Chiang & Murray2009, Atmospheric escape from hot Jupiters, v2 · Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1

使用结果前，读懂它的条件

默认 FXUV=100 W m−2F_{\rm XUV}=100\,\mathrm{W\,m^{-2}}、η=0.15\eta=0.15，得到 M˙EL=6.11443×107 kg s−1\dot M_{\rm EL}=6.11443\times10^7\,\mathrm{kg\,s^{-1}} 与 Preq/Pav=0.228P_{\rm req}/P_{\rm av}=0.228。可用功率有机会供给这段机械能增加；温度、电离与冷却仍需能量方程决定。

只改变辐照度，改变的是这个比较，因为输运温度已独立给定。“缺少的加热”预设中，比例约为752，意味着这条数学风解需要额外热源，或改用另一种温度结构。若临界点低于储气边界，所选分支在底部就已经超声速；若声速区碰撞稀少，应转用动力学处理。这些检查分别告诉我们下一步需要补什么物理。

对应阅读：Murray-Clay, Chiang & Murray2009, Atmospheric escape from hot Jupiters, v2 · Volkov et al. 2011, Thermally driven atmospheric escape, arXiv v1

练习与解释性答案

  1. 质量、半径、温度不变，底部密度加倍，Parker 流量与声速区 Knudsen 数怎样改变？

    展开解释

    速度剖面不变，质量流量加倍，平均自由程减半，故声速区 Knudsen 数减半。所需功率加倍，恒星可用功率保持不变。

  2. 粒子质量不变，温度加倍，rsr_{\rm s} 与 λb\lambda_{\rm b} 怎样改变？

    展开解释

    声速平方与温度成正比，故两者都减半。整条速度曲线仍须重算，不能从这个简单倍数直接得到质量流失率。

  3. 某条解的质量通量稳定到十二位数字，但声速区 Knudsen 数为九十。它是否已经验证为物理风？

    展开解释

    它是在流体近似失效的地方，数值上自洽的流体解。守恒残差检查方程内部的算术，碰撞条件则检查这些方程能否描述气体。

动手检验预测

分开输运与加热

  1. 预测只把底部密度加倍会改变什么，再打开进阶设置检验。
  2. 选择“缺少的加热”，增加 XUV 功率，比较功率比与保持不变的速度曲线。
  3. 选择“埋入下边界的临界点”，指出储气边界处已经超声速的原因。

来源与计算范围

  1. Cranmer 2004, New views of the solar wind with the Lambert W function, v1

    2004 年 6 月 7 日第一版，AJP 72,1397–1403。核读全文第 III–IV 节、式12–16：等温动量方程、临界点与两个实 Lambert-W 分支。太阳风的电离氢声速约定在这里换成明确固定的单粒子质量。

  2. Volkov et al. 2011, Thermally driven atmospheric escape, arXiv v1

    2010 年 9 月 26 日第一版，后发表于 ApJL729,L24（2011）。核读第2节与图1–5：硬球平均自由程、以半径或局部标高定义的不同 Knudsen 数、动力学逃逸及条件性的 Jeans 修正。其下边界以下加热不同于持续维持等温的风。实验碰撞截面是教学输入，不是来源中的氮分子取值。

  3. Murray-Clay, Chiang & Murray2009, Atmospheric escape from hot Jupiters, v2

    2008 年 11 月 18 日第二版，ApJ 693,23（2009）。核读第3.2节、式19/22与图7：吸收截面、能量限制尺度及冷却/复合对固定效率的限制。来源研究热木星辐射流体；低质量行星示例只采用明确列出的整体功率比较。

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