光学 061 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

Talbot 自成像地毯

移动吸收接收器，穿行有限振幅／相位光栅的平移与分数 Talbot 像。探索二维交叉、光源倾斜与真实边缘衍射，对照明确标记的理想周期参考。

完整无平移复现／实际接收距离

z_{\rm T},z

$0.50$

光栅透射／有限视场平均强度

T,\overline I_{\rm window}

$50\%$

有限载片边长／接收像素间距

L,\Delta x

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

Talbot 自成像地毯

光栅：零为吸收，一为相位

g

0

实际光栅周期

d

80\,\mathrm{\mu m}

相干波长

\lambda

532\,\mathrm{nm}

开孔／相位条带占比

D

0.25

当前波长的编程条带相位

\phi

0.50\pi

每边完整周期数（有限载片）

N

16

图案：零为条带，一为交叉二维

b

0

接收移动／完整无平移 Talbot 距离

z/z_{\rm T}

1

光源水平倾斜

\theta_x

0\,\mathrm{mrad}

显示增益指数（不改原始数据）

e_G

0

光栅能不用透镜给自己成像。接收器移到半距离：图案平移半周期；完整距离恢复无平移图案。窄开孔在三分之一距离会在一个周期内出现三个相干副本。相位光栅复现可能强度均匀，四分之一距离却能把相位变为强反差。对比实际有限光栅与单独标记的无限周期对照，改变真实周期数以观察边缘衍射。可点击地毯是同一有限场的多平面计算扫描，不是发光实体或单次曝光重建。原始像素、反差和对数显示亮度分开。

有限载片标量近轴 Fresnel 积分、理想编程相位、相干单色照明与面积平均像素。周期 Fourier 对照及独立轴向点扫描不是采集重建。装置不等比例，不含矢量边缘物理、噪声或部分相干。

先抓重点

核心问题: 周期光栅为什么会在传播中重现平移或倍频的自身副本？
一句话直觉: 半距离时偶次谐波保持符号，奇次反号： $u^{\rm per}_{z_{\rm T}/2}(x)=t^{\rm per}(x-d/2)$ 。这组符号使整个场平移半周期；纯相位透射的强度仍可均匀。

核心数学模型

同一光栅，两种物理作用

\begin{aligned}A(x)&=\mathbf1_{|x|<Nd/2}\\g_D(x)&=\sum_n\mathbf1_{|x-nd|<Dd/2}\\t_{\rm amp}&=A g_D\\t_{\rm phase}&=A[1+(e^{i\phi}-1)g_D]\end{aligned}

占比改变真实狭缝宽。振幅片在孔外挡光，相位条带改变复振幅相位而非强度透射。载片窗口有限。编程相位针对所选波长，不从未定义材料推断。

实际有限采集

\begin{aligned}u_z(x)&=\frac{1}{\sqrt{i\lambda z}}\int_{-Nd/2}^{Nd/2}t(\xi)e^{\frac{i\pi(x-\xi)^2}{\lambda z}}\,\mathrm d\xi\\U_z(x,y)&=u_z(x)v_z(y)\end{aligned}

去掉公共纵向载波。狭缝端点给出 Fresnel C、S 差。一维片纵向是有限透明窗；交叉片是两方向光栅可分离乘积。此采集没有周期边界。

独立无限周期对照

\begin{aligned}u^{\rm per}_z(x)&=\sum_{m=-M}^M c_m e^{2\pi imx/d-i\pi\lambda zm^2/d^2}\\c_m^{\rm amp}&=D\,\operatorname{sinc}(mD)\\c_m^{\rm phase}&=\delta_{m0}+(e^{i\phi}-1)c_m^{\rm amp}\\M&=96\end{aligned}

Sinc 定义为参数乘圆周率的正弦除以该乘积。零级不可遗漏。周期透射不含有限载片包络。有限谐波对照有边缘振铃及小量截尾功率，不是有限片采集，也不是完整波预测。

分数副本相加的是振幅

\begin{aligned}u_{z_{\rm T}/4}^{\rm per}(x)&=\frac{1-i}{2}t^{\rm per}(x)+\frac{1+i}{2}t^{\rm per}(x-d/2)\\u_{z_{\rm T}/3}^{\rm per}(x)&=\sum_{j=0}^2a_jt^{\rm per}(x-jd/3)\\a_j&=\frac13\sum_{m=0}^2e^{-2\pi im^2/3+2\pi imj/3}\end{aligned}

恒等式描述无截尾无限周期极限，不是有限采集或截尾对照。四分之一系数来自偶奇谐波相位。振幅开孔窄于三分之一周期时，三分之一面副本分离；更宽副本相干重叠，不能普遍用强度条纹相乘。有限边缘破坏精确重复。

倾斜、像素与透射各有含义

\begin{aligned}I_{\theta}(x,z)&=I_0(x-z\theta_x,z)\\I_{ab}&=\frac1{\Delta x^2}\iint_{\mathrm{pixel}_{ab}}|U_z|^2\,\mathrm dx\,\mathrm dy\\T_{\rm amp}&=D^{1+b},\quad T_{\rm phase}=1\end{aligned}

倾斜使地毯剪切，图案在接收器移动。六周期视场内平均强度不等于总透射功率。三维接收面和放大数据用同一面积平均像素；地毯独立计算点强度扫描，不是单帧重建。增益不改原始数值。

真实自成像为什么不完美

\begin{aligned}k_z&=\sqrt{k^2-k_x^2-k_y^2}\\k_z&\simeq k-\frac{k_x^2+k_y^2}{2k}\\\Delta x&=d/32\end{aligned}

求解采用二次近轴相位、理想相干及突变薄边界。大角度边缘分量、有限带宽、相干长度和像素积分都会限制细节。这里仅纳入有限片衍射及像素积分，不声称无限分形或外部科学认证。

常见难点

强度均匀不等于没有自成像

容易误解每个 Talbot 面都必须出现相位光栅的亮副本。

正确理解无损相位光栅在片面强度均匀。理想场复现恢复相位图案，不是可见振幅条纹；反差会在分数面出现。有限载片边缘另添衍射。

动手实验

01
场景 1：有限无平移复现
从振幅条带开始，对比半距离与完整复现，检查有限片真开孔及接收正面。
应该观察到： 半距离使理想图案平移半周期，完整距离恢复无平移场。
02
场景 2：三分之一 · 三副本
用三分之一预设，加宽开孔直至三个相干副本重叠，对照周期参考。
应该观察到： 窄振幅开孔使分数副本分离，宽副本相干干涉，而非简单倍增强度条纹。
03
场景 3：相位变强度 · 交叉二维
切到交叉相位条带，对比四分之一的反差与完整距离的均匀，再减少有限周期数。
应该观察到： 相位复现可强度均匀，有限片与面积平均探测器使锐利完美重复不成立。