光学 068 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

相位恢复挑战

由实际模拟强度记录恢复不可见相位片：扫描一台 CCD、直面孪生歧义、回放盲迭代，并挑战错误支撑先验。

采集振幅拟合残差

\varepsilon_A

$0.50$

仅模拟真值相位评分／缺失面积

\sigma_\phi,m

$50\%$

迭代次数／采集记录数

k,N_z

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

相位恢复挑战

测量模式编号（下方命名按钮）

h

1

迭代次数（可回放）

k

60

算法假定支撑半径（不改实体孔径）

R_S

0.50\mathrm{mm}

相机离焦扫描半程

\Delta z

20\mathrm{mm}

未知样品相位强度

\alpha

2\mathrm{rad}

读出噪声标准差／固定清孔峰值

\eta

0\%

独立初值种子

s

1

当前相机位置编号（下方命名按钮）

j

1

强度相机看不到相位。先拟合一张焦面图：共轭反转的答案仍同样有效。再把一台相机移至三个已知离焦位置，对照重建相位与另行标明的合成答案。点击误差图回放迭代，拖动假定支撑圈，或更换独立初值。错误支撑与读出噪声可能阻止良好拟合。求解器只收到探测振幅、传播距离与标定单位振幅孔径，绝不是答案。

已知单位振幅的合成纯相位样品，理想近轴透镜及有限网格点采样。加性高斯读出噪声，不是光子统计。真值仅评分；无唯一性或全局收敛保证。

先抓重点

核心问题: 只有强度的测量能否在歧义与噪声中恢复复数场？
一句话直觉: 焦面上，共轭反转物体给出同样数据： $|\mathcal F_u U|^2=|\mathcal F_u\{U^*(-\mathbf r)\}|^2$ 。要区分精确的另一答案与停滞的混合结果。多个已知平面可以拒绝孪生，却仍不能确定全局活塞。

核心数学模型

相机确实移动

\begin{aligned}M_j&=\begin{pmatrix}-\delta_j/f&f\\-1/f&0\end{pmatrix}\\d_j(\mathbf r)&=e^{-i\pi\delta_j r^2/(\lambda f^2)}\\\Delta x_D&=\frac{\lambda f}{N\Delta x_O}\end{aligned}

物体在透镜前一个焦距，相机在后方一个焦距加带符号离焦。没有插入虚构的相位片。坐标用毫米，正离焦远离透镜。

盲振幅投影

\begin{aligned}g_j&=\mathcal F_u(d_j U_k)\\h_j&=\sqrt{I_j}e^{i\arg g_j}\\U_{k+1}&=\mathcal P_S\!\left[\frac1{N_z}\sum_j d_j^*\mathcal F_u^{-1}h_j\right]\end{aligned}

用采集振幅替换预测振幅。逐平面反传并平均，然后强制假定圆支撑内单位振幅、外部为零。这是 GS 类并行投影，不是 HIO 或保证全局最优的优化。

拟合与真值是两种检验

\begin{aligned}\varepsilon_A^2&=\frac{\sum_j\|\,|g_j|-\sqrt{I_j}\,\|^2}{\sum_j\|\sqrt{I_j}\|^2}\\\sigma_\phi^2&=\langle\operatorname{wrap}(\phi_k-\phi_{\rm true}-c)^2\rangle\end{aligned}

残差只使用采集数据。相位评分仅适用于模拟，消去最佳全局活塞，在支撑交集内统计。缺失真值面积另列；不悄悄把孪生重标为正确。

噪声不是相位

\begin{aligned}I_j^{\rm rec}&=\max(0,I_j^{\rm ideal}+n_j)\\n_j&\sim\mathcal N(0,\eta^2 I_{\rm clear}^2)\end{aligned}

固定种子的加性读出噪声，共用清孔峰值参考。截零使暗像素向上偏，不声称散粒噪声或光子预算。固定对数色标不逐图归一化。

常见难点

数据误差小，就一定恢复正确相位？

容易误解只要迭代足够多，就会得到唯一物理相位。

正确理解不对。非凸约束可能停滞，Fourier 孪生可精确拟合。错误支撑会删去实际物体像素。合成真值不交给算法，只用于评估。

动手实验

01
场景 1：一张图 · 两个有效相位
对比一张焦面与三张离焦记录，保持样品、种子、孔径与迭代次数一致。
应该观察到： 离焦多样性可拒绝此例的焦面孪生；全局活塞仍不可观测。
02
场景 2：扫描三平面 · 恢复相位
回放误差曲线，更换独立初值，比较拟合残差与另行标明的相位评分。
应该观察到： 软件支撑不是实体光阑。只移动相机；改变重建种子不会改变探测记录。
03
场景 3：错误支撑与噪声
向内拖动假定支撑圈、加噪声，然后在总览、侧视及细节中查看实际移动 CCD。
应该观察到： 残差小不证明相位正确。错误支撑与截零读出噪声会使重建偏离。