光学 094 · 光纤、结构光与现代波动光学

矢量光束与光学 Skyrmion

光束截面上的偏振图案，怎样才算一个光学 Skyrmion？ 归一化 Stokes 场在空间中变化，包裹庞加莱球。只有偏振场连续、边界可缩并成固定一点时，才有整数拓扑度；有限观测圆盘的积分通常不是整数。仅有径向偏振并不覆盖整个球面。

用三维电场椭圆和独立的 Stokes 诊断查看两分量 Jones 场的传播。旋转检偏器，找圆偏振与线偏振位置，用六次理想曝光重建局部 Stokes 向量，对有限圆盘做球面三角积分，并冻结一次采集。

有限圆盘 Stokes 积分

Q_R

$0.50$

线性检偏器透过功率

P_\alpha/P_0

$50\%$

入射积分功率

P/P_0

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型使用六百三十三纳米的相干近轴 Laguerre–Gaussian 包络，共束腰、共焦面。输入制备和检偏曝光理想、无噪声。有限圆盘积分不取整，暗轴处保留未定义状态。Stokes 箭头属于抽象偏振坐标。不含高数值孔径聚焦、部分偏振、材料相互作用或实验数据。

物理教程

检验矢量光束与光学 Skyrmion的物理过程

背景矢量光束的偏振椭圆会随横向位置变化。全庞加莱预设把两路正交圆偏振叠在一起： $\mathbf E=\sqrt{1-q}\,u_0\mathbf e_++\sqrt q\,e^{i\delta}u_m\mathbf e_-$ 。第一路空间模式为高斯，第二路带涡旋；两路共束腰、共焦面，按归一化近轴 LG 模式传播。径向与方位偏振预设改用相反涡旋阶数，默认设置下每个有光位置都是线偏振。

为什么值得理解光束截面上的偏振图案，怎样才算一个光学 Skyrmion？

先抓重点

核心问题: 光束截面上的偏振图案，怎样才算一个光学 Skyrmion？
一句话直觉: 从局部 Stokes 向量计算球面覆盖量： $Q_R=\frac{1}{4\pi}\sum_{t\subset D_R}\Omega_t$ 。采样圆盘上的每个三角形都映到一个有向球面三角形，面积之和给出有限窗口积分，不会自动成为整数。整数拓扑度需要连续场，以及能缩并为固定偏振态的边界。暗轴处保留未定义，不补造偏振。

核心数学模型

圆偏振基与 Stokes 约定

\begin{aligned}\mathbf e_\pm&=\frac{\hat{\mathbf h}\pm i\hat{\mathbf v}}{\sqrt2}\\S_0&=|E_h|^2+|E_v|^2\\s_1&=(|E_h|^2-|E_v|^2)/S_0\\s_2&=2\Re(E_h^*E_v)/S_0\\s_3&=2\Im(E_h^*E_v)/S_0\end{aligned}

水平、竖直、传播方向组成右手系，载波取正向传播相位与负时间相位。第三 Stokes 分量的正负由此式定义，避免左右旋叫法的歧义。强度为零时，归一化向量未定义。

检偏器测到什么

I_\alpha=|E_h\cos\alpha+E_v\sin\alpha|^2

检偏器只透过电场在一个横向方向上的投影。三组互补的理想曝光给出总强度与三个 Stokes 差值。这是同一场的顺序曝光，不是六路同时分出的光，不能把六次功率相加当作入射功率。

独立的边界对照

Q_R=\frac{m}{2}[s_3(0)-s_3(R)]

对轴对称高斯—涡旋叠加，它给出球面三角计算的独立对照。圆偏振中心和线偏振圆都由同一组 Jones 分量确定。两路分量都存在、涡旋阶数非零时，理想无限平面的拓扑度等于带符号阶数。把圆盘扩到极弱光区只是数学操作，不代表真实测量能抵抗噪声。

常见难点

偏振绕一圈就算 Skyrmion 吗？

容易误解径向矢量光束的电场箭头绕中心转，因此一定有单位 Skyrmion 数。

正确理解不是。默认径向光束只取庞加莱球的赤道，轴上还是暗点。全庞加莱高斯—涡旋光束既跨纬度，也绕经度；即便如此，有限圆盘也不必完整覆盖一个球面。

动手实验

01
场景 1：径向矢量光束
比较径向与方位偏振预设，再旋转线性检偏器。未检偏的强度相同，透过的双瓣却相差直角。改变相对相位，局部偏振方向也会旋转。
你会看到： 电场椭圆表示真实横向电场随时间的轨迹。Stokes 箭头属于偏振空间，沿场景轴向的分量并不表示纵向电场。
02
场景 2：方位矢量光束
选择全庞加莱预设，先采样中心，再点击椭圆图中的轴外位置。找到圆偏振中心与金色线偏振圆，改变混合比例，看线偏振圆半径怎样移动。
你会看到： 改变高斯束腰，会同时改变真实束宽和瑞利长度。三维轴向与横向比例不同，页面明确标出。
03
场景 3：全庞加莱光束与有限圆盘
改变积分半径，反转带符号涡旋阶数。比较金色数值点、青色边界曲线与紫色无限平面极限。移动探测面查看 Gouy 相位引起的偏振旋转，再冻结六次曝光后继续调节。
你会看到： Stokes 重建使用六组理想强度数组。冻结记录会保留这些数组与两路复 Jones 分量，随后调节不会改写它们。