光学 049 · 干涉、相干、光腔与精密测量

Sagnac 光纤陀螺

同一根光纤里的两束光怎样测出旋转，为什么光看亮度分不清转向？ 两束光沿同一卷光纤反向绕行。线圈一转，顺着转的那束绕一圈要多花一点时间，逆着转的少花一点，相位差与转速和线圈围成的面积成正比。亮度按这个相位差的余弦变化，顺时针和逆时针转得一样快，亮度就完全相同；要分辨方向，得另加一个相位偏置。

在三维光纤陀螺里，线圈半径和投影面积、平衡四端口耦合器和两只光电探测器联动。成对采集相位偏置样本，在主值分支上读出带正负号的结果，并看到互易相位相互抵消。

注入 Sagnac 相位／传播延迟差

\phi_S,\Delta t

$0.50$

成对返回端口采样／有符号差

p_{+b},p_{-b},S

$50\%$

仅主值转速／可见度／线圈长度

\widehat\Omega_{\mathrm{pr}},V,L

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

Sagnac 光纤陀螺

有符号转速（正值绕金色轴右手旋转）

\Omega

10\,\frac{\mathrm{deg}}{\mathrm s}

线圈真实平均半径（模型随之改变）

r

80\,\mathrm{mm}

物理匝数（画面至多示意 24 匝）

N

500

真空中心波长

\lambda_0

1550\,\mathrm{nm}

线圈法向与旋转轴的夹角

\alpha

0^{\circ}

返回两束光的偏振夹角

\theta

0^{\circ}

成对非互易偏置的幅度

b

90^{\circ}

两束光相同的静态互易相位

\chi

0^{\circ}

反转转向，采样差随之反号，无偏置时的亮度却不变。增大线圈半径，线圈变大，相位随面积增长。让线圈法向偏离金色旋转轴，投影响应随之减小。把偏置或偏振重叠设为零，读数就失去了正负号。3D 光电探测器显示正偏置平台，两次偏置记录列在下方。超出高亮的主值分支后，显示的估计值不唯一。拖动可旋转视角；播放只移动方向标记。

模型是一阶 Sagnac 效应，圆形线圈随仪器一起转动。耦合器和环行器理想无损，调制按差分方式采样。不考虑闭环工作、色散、绕线厚度、引线面积、热漂移和噪声，也不宣称精度。最多画出 24 匝作为示意；器件放大，并在随仪器转动的坐标系中展示。放慢的标记不是光子，也不是真实的延迟过程。

物理教程

检验Sagnac 光纤陀螺的物理过程

背景两束光沿相反方向走过同一根光纤，光纤随装置一起转，两束光的传播延迟就不一样。线圈转得慢时，非互易相位为 $\phi_S=\frac{8\pi\boldsymbol\Omega\cdot\mathbf A_{\mathrm{eff}}}{\lambda_0c}$ 。式中用的是真空波长和真空光速。这个效应测的是相对惯性空间的转动，和机械陀螺的力矩无关，也不违背狭义相对论。

为什么值得理解同一根光纤里的两束光怎样测出旋转，为什么光看亮度分不清转向？

先抓重点

核心问题: 同一根光纤里的两束光怎样测出旋转，为什么光看亮度分不清转向？
一句话直觉: 原始的余弦响应对正反转速完全一样。要找回正负号，就比较两个同步的、差分偏置相反的平台： $S=p_{-b}-p_{+b}=V\sin\phi_S\sin b$ 。这仍然是开环的周期信号。不知道处在哪个分支时，反正弦无法唯一确定较大的转速。

核心数学模型

相位取决于线圈的面积矢量

\begin{aligned}A_{\parallel}&=N\pi r^2\cos\alpha\\\Delta t&=4A_{\parallel}\Omega/c^2\\\phi_S&=2\pi c\Delta t/\lambda_0\end{aligned}

正转速按右手规则绕金色竖直轴旋转。绿色的线圈法线向左倾斜。同一个半径和倾角同时决定画出的几何和面积。假设各匝是相同的圆，引线围出的面积忽略不计。单匝预设是一圈光纤，不是自由空间里的反射镜环。角速度大时，相位可以扫过许多个光学条纹，而线圈边缘的线速度仍远小于光速。

为什么随动玻璃不会把相位再乘上折射率

\begin{aligned}\phi_S&=\frac{4\pi}{\lambda_0c}\oint\mathbf v\cdot d\mathbf l\\\mathbf v&=\boldsymbol\Omega\times\mathbf r\\\phi_S&=\frac{8\pi\boldsymbol\Omega\cdot\mathbf A_{\mathrm{eff}}}{\lambda_0c}\end{aligned}

