光学 033 · 成像、仪器与视觉系统

远心测量相机

像没有对准焦，相机还能把物体尺寸量准吗？ 能，用远心镜头。光阑放在共同焦面上，每束光的主光线都平行于光轴；离焦时光斑变大，中心却不动，量出的尺寸还是对的。可一旦镜框挡掉一束光的一部分，光斑就不对称了，中心跟着偏移，尺寸也就量错了。

在两台实时光学台上比较普通、物方远心、像方远心和双远心成像。移动量规和传感器、平移孔径光阑、截断有限光瞳；按相同尺度计算的传感器像会显示透视、模糊和质心偏差。

边缘质心估计／主光线倍率

\hat d,m_c

$0.50$

物方／像方主光线角

\alpha_o,\alpha_i

$50\%$

几何模糊／被接收边缘瞳

b_g,A_{\mathrm{edge}}/A

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

远心测量相机

物体轴向位移（朝向物镜为正）

\Delta z_o

40\,\mathrm{mm}

传感器位移（远离透镜为正）

\Delta z_i

0\,\mathrm{mm}

光阑相对焦面的偏移

\Delta s_a

0\,\mathrm{mm}

光阑通光半径

a_s

3\,\mathrm{mm}

透镜有效孔径半径

a_L

26\,\mathrm{mm}

琥珀色是普通相机，青色是所选系统，两者都对同一个移动的 20 mm 量规成像。两个传感器像按相同的物理尺度比较。光阑偏移为零时，光阑正好位于焦面。物体位移朝物镜方向为正，传感器位移远离最后一片透镜为正。有效孔径半径改变的是孔径本身，不是玻璃曲率。

模型采用理想近轴透镜，并在光瞳上做几何积分。估计值来自边缘点像的质心和固定标定，不是对环形像做阈值拟合。不考虑衍射、噪声、像差和商用测量设备的精度。

物理教程

检验远心测量相机的物理过程

背景远心相机并不能让所有深度都清晰成像。孔径光阑选出主光线，也就是穿过光阑中心的那条光线。把光线的高度和斜率从物体一路传到传感器，得到 $m_c=A-B\frac{A_s}{B_s}$ 。像的大小由主光线落在传感器上的位置决定；主光线周围的有限光束仍会散开，形成模糊斑。

为什么值得理解像没有对准焦，相机还能把物体尺寸量准吗？

先抓重点

核心问题: 像没有对准焦，相机还能把物体尺寸量准吗？
一句话直觉: 把光阑放在两组透镜共用的焦面上，两侧的主光线就都与光轴平行。理想中继满足 $m_{\mathrm{double}}=-\frac{f_2}{f_1},\qquad b_g=2a_s\left|\frac{B}{B_s}\right|$ 。尺度不变和没有离焦是两回事。孔径一旦截掉部分光束，连质心测量都可能失效。

核心数学模型

传播到真实孔径光阑

\begin{pmatrix}y_s\\u_s\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}A_s&B_s\\C_s&D_s\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_o\\u_o\end{pmatrix},\qquad u_{o,c}=-\frac{A_s}{B_s}y_o

主光线穿过光阑中心，所以它在光阑处的高度为零。画出的每条光线都瞄准圆形光阑内的某一点求解，经过每个理想透镜平面时改变斜率；有限通光孔径也按同样的顺序逐个检查。

主光线倍率与几何模糊

y_i=m_cy_o+\frac{B}{B_s}y_s,\qquad m_c=A-B\frac{A_s}{B_s},\qquad b_g=2a_s\left|\frac{B}{B_s}\right|

瞳对称、没有被遮挡时，光斑中心落在主光线上。光斑可以变大，中心却不动。显示的直径由两个边缘点像各自的质心和固定的标称倍率算出，不是对模糊的环形像取阈值拟合。

物方与像方不能混为一谈

m_{\mathrm{obj}}=1-\frac{v}{f},\qquad m_{\mathrm{img}}=-\frac{f}{s-f}

光阑在后焦面时，只要像距 v 不变，移动物体不会改变传感器上的主光线尺度。光阑在前焦面时，只要物距 s 不变，移动传感器也不会改变尺度。这两种单侧远心系统，对另一侧的移动仍然敏感。

双远心仍有有限景深

d_{12}=f_1+f_2,\qquad m_c=-\frac{f_2}{f_1},\qquad \Delta z_{i,\mathrm{focus}}=m_c^2\Delta z_o

光阑放在前组后焦面与后组前焦面重合的位置。物体移动时，最佳像面移动的距离等于纵向放大率乘以物体位移。把传感器移到新像面，几何焦点就恢复了；传感器不动，尺度保持不变，图像却会模糊。这里没有模拟衍射和噪声，所以不声称实际测量精度，也不声称景深无限。

截光使光斑质心移动

\bar y_i=m_cy_o+\frac{B}{B_s}\langle y_s\rangle_{\mathrm{accepted}},\qquad\hat d=\frac{|\bar y_{i,+}-\bar y_{i,-}|}{|m_0|}

瞳被截掉一部分后，平均位置不一定还在中心。所以即使远心光阑放对了位置，缩小透镜有效孔径半径仍会让测出的直径偏离。粉色光线止于不透光的镜框。如果某个边缘点的光完全过不来，就报告测量无效，不给出零直径。

常见难点

远心就意味着所有深度都清晰且可测

容易误解只要显示倍率恒定，模糊和孔径大小就不影响测量。

正确理解远心只管主光线的几何，管不了整个点扩散函数。离焦让光斑变宽，衍射和噪声限制实际的边缘定位，截光破坏瞳的对称。只有所需的边缘光线都到达传感器，理想质心结果才成立。

动手实验

01
场景 1：物方远心深度扫描
从物方远心开始。传感器位移和光阑偏移保持为零，扫描物体位移。把两幅环形像和同样的虚线标定圆对照，再移动传感器。
你会看到： 物体移动 40 mm 时，普通相机把 20 mm 的标准件量成 24 mm；光阑位置正确的物方远心相机仍读出 20 mm，只是图像会模糊。
02
场景 2：像方远心传感器扫描
打开像方远心，扫描传感器位移：所选环形像尺度不变，普通相机的像则会变大变小。再移动物体，看尺度仍然随物方变化。
你会看到： 离开焦点时，光阑越大，几何模糊越大。缩小光阑不改变标称的主光线尺度。模型没有计入衍射，所以不能由此说分辨率可以无限提高。
03
场景 3：双远心中继
打开双远心，移动两个平面，再偏移光阑、缩小透镜有效孔径半径。逐一检查主光线角度、几何模糊和边缘瞳中通过的部分。
你会看到： 有效孔径半径滑块会真的改变透明圆盘和不透光镜架的开孔。它是孔径半径，不是示意玻璃的曲率半径。