光学 072 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

叠层成像 Lab

不用透镜，重叠照明怎样同时还原物体的振幅和相位？ 相邻的照明区域互相重叠，物体的每一块都会出现在好几幅衍射图里。信息有了富余，迭代算法就能把振幅和相位一起解出来，用不着透镜。只有一样定不下来：给整个物体加一个常数相位，所有强度都不变。

不用透镜，只靠相互重叠的衍射图样给样品成像。样品在光束中移动，相机记录 Poisson 计数，PIE 算法在探针已知时恢复振幅和相位。

测量振幅拟合

\varepsilon_A

$0.50$

仅模拟复场真值误差

\varepsilon_{\rm truth}

$50\%$

遍历／采集帧数／选中电子

k,N_{\rm scan},C_j

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

叠层成像 Lab

扫描步长

\Delta x

8\,\mu\mathrm m

探针直径

D

28\,\mu\mathrm m

采集扫描帧数

N_{\rm scan}

25

起始遍历次数（播放时继续推进）

k_0

30

PIE 更新步长

\beta

0.70

每次照明入射的期望电子数

N_{\rm in}

200000

零为期望，一为 Poisson 计数

n

0

合成样品相位强度

a_\phi

1.70\,\mathrm{rad}

合成样品振幅吸收系数

a_A

0.55

独立重建初值种子

s_0

1

检查已采集帧索引

j_0

0

重建显示所用的常相位（无法测量）

\phi_0

0\,\mathrm{rad}

相机记录的是衍射图样，不是样品的像。查看重叠扫描记录下的强度，再回放恢复出的振幅和看不见的相位。扫描台带着样品移动，每次迭代只用已记录的数据。试试去掉重叠、只采一帧，或让相机光子不足。拟合得好，并不证明答案唯一。

样品是合成的薄样品，按标量处理；探针和扫描位置已知，场只取有限个 Fourier 模。重建不是盲重建。常数相位和样品的暗区仍然测不到。

先抓重点

核心问题: 不用透镜，重叠照明怎样同时还原物体的振幅和相位？
一句话直觉: 强度看不出整体加上的常相位： $|\mathcal F\{e^{i\phi_0}P O_j\}|^2=I_j$ 。加上这样一个相位，所有相位颜色都转过一个角度，预测计数却完全不变。照明区域如果分成互不相连的几块，每一块都可以有自己的相位零点。

核心数学模型

记录出射波的强度

\begin{aligned}\psi_j&=P O_j\\\mu_{jq}&=\frac{N_{\rm in}|\mathcal F\psi_j|_q^2}{n^2\sum |P|^2}\\D_{jq}&\sim\operatorname{Poisson}(\mu_{jq})\end{aligned}

模型使用有限个离散 Fourier 模，探测效率取一。归一化保持透射功率不变，但不会抵消吸收。关闭噪声时，记录的是期望计数。

模长来自测量，相位来自估计

\psi'_j=\mathcal F^{-1}\!\left[\sqrt{D_j/a}\,e^{i\arg(\mathcal F\psi_j)}\right]

在探测面上，只有由测得光电子计数得到的振幅约束场。比例系数已标定，真实的探测面相位从不提供给算法。

原始软探针 PIE

\begin{aligned}W&=\frac{|P|}{|P|_{\max}}\frac{P^*}{|P|^2+0.01}\\O_j&\leftarrow O_j+\beta W(\psi'_j-\psi_j)\end{aligned}

这是参考章节中的第六式，步长由用户设定。被几个扫描位置共享的物体像素，会累积所有重叠帧的约束。探针已知，不与物体一起估计，所以这不是盲 ePIE。

物面与探测面的采样相互关联

\Delta x_D=\frac{\lambda z}{n\Delta x_O}=2.078125\,\mathrm{mm}

这里波长五百三十二纳米，传播距离二百五十毫米，局部场宽六十四微米。模型是标量近轴远场，不做高数值孔径下的连续像素积分，也不用于计量。

常见难点

残差小，就能证明物体对了吗？

容易误解只要拟合上一张衍射图，整个样品就知道了。

正确理解不能。只有一帧、存在没照到的区域，或者相位有歧义时，别的物体也能符合数据。重叠把各处的估计联系起来，但不保证答案唯一，也不保证收敛。真实物体单独保存，只用来评分。

动手实验

01
场景 1：重叠扫描 · 恢复相位
暂停，查看扫描位置。物台沿探针坐标的反方向移动，所以实验室光轴上被照亮的点保持不动。
你会看到： PIE 既拿不到衍射相位，也拿不到真实物体。已知探针和精确扫描位置是标定假设，本实验不去恢复它们。
02
场景 2：断开照明 · 相位歧义
从零次回放到三十次遍历。先对比采集的和预测的衍射图，再把重建出的振幅、相位和单独标出的真实答案对比。
你会看到： 吸收会减少探测器上期望的光电子总数。每一帧都保留物理标度，显示另用一个固定的对数色标。
03
场景 3：低计数衍射
试试断开的照明、单帧、低 Poisson 计数和不同的初值。再转动相位零点，强度数据察觉不到它。
你会看到： 从未被照亮的像素在重建图里涂成暗色。和真值比较时只去掉一个常相位，评分结果也从不反馈给求解器。