光学 061 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

Talbot 自成像地毯

光栅后面的光，为什么会在特定距离上重现光栅的图样？ 光栅的各个衍射级一路传播，积累的相位各不相同，到 Talbot 距离处又重新对齐，图样就重现了。走到一半时，奇数级符号翻转，副本错开半个周期。在这段距离的简单分数处，几个错开的副本叠在一起，条纹看上去更密。光栅尺寸有限，这些重现都不完美。

在有限振幅光栅或相位光栅后面移动吸收式接收器。寻找平移的 Talbot 像和分数 Talbot 像、二维交叉图案、光源倾斜的影响和光栅边缘的衍射，并逐一和理想周期参考对比。

完整无平移复现／实际接收距离

z_{\rm T},z

$0.50$

光栅透射／有限视场平均强度

T,\overline I_{\rm window}

$50\%$

有限载片边长／接收像素间距

L,\Delta x

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

Talbot 自成像地毯

光栅：零为吸收，一为相位

g

0

实际光栅周期

d

80\,\mathrm{\mu m}

相干波长

\lambda

532\,\mathrm{nm}

开孔／相位条带占比

D

0.25

当前波长下条带的编程相位

\phi

0.50\pi

每边完整周期数（载片大小有限）

N

16

图案：零为条带，一为交叉二维

b

0

接收面移动距离／完整无平移 Talbot 距离

z/z_{\rm T}

1

光源水平倾斜

\theta_x

0\,\mathrm{mrad}

显示增益指数（不改原始数据）

e_G

0

光栅不用透镜也能给自己成像。把接收器移到 Talbot 距离的一半，图案平移半个周期；到完整距离，图案原样回来，不再平移。开孔很窄时，试试三分之一距离：一个周期里会出现三个相干副本。相位光栅在复现位置可能强度均匀，到四分之一距离，相位却会变成很强的明暗反差。把有限光栅和单独标出的无限周期参考对比，再改变周期数，看边缘衍射。可点击的地毯是同一有限场在多个平面上的计算扫描，不是发光的实物，也不是从单次曝光重建出来的。原始像素、反差和对数显示亮度分开呈现。

场用有限光栅上的标量近轴 Fresnel 积分计算；相位是理想的编程相位，照明相干单色，像素按面积取平均。周期 Fourier 参考和单独的轴向点扫描都是计算结果，不是采集数据的重建。装置各部分比例不同。不考虑边缘处的矢量效应、噪声和部分相干。

物理教程

检验Talbot 自成像地毯的物理过程

背景横向无限周期重复的场，只含一组离散的横向空间频率。按 Fresnel 传播，这些频率的相位各自变化，传播到下面这个距离又全部对齐： $z_{\rm T}=2d^2/\lambda$ 。在这个距离上，整个场原样复现，没有平移。有些文献用这个距离的一半作定义，这里不用。

为什么值得理解光栅后面的光，为什么会在特定距离上重现光栅的图样？

先抓重点

核心问题: 光栅后面的光，为什么会在特定距离上重现光栅的图样？
一句话直觉: 传播一半距离时，偶次谐波符号不变，奇次谐波符号反转： $u^{\rm per}_{z_{\rm T}/2}(x)=t^{\rm per}(x-d/2)$ 。这组符号让整个场横向平移半个周期。如果光栅只改变相位，强度看起来仍可能是均匀的。

核心数学模型

同一光栅，两种物理作用

\begin{aligned}A(x)&=\mathbf1_{|x|<Nd/2}\\g_D(x)&=\sum_n\mathbf1_{|x-nd|<Dd/2}\\t_{\rm amp}&=A g_D\\t_{\rm phase}&=A[1+(e^{i\phi}-1)g_D]\end{aligned}

开孔占比决定真实的狭缝宽度。振幅光栅挡住开孔外的光；相位条带只改变复振幅的相位，不改变强度透射。载片窗口是有限的。相位值直接按所选波长设定，不从某种未指定的材料推算。

有限光栅后的实际场

\begin{aligned}u_z(x)&=\frac{1}{\sqrt{i\lambda z}}\int_{-Nd/2}^{Nd/2}t(\xi)e^{\frac{i\pi(x-\xi)^2}{\lambda z}}\,\mathrm d\xi\\U_z(x,y)&=u_z(x)v_z(y)\end{aligned}

