光学 036 · 成像、仪器与视觉系统

投影仪光学系统

为什么加大光源不一定让投影更亮，屏幕斜放还会变模糊？ 瓶颈在投影镜头。它能收下的光有上限，叫 étendue，大致是光源面积乘以光线张开的角度。光源再大，多出来的光角度太斜，进不了镜头，只能浪费掉。屏幕一倾斜，就斜穿过清晰成像的那个平面，边缘落在焦面前后，不光被拉成梯形，还会变模糊。

追踪有限光源依次经过聚光镜、编码 LCD、有限投影光瞳和倾斜屏幕。由光线积分得到的屏幕纹理显示对焦和梯形畸变；圆形角域的精确交叠和面板上的数值积分显示视场耦合与 étendue 饱和。

投影上下边宽与中心投射比

W_t,W_b,\mathrm{TR}_0

$0.50$

LCD 距离与全孔径模糊包络

s,b_{\mathrm{geom}}

$50\%$

光源／被接收 étendue 与耦合

G_s,G_a,\eta

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型采用理想近轴透射式 LCD 和有限光源几何，不是商用 DLP 投影机的处方。不考虑衍射、像差、复眼匀光、偏振、数字梯形校正和标定的流明输出。

先抓重点

核心问题: 为什么加大光源不一定让投影更亮，屏幕斜放还会变模糊？
一句话直觉: 屏幕亮度受两样东西限制：光源照明覆盖的角度范围，和投影镜头的通光孔径。近轴模型中 $G_a\le\min(G_s,G_{\mathrm{capacity}})$ 。辐亮度不变时，光源大到一定程度，再加大只会把更多光浪费在镜头外面，被接收的光通量不再增加。照明太窄也不行，面板离轴的部分可能照不到。

s=\frac{fv}{v-f},\quad W_0=\frac{wL}{s},\quad \mathrm{TR}_0=\frac{s}{w}

LCD 宽度固定。只有屏幕与镜头垂直、像又正好对焦在屏上时，画面宽度才等于熟悉的远场公式减去一项有限物距修正。对焦和投射距离仍然分开调。

\mathbf u_{\mathrm{after}}=-\frac{\mathbf y_s}{f_c},\quad q_s=\frac{r_s}{f_c},\quad G_s\simeq wh\pi q_s^2

有限光源放在聚光镜前焦面上，光源上每一点出聚光镜后都变成一束平行光。角斜率在近轴下近似代替数值孔径，并不是严格的正弦定义。聚光镜做得足够大，不会截掉允许范围内的照明角度。

\Omega_a(\mathbf y)=\frac{A\!\left(\mathcal D(\mathbf 0,a)\cap\mathcal D(\mathbf y,sq_s)\right)}{s^2},\quad G_a\simeq\int_{\mathrm{LCD}}\Omega_a\,\mathrm dA

在投影镜头所在平面，面板上某一点的光锥和镜头通光口是两个圆。两圆交叠的精确面积决定这一点有多少光进入镜头；对整块面板积分，得到总的被接收 étendue。伪彩色面板图显示每一点入射角度中被接收的比例，不是屏幕上的辐照度。

y_{\mathrm{screen}}=-\frac{Ly_p}{s\cos\beta-y_p\sin\beta},\quad z_{\mathrm{screen}}=-\frac{Lz_p\cos\beta}{s\cos\beta-y_p\sin\beta}

这些式子给出每条主光线与倾斜屏幕的真实交点。画面上下两边的放大率不同。清晰像面仍垂直于镜头光轴，所以只把画面形状拉正，消除不了光学离焦。

E(\mathbf x)=\int_{\mathrm{pupil}}\mathcal L(\mathbf y_p)\frac{\cos\gamma_l\cos\gamma_s}{r^2}\,\mathrm dA_l

对屏幕上每一点，都穿过镜头通光口的每个采样点，反向追踪到同一块有限 LCD 和光源。被挡住的光线贡献为零。所有设置共用一个固定的辐亮度参考和增益，所以最亮处可能饱和成白色。这里算的是理想模型中的几何辐照度，不是标定过的流明测量。

容易误解发光面做大，投影就更亮；把梯形用数字方式拉正，画面就又清楚了。

正确理解镜头能接收的 étendue 有上限，有效光通量也就有上限。光源太窄，可能填不满各视场点的光束；光源太大，又会溢出镜头孔径。数字校正形状不会移动光学焦面。本模型有意不实现 DLP 微镜和数字梯形校正算法。

01
场景 1：对焦与有限投射距离
只改投射距离，先别动对焦；再把对焦距离调回屏幕中心。对比 LCD 滑座移动了多少、整个通光口造成的模糊范围，以及屏幕上的实际画面。
你会看到： 光学剖面按毫米放大绘制，上方房间统一按米缩放。青色矩形框出图像卡显示的屏幕中央固定区域。裁剪不改变光线坐标、曝光，也不改变屏幕的真实边界。
02
场景 2：倾斜屏幕与梯形形变
把屏幕从正角度倾到负角度，梯形方向会反过来。金色线是清晰像面与屏幕的交线，位置由几何决定；屏幕始终保持真实尺寸。
你会看到： LCD 图案是倒着存的，镜头成的倒像投到屏上就成了正的。屏幕卡直接显示这个像，没有另外旋转，也没有用梯形滤镜。
03
场景 3：照明与 étendue 匹配
分别扫描光源角斜率和通光半径，读出光源 étendue 与被接收 étendue，再把耦合图和屏幕亮度对照。耦合图不是自动曝光的照片。
你会看到： 屏幕倾斜时，模糊光斑的质心不一定落在主光线的落点上。所以宽度读数用单独追踪的主光线，不用模糊光斑的质心。