对随线圈一起运动的波导，每一小段的一阶关系经 Stokes 定理合起来，只剩投影面积。运动介质由相对论速度合成来处理；如果直接把光速换成玻璃中的光速，得到的 Sagnac 系数就是错的。普通的传播时间倒确实取决于群折射率。传播摘要取示意性的群折射率 1.468，不计引线，也不拟合材料色散。

两个物理端口与偏振重叠

\begin{aligned}V&=\cos\theta\\p(\varphi)&=(1+V\cos\varphi)/2\\p_{\mathrm{other}}&=1-p(\varphi)\end{aligned}

理想的平衡四端口光纤耦合器先叠加 Jones 振幅，再求功率。两束返回光都是等幅线偏振时，它们的重叠是实数，决定条纹可见度。偏振正交时两束光不干涉，每个端口各得一半功率，没有引入吸收。理想环行器把回到公共端口的光送到正面的光电探测器；耦合器闲置的端口接另一个探测器。输入功率固定为 1 mW。

非互易偏置需要时间差

\begin{aligned}\tau&=n_gL/c,\quad L=2\pi rN\\b(t)&=m(t)-m(t-\tau)\\p_{\pm b}&=\frac{1+V\cos(\phi_S\pm b)}2\end{aligned}

理想相位调制器装在线圈一端，两束光经过它的时刻不同。用周期为两倍传播时间、幅度为所选差分偏置一半的方波驱动它，就得到正负相反的偏置平台。采集时跳过切换边沿，并假设每对采样期间转速不变。它不是静态相位片，不是完整的电子时序仿真，也不是闭环相位反馈。3D 视图中的探测器显示正偏置平台；两次记录的电平在下方分开显示。

有符号读出只在主值分支内有效

\begin{aligned}S&=p_{-b}-p_{+b}\\\widehat\phi_{\mathrm{pr}}&=\arcsin\frac{S}{V\sin b}\\\widehat\Omega_{\mathrm{pr}}&=\widehat\phi_{\mathrm{pr}}/K\\K&=8\pi A_{\parallel}/(\lambda_0c)\end{aligned}

估计值由两次记录的功率算出，不读取注入的相位。只有注入相位落在高亮的主值区间内，而且分母和投影面积都不为零时，它才等于转速。超出这个区间，折叠后的值会明确标为有歧义。偏置为零、偏振重叠为零或面积矢量与转轴垂直时，不给出有符号估计。模型不涉及噪声底、标定精度，也不恢复条纹级次。

静态互易相位会抵消，其他噪声未必

\begin{aligned}E_1'&=e^{i\chi}E_1,\quad E_2'=e^{i\chi}E_2\\E_1'^*E_2'&=E_1^*E_2\end{aligned}

两束光共有的相位会让两个归一化诊断相量转过同一个角度，所以它们的重叠和每个探测采样都不变。这些相量不含采集偏置，也不表示场的绝对幅度。如果温度随时间变化，两束光又在不同时刻经过，抵消就可能失效。Shupe 漂移、Kerr 效应、偏振非互易、损耗和探测噪声都不在这个理想模型之内。

常见难点

只看亮度，分不清转动方向

容易误解探测器一变亮，就知道往哪边转；匝数越多，转速总能读得毫无歧义。

正确理解不加偏置时，正反转速下的亮度一样。成对的偏置采样能在零转速附近分出正负，但面积越大，开环读出能唯一确定的转速范围也越窄。偏振失配会降低对比度，但不改变物理上的 Sagnac 延迟。

动手实验

01
场景 1：光纤线圈有符号读出
用快捷按钮把转速反过来，比较无偏置时的亮度、成对记录和有符号信号。
你会看到： 两束光沿同一条波导路线走，方向正好相反。装置画在随仪器转动的坐标系里：金色标出转轴，绿色标出面积法线。
02
场景 2：单匝无偏置极限
增大线圈半径，再把法线倾斜到直角。看同一个几何怎样同时决定面积和相位。
你会看到： 图中最多画出 24 匝代表性的绕线，匝距只是示意。求解器用的是实际匝数；器件和光束宽度都画得放大了。扫描曲线是理想参考，不是重建的测量。
03
场景 3：互易相位抵消
去掉偏置，或者把两束光的偏振调成正交；再试很多匝和很大的转速，看读出怎样出现歧义。
你会看到： 播放只是移动放慢的方向标记。暂停或开启减弱动态后，偏置记录、诊断相位和主值估计都不变。