光学 033 · 成像、仪器与视觉系统

远心测量相机

在两台实时光学平台上对比普通、物方、像方与双远心成像。移动靶与传感器，偏移真实孔径光阑并截断有限瞳；等尺度计算传感器像揭示透视、模糊与质心偏差。

边缘质心估计／主光线倍率

\hat d,m_c

$0.50$

物方／像方主光线角

\alpha_o,\alpha_i

$50\%$

几何模糊／被接收边缘瞳

b_g,A_{\mathrm{edge}}/A

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

远心测量相机

物体轴向位移（朝向物镜为正）

\Delta z_o

40\,\mathrm{mm}

传感器位移（远离透镜为正）

\Delta z_i

0\,\mathrm{mm}

光阑相对焦面的偏移

\Delta s_a

0\,\mathrm{mm}

光阑通光半径

a_s

3\,\mathrm{mm}

透镜有效孔径半径

a_L

26\,\mathrm{mm}

琥珀色是普通相机，青色是所选系统；两者观察相同的移动 20 mm 靶。两个传感器像采用相同物理尺度。光阑偏移为零对应正确焦面位置。物体位移朝向物镜为正，传感器位移远离末片透镜为正；有效孔径半径改变真实孔径，不改变玻璃曲率。

采用近轴理想透镜与几何瞳积分；估计量来自边缘点像质心和固定标定，不是环形像阈值拟合。衍射、噪声、像差与商业测量精度不在模型内。

先抓重点

核心问题: 模糊的像还能保持正确尺寸吗？截光何时会破坏这个保证？
一句话直觉: 双透镜之间的共焦面光阑让两侧主光线都与光轴平行。理想中继满足 $m_{\mathrm{double}}=-\frac{f_2}{f_1},\qquad b_g=2a_s\left|\frac{B}{B_s}\right|$ 。尺度恒定与零离焦是两个性质；孔径截光甚至会破坏质心测量。

核心数学模型

传播到真实孔径光阑

\begin{pmatrix}y_s\\u_s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A_s&B_s\\C_s&D_s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_o\\u_o\end{pmatrix},\qquad u_{o,c}=-\frac{A_s}{B_s}y_o

主光线穿过光阑中心，因此其光阑高度为零。每条可见光线都针对圆形光阑内的一个点求解，并在每个理想透镜平面改变斜率；有限通光孔径按同样顺序检查。

主光线倍率与几何模糊

y_i=m_cy_o+\frac{B}{B_s}y_s,\qquad m_c=A-B\frac{A_s}{B_s},\qquad b_g=2a_s\left|\frac{B}{B_s}\right|

对称、无遮挡的瞳使光斑中心位于主光线上。直径可以增大而中心不动。显示的直径由两个独立边缘点像的质心与固定标称倍率推断，不是对模糊环形像做阈值拟合。

物方与像方不能混为一谈

m_{\mathrm{obj}}=1-\frac{v}{f},\qquad m_{\mathrm{img}}=-\frac{f}{s-f}

光阑在后焦面时，固定像距 v 下物体移动不改变传感器主光线尺度；光阑在前焦面时，固定物距 s 下传感器移动不改变尺度。每种单侧远心系统仍对另一侧移动敏感。

双远心仍有有限景深

d_{12}=f_1+f_2,\qquad m_c=-\frac{f_2}{f_1},\qquad \Delta z_{i,\mathrm{focus}}=m_c^2\Delta z_o

光阑应位于共享的后／前焦面。最佳像面按纵向放大率随物体位移而移动；将传感器移到该面可恢复几何焦点，保持传感器不动则保留尺度但产生模糊。这里未建模衍射与噪声，因此不声称实用测量精度或无限景深。

截光使光斑质心移动

\bar y_i=m_cy_o+\frac{B}{B_s}\langle y_s\rangle_{\mathrm{accepted}},\qquad\hat d=\frac{|\bar y_{i,+}-\bar y_{i,-}|}{|m_0|}

被截光的瞳不一定均值为零。因此即使远心光阑位置正确，缩小透镜有效孔径半径仍可使推断直径偏离。粉色光线在不透光边缘终止；边缘瞳完全消失时报告测量无效，不伪造零直径。

常见难点

远心就意味着所有深度都清晰且可测

容易误解只要显示倍率恒定，模糊和孔径大小就不影响测量。

正确理解远心性控制主光线几何，不控制完整点扩散函数。离焦使光斑变宽，衍射与噪声限制实际边缘估计，截光破坏瞳对称。理想质心结果只有在所需边缘光线送达时才成立。

动手实验

01
场景 1：物方远心深度扫描
从物方远心开始，保持传感器位移与光阑偏移为零，扫描物体位移。对照两幅环形像与相同虚线标定圆，再移动传感器。
应该观察到： 物体位移 40 mm 时，普通相机将 20 mm 靶估为 24 mm；光阑位置正确的物方远心相机保持 20 mm，但仍会模糊。
02
场景 2：像方远心传感器扫描
打开像方远心，扫描传感器位移：所选环形像保持尺度，普通相机则改变尺度。再移动物体，揭示尚存的物方依赖。
应该观察到： 偏离焦点时，更大的光阑产生更大的几何模糊。缩光阑不改变标称主光线尺度；由于未包含衍射，不能据此声称分辨率无限改善。
03
场景 3：双远心中继
打开双远心，移动两个平面，再偏移光阑并缩小透镜有效孔径半径。分别检查主光线角度、几何模糊与被接收的边缘瞳。
应该观察到： 有效孔径半径滑块会真实改变透明圆盘与不透光镜架开孔。它是孔径半径，不是示意玻璃的曲率半径。