光学 072 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

叠层成像 Lab

从重叠衍射记录无透镜成像：移动样品、Poisson 计数、已知探针 PIE 振幅与相位恢复。

测量振幅拟合

\varepsilon_A

$0.50$

仅模拟复场真值误差

\varepsilon_{\rm truth}

$50\%$

遍历／采集帧数／选中电子

k,N_{\rm scan},C_j

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

叠层成像 Lab

扫描步长

\Delta x

8\,\mu\mathrm m

探针直径

D

28\,\mu\mathrm m

采集扫描帧数

N_{\rm scan}

25

起始遍历次数（播放推进）

k_0

30

PIE 更新步长

\beta

0.70

每次照明的入射期望电子

N_{\rm in}

200000

零为期望，一为 Poisson 计数

n

0

合成样品相位强度

a_\phi

1.70\,\mathrm{rad}

合成样品振幅吸收系数

a_A

0.55

独立重建初值种子

s_0

1

检查已采集帧索引

j_0

0

重建显示的不可测常相位

\phi_0

0\,\mathrm{rad}

相机看到衍射，不是样品。检查重叠扫描采集的强度，再回放恢复的振幅与不可见相位。扫描台真实移动，每次更新只用已采集数据。去掉重叠、只采一帧，或让相机光子不足。拟合得好，不证明答案唯一。

合成薄标量样品、已知探针和位置、有限 Fourier 模。不做盲重建；常相位和暗区仍不可测。

先抓重点

核心问题: 重叠照明怎样让无透镜的振幅与相位重建成为可能？
一句话直觉: 强度丢失整体常相位： $|\mathcal F\{e^{i\phi_0}P O_j\}|^2=I_j$ 。转动相位零点：相位颜色改变，但预测计数完全不变。不连通照明岛还能各有一个零点。

核心数学模型

记录出射波强度

\begin{aligned}\psi_j&=P O_j\\\mu_{jq}&=\frac{N_{\rm in}|\mathcal F\psi_j|_q^2}{n^2\sum |P|^2}\\D_{jq}&\sim\operatorname{Poisson}(\mu_{jq})\end{aligned}

有限离散 Fourier 模、单位效率。归一保持透射功率，不撤销吸收。关闭噪声记录期望。

测量模长，估计相位

\psi'_j=\mathcal F^{-1}\!\left[\sqrt{D_j/a}\,e^{i\arg(\mathcal F\psi_j)}\right]

只有测量电子振幅约束探测面，比例已标定。不提供真实探测相位。

原始软探针 PIE

\begin{aligned}W&=\frac{|P|}{|P|_{\max}}\frac{P^*}{|P|^2+0.01}\\O_j&\leftarrow O_j+\beta W(\psi'_j-\psi_j)\end{aligned}

章节第六式，加用户步长。共享物点累积重叠约束。探针已知、不共同估计，不是盲 ePIE。

共轭采样

\Delta x_D=\frac{\lambda z}{n\Delta x_O}=2.078125\,\mathrm{mm}

五百三十二纳米、传播二百五十毫米、局部场宽六十四微米。标量近轴远场，不是高数值孔径连续像素积分或计量。

常见难点

残差小就证明物体正确？

容易误解拟合一张衍射图，就知道整个样品。

正确理解单帧、未照区域和相位歧义允许其他答案。重叠耦合估计，但不保证唯一或收敛。真值独立保存，只评分。

动手实验

01
场景 1：重叠扫描 · 恢复相位
暂停检查扫描位置。物台沿探针坐标反方向移动，实验室轴上受照点保持不动。
应该观察到： 衍射相位和真值都不进入 PIE。已知探针和精确位置是标定假设，不是在这里恢复出来的。
02
场景 2：断开照明 · 相位歧义
从零回放到三十次遍历。对比采集与预测衍射，再对比重建振幅和相位与单独标明的答案。
应该观察到： 吸收减少期望总电子，每帧保留物理标度。显示另用固定对数色标。
03
场景 3：低计数衍射
试断开照明、单帧、低 Poisson 计数和不同初值。转动不可测相位零点。
应该观察到： 未照区域的重建像素涂暗。真值评分只去掉一个常相位，绝不反馈求解器。