光学 091 · 光纤、结构光与现代波动光学

自愈光束竞技场

Bessel 光束和 Airy 光束被挡住一部分后，怎样自己恢复？ Bessel 光束由一圈汇向光轴的锥形平面波构成，中心被挡住后，从障碍物四周绕过来的光会在后方重新把它填满。Airy 光束沿弯曲的焦散线走，传播时向一侧拐弯。两者都只能在有限距离内自愈，代价是旁瓣要分走能量，靠它们给主瓣补光。

把可移动的不透光圆片放进有限 Bessel 和 Airy 光束，以 Gaussian 光束作对照，计算同一束光的二维衍射。可以读出局部强度恢复的绝对值、保持不变的剩余功率、沿直线前进的质心，并冻结复数探测数据。

绝对局部强度一致度

Q_{\rm local}

$0.50$

剩余积分功率

P_{\rm out}/P_0

$50\%$

全场归一保真度

F_{\rm full}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

自愈光束竞技场

不透光圆片半径；零表示移除圆片

r_o

75\,\mu\mathrm m

Bessel 锥角；Gaussian 中央尺度匹配

\theta

0.14^{\circ}

圆片相对参考最亮光瓣的水平偏移

\Delta x_o

0\,\mu\mathrm m

障碍物相对制备源面的位置

z_o

10\,\mathrm{mm}

探测面距障碍物的下游距离

d

75\,\mathrm{mm}

Bessel 包络半径；Airy 截尾尺度

w_{\rm reserve}

300\,\mu\mathrm m

挡住光束最亮的部分。被挡掉的功率回不来，后面的光斑还能不能重新亮起？把不透光圆片移进有限 Bessel、Airy 和 Gaussian 光束。阴影由场的传播算出，旁边保留一束没有遮挡的光作对照。

计算用五百三十二纳米的标量近轴近似，在有限的周期窗口里完成；光源理想，掩膜是不透光的薄片。亮度固定，三维各轴比例不同。不考虑掩膜材料的散射，不对应实测器件，也不说明自愈在任何情况下都成立。

先抓重点

核心问题: Bessel 光束和 Airy 光束被挡住一部分后，怎样自己恢复？
一句话直觉: 局部亮斑可以重新出现，总功率却永久减少了： $\int |u_d|^2\,dA=\int |(1-\chi_o)u_o|^2\,dA<P_0$ 。判断是否恢复，要和无遮挡时的绝对强度比较，而不是拿两张各自调亮的图对比。全场归一化重叠也不会悄悄回升到完美。

核心数学模型

越过真实障碍的傍轴传播

i\partial_z u=-\frac{\nabla_\perp^2u}{2k},\quad\widetilde{\mathcal P_z u}=\widetilde u\exp\!\left[-\frac{iz(k_x^2+k_y^2)}{2k}\right],\quad k=\frac{2\pi}{\lambda_0}

去掉了正向载波：空间相位为正，时间相位为负。内部长度用米，轴向从光源指向探测面。圆片是放在所选轴向位置的二值振幅掩膜。有限的计算窗口是周期性的，不是吸收边界；边缘功率警告和不同分辨率的对比，划定了结果能解读到什么程度。

储备有限的 Bessel 光束

u_0(r)=C J_0(k\sin\theta\,r)e^{-r^2/w^2},\quad z_{\rm geom}\sim\frac{r_o}{\tan\theta},\quad z_{\rm reserve}\sim\frac{w}{\tan\theta}

锥角决定径向波数。高斯包络让总功率有限。两个几何距离只是粗略估计，不是算出来的恢复距离，也不是突然截止的传播界限；障碍偏离中心或包络耗尽时，它们最不可靠。真实的场由数值传播得到。Gaussian 对照在不计 Bessel 包络修正时，初始中央半高宽大致相同，输入总功率同样为一，但不保证峰值亮度相同。

亮瓣弯曲，质心不弯

u_0(x,y)=C\operatorname{Ai}(x/x_0)\operatorname{Ai}(y/x_0)e^{a(x+y)/x_0},\quad a=\frac{x_0}{w_{\rm reserve}},\quad x_c\simeq\frac{z^2}{4k^2x_0^3}

Airy 光源由它的 Fourier 频谱构造：振幅是高斯型，相位是三次型，指数截尾取正，两个横向尺度相同。抛物线公式描述的是理想焦散，不是有限截尾下最亮点的精确位置。图中的亮峰和全场质心都取自无遮挡光束的传播场。有限的自由光束即使亮特征在弯，横向动量依然守恒。

恢复指标比较的是什么

Q_{\rm local}=\max\!\left(0,1-\frac{\int_{\rm ROI}|I-I_{\rm ref}|\,dA}{\int_{\rm ROI}I_{\rm ref}\,dA}\right),\quad F_{\rm full}=\frac{|\langle u_{\rm ref},u\rangle|^2}{P_{\rm ref}P}

比较圆区跟着参考光束的最亮光瓣走，半径标在图下方。它比较的是绝对强度，不按剩余功率重新归一。在这个无损传播模型里，障碍之后全场保真度和剩余功率都保持不变；对初始的二值掩膜和同一个参考，两者相等。图像的平方根对比度只是显示映射。采集的记录保存两组复数数组，不是理想模板。

常见难点

自愈会让被吸收的光回来吗？

容易误解中央亮斑回来了，整个光束和能量也一定回来了。

正确理解不会。幸存的外围结构在阴影里干涉，把阴影填上。被挡掉的功率不会回来；即使局部看起来和原来一样，全场重叠仍然记着这份损失。

动手实验

01
场景 1：Bessel 阴影恢复
从 Bessel 光束开始。把下游距离设为零，看到中央的阴影；再把探测面往后移，比较局部恢复的光瓣和一直持平的剩余功率曲线。圆片半径为零，就是精确的无遮挡情形。
你会看到： 局部衍射条纹可能比参考强度还亮。恢复并不单调，也不是任何圆片、距离或有限包络都一定能恢复。
02
场景 2：Airy 无外力弯曲
把圆片横向移动，或沿光路移动。圆片的偏移以遮挡平面上无遮挡光束的最亮光瓣为基准，移动的是真实的障碍物。再缩小包络储备，看恢复在有限距离之后怎样失效。
你会看到： 光源端口直接给出一个理想的、已经制备好的场。外壳、圆片厚度和横向放大都只是示意。这不是轴锥镜的设计方案，也不是经过标定的装置。
03
场景 3：Gaussian 对照实验
先选 Airy，再选 Gaussian。Airy 最亮光瓣的轨迹是弯的，全场质心却走直线。Gaussian 是对照组，它同样能把光衍射进阴影。改参数之前，先冻结当前的探测场。
你会看到： 下方的探测图、轨迹和冻结记录都来自计算出的场。三维装置里，只有出射端的采样面贴着图像。