略去沿轴传播的公共相位。每条狭缝的贡献，是 Fresnel 积分 C 和 S 在两端取值之差。条带片在竖直方向是一段有限的透明窗；交叉片是两个方向光栅的乘积，可以分开计算。这次采集不用周期边界。

独立无限周期对照

\begin{aligned}u^{\rm per}_z(x)&=\sum_{m=-M}^M c_m e^{2\pi imx/d-i\pi\lambda zm^2/d^2}\\c_m^{\rm amp}&=D\,\operatorname{sinc}(mD)\\c_m^{\rm phase}&=\delta_{m0}+(e^{i\phi}-1)c_m^{\rm amp}\\M&=96\end{aligned}

Sinc 的定义是：参数乘以圆周率后取正弦，再除以这个乘积。零级不能漏掉。周期透射不含有限载片的包络。这个参考只保留有限个谐波，所以边缘有振铃，还截掉了一小部分功率。它既不是有限光栅的采集结果，也不是全波预测。

分数副本相加的是振幅

\begin{aligned}u_{z_{\rm T}/4}^{\rm per}(x)&=\frac{1-i}{2}t^{\rm per}(x)+\frac{1+i}{2}t^{\rm per}(x-d/2)\\u_{z_{\rm T}/3}^{\rm per}(x)&=\sum_{j=0}^2a_jt^{\rm per}(x-jd/3)\\a_j&=\frac13\sum_{m=0}^2e^{-2\pi im^2/3+2\pi imj/3}\end{aligned}

这些等式只在不截尾的无限周期极限下成立，不描述有限采集，也不描述截尾参考。四分之一面的系数来自偶次和奇次谐波的相位。振幅开孔窄于三分之一周期时，三分之一面上的副本彼此分开；开孔更宽时，副本相干重叠，一般不能靠强度条纹相乘得到结果。有限边缘会破坏精确重复。

倾斜、像素与透射各有含义

\begin{aligned}I_{\theta}(x,z)&=I_0(x-z\theta_x,z)\\I_{ab}&=\frac1{\Delta x^2}\iint_{\mathrm{pixel}_{ab}}|U_z|^2\,\mathrm dx\,\mathrm dy\\T_{\rm amp}&=D^{1+b},\quad T_{\rm phase}=1\end{aligned}

倾斜让 Talbot 地毯发生剪切，图案在接收器上移动。六个周期视场内的平均强度不等于总透射功率。三维接收面和放大数据用的是同一套按面积平均的像素；地毯是单独计算的逐点强度扫描，不是从一帧图像重建的。显示增益不会改动原始数值。

真实自成像为什么不完美

\begin{aligned}k_z&=\sqrt{k^2-k_x^2-k_y^2}\\k_z&\simeq k-\frac{k_x^2+k_y^2}{2k}\\\Delta x&=d/32\end{aligned}

求解器采用二次近轴相位、理想相干光，以及边界突变的薄光栅。大角度的边缘分量、有限带宽、有限相干性和像素积分，都会限制细节。这里只计入有限载片的衍射和像素积分，不声称得到无限细的分形，也没有外部科学认证。

常见难点

强度均匀不等于没有自成像

容易误解每个 Talbot 面上都应该看到相位光栅的亮副本。

正确理解无损相位光栅紧后方的强度本来就是均匀的。理想复现恢复的是这个相位图案，所以同样看不到振幅条纹。强度反差会在分数面上出现。有限载片的边缘还会另外产生衍射。

动手实验

01
场景 1：有限无平移复现
先选振幅条带。比较半距离和完整距离的复现，再看光栅上有限的开孔和接收器正面。
你会看到： 传播一半距离时，理想图案平移半个周期；传播完整距离时，场原样复现。
02
场景 2：三分之一 · 三副本
用三分之一面预设，把开孔加宽，直到三个相干副本重叠，再和周期参考对照。
你会看到： 振幅开孔窄时，分数副本彼此分开；开孔宽时，副本相干叠加，不是把强度条纹简单倍增。
03
场景 3：相位变强度 · 交叉二维
切换到交叉相位条带，比较四分之一距离处的反差和完整距离处的均匀强度，再减少有限周期数。
你会看到： 相位复现时，强度可能是均匀的。有限的载片和按面积平均的探测器，让重复不可能完全锐利。