光学 036 · 成像、仪器与视觉系统

投影仪光学系统

追踪有限光源经过聚光镜、编码 LCD、有限投影孔径与倾斜屏幕。屏幕积分纹理呈现对焦和梯形形变；精确圆形角域交集与面板积分揭示视场耦合和 étendue 饱和。

投影上下边宽与中心投射比

W_t,W_b,\mathrm{TR}_0

$0.50$

LCD 距离与全孔径模糊包络

s,b_{\mathrm{geom}}

$50\%$

光源／被接收 étendue 与耦合

G_s,G_a,\eta

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

采用理想近轴透射式 LCD 与有限光源几何，不是商用 DLP 处方。未模拟衍射、像差、复眼匀光、偏振、数字梯形校正或标定流明。

先抓重点

核心问题: 为什么增大光源不一定让屏幕更亮，倾斜屏幕又为何同时产生梯形形变与失焦？
一句话直觉: 亮度受光源角域与投影孔径共同限制，而不是任意的面板尺寸评分。近轴模型满足 $G_a\le\min(G_s,G_{\mathrm{capacity}})$ 。在辐亮度固定时，增大光源最终可能只浪费更多光通量，不能再增加被接收通量；过窄照明又可能无法覆盖离轴面板位置。

s=\frac{fv}{v-f},\quad W_0=\frac{wL}{s},\quad \mathrm{TR}_0=\frac{s}{w}

LCD 宽度固定。只有屏幕垂直且恰好合焦时，宽度才等于熟悉的远场式减去有限物距修正；对焦和投射距离是独立控制。

\mathbf u_{\mathrm{after}}=-\frac{\mathbf y_s}{f_c},\quad q_s=\frac{r_s}{f_c},\quad G_s\simeq wh\pi q_s^2

有限光源位于聚光镜前焦面；每个光源位置在镜后产生一族平行光。角斜率是近轴数值孔径代理，并非精确正弦定义。聚光镜足够大，不会截断允许的照明角域。

\Omega_a(\mathbf y)=\frac{A\!\left(\mathcal D(\mathbf 0,a)\cap\mathcal D(\mathbf y,sq_s)\right)}{s^2},\quad G_a\simeq\int_{\mathrm{LCD}}\Omega_a\,\mathrm dA

投影镜平面的两个圆形域取交集，精确面积决定局部耦合；面板积分得到总被接收 étendue。伪彩色面板显示入射角域的被接收比例，不是屏幕辐照度。

y_{\mathrm{screen}}=-\frac{Ly_p}{s\cos\beta-y_p\sin\beta},\quad z_{\mathrm{screen}}=-\frac{Lz_p\cos\beta}{s\cos\beta-y_p\sin\beta}

这是实际光线与平面的交点，不是纹理变形滤镜。上下边倍率不同；清晰像面仍垂直于透镜，因此即使校正图像形状，也不能消除光学离焦。

E(\mathbf x)=\int_{\mathrm{pupil}}\mathcal L(\mathbf y_p)\frac{\cos\gamma_l\cos\gamma_s}{r^2}\,\mathrm dA_l

把每个屏点经瞳样本反向追踪到同一个有限 LCD 与光源；不合格光线贡献为零。所有控制共用固定辐亮度参考和增益，显示白值可以饱和。这是所述理想模型的几何辐照度，不是标定流明测量。

容易误解不断增大发光面，或数字拉正梯形，投影就必然又亮又清晰。

正确理解有限 étendue 容量限制有效通量。窄光源可能无法充满离轴光束，大光源可能溢出透镜孔径。数字形状校正不会移动光学焦面；本模型明确不实现 DLP 微镜或数字梯形校正算法。

01
场景 1：对焦与有限投射距离
只改变投射距离而不碰对焦，再把清晰像面距离恢复到屏幕中心。比较 LCD 位移、全孔径模糊包络与实际屏幕纹理。
应该观察到： 光学剖面按毫米放大，上方房间采用统一米级映射。青色矩形标出图像卡所展示的固定中央局部；裁剪不会改变光线坐标、曝光或真实屏幕边界。
02
场景 2：倾斜屏幕与梯形形变
让屏幕经过正负倾角，梯形方向会反转；金色清晰面交线仍由几何确定，屏幕真实尺寸不变。
应该观察到： LCD 图案反向编码，因此真实倒像在屏幕上正立；没有另行旋转屏幕卡或梯形滤镜来掩盖光学倒像。
03
场景 3：照明与 étendue 匹配
分别扫描光源角斜率与通光半径，同时读光源和被接收 étendue，并对照耦合图与屏幕亮度；耦合图不是自动曝光照片。
应该观察到： 倾斜离焦足迹的质心不必位于主光线交点，因此宽度读数采用独立追踪的主光线，不用模糊质心代替。