光学 068 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

相位恢复挑战

只测光的强度，能把相位找回来吗？ 要靠额外约束，而且总有解不开的地方。知道物体只在哪块区域里有值，或者在几个平面上分别测量，就能恢复相位。但只有一张焦面图样时，物体和它的共轭孪生像（转半圈、相位取反）分不开；整体的常数相位，任何强度数据都定不下来。

从模拟的强度记录中恢复看不见的相位片。让一台 CCD 在几个离焦位置间移动，遇到孪生像歧义，回放不知道答案的迭代过程，再试试错误的支撑假设会带来什么。

采集振幅拟合残差

\varepsilon_A

$0.50$

仅模拟真值相位评分／缺失面积

\sigma_\phi,m

$50\%$

迭代次数／采集记录数

k,N_z

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

相位恢复挑战

测量模式编号（名称见下方按钮）

h

1

迭代次数（可回放）

k

60

算法假定的支撑半径（实体孔径不变）

R_S

0.50\mathrm{mm}

相机离焦扫描半程

\Delta z

20\mathrm{mm}

未知样品相位强度

\alpha

2\mathrm{rad}

读出噪声标准差／固定清孔峰值

\eta

0\%

独立初值种子

s

1

当前相机位置编号（名称见下方按钮）

j

1

只记录强度的相机看不到相位。先拟合一张焦面图：把答案取共轭再倒转，拟合得一样好。再把相机移到三个已知的离焦位置，把重建的相位和单独标出的合成真值对比。点击误差图回放迭代，拖动假定的支撑圆，或者换一个初始猜测。支撑选错或有读出噪声，都可能拟合不好。求解器拿到的只有探测到的振幅、传播距离和一个标定过的单位振幅孔径。

样品是合成的纯相位物体，振幅已知为一；透镜理想、近轴，场在有限网格上逐点采样。噪声是加性高斯读出噪声，不模拟光子统计。真值只用来评分。结果既不保证唯一，也不保证全局收敛。

先抓重点

核心问题: 只测光的强度，能把相位找回来吗？
一句话直觉: 在焦面上，物体和它取共轭、再中心反转得到的孪生体给出完全相同的数据： $|\mathcal F_u U|^2=|\mathcal F_u\{U^*(-\mathbf r)\}|^2$ 。精确的另一个解，和停滞在两者之间的混合结果，是两回事。多个已知平面可以排除孪生解，却永远定不了全局活塞相位。

核心数学模型

移动相机引入已知的离焦相位

\begin{aligned}M_j&=\begin{pmatrix}-\delta_j/f&f\\-1/f&0\end{pmatrix}\\d_j(\mathbf r)&=e^{-i\pi\delta_j r^2/(\lambda f^2)}\\\Delta x_D&=\frac{\lambda f}{N\Delta x_O}\end{aligned}

物体在透镜前一个焦距处，相机在透镜后一个焦距再加上带符号的离焦量。光路中没有另加相位片。坐标单位为毫米，离焦为正表示相机离透镜更远。

投影到测量振幅上

\begin{aligned}g_j&=\mathcal F_u(d_j U_k)\\h_j&=\sqrt{I_j}e^{i\arg g_j}\\U_{k+1}&=\mathcal P_S\!\left[\frac1{N_z}\sum_j d_j^*\mathcal F_u^{-1}h_j\right]\end{aligned}

用采集到的振幅替换预测振幅。每个平面都反向传播回物面，再取平均；然后在假定的圆形支撑内把振幅设为一，支撑外设为零。这是 GS 类的并行投影，不是 HIO，也不保证找到全局最优。

拟合与真值是两种检验

\begin{aligned}\varepsilon_A^2&=\frac{\sum_j\|\,|g_j|-\sqrt{I_j}\,\|^2}{\sum_j\|\sqrt{I_j}\|^2}\\\sigma_\phi^2&=\langle\operatorname{wrap}(\phi_k-\phi_{\rm true}-c)^2\rangle\end{aligned}

残差只用采集数据。相位评分只在模拟中才有：它先减去最佳的全局活塞，再在支撑交集内统计。真实物体落在支撑外的面积另外列出；孪生解不会被悄悄算作正确。

加性读出噪声与截零

\begin{aligned}I_j^{\rm rec}&=\max(0,I_j^{\rm ideal}+n_j)\\n_j&\sim\mathcal N(0,\eta^2 I_{\rm clear}^2)\end{aligned}

读出噪声是加性的，种子固定，幅度以同一个参考为准：无遮挡孔径图样的峰值。在零处截断会让暗像素偏高。模型不涉及散粒噪声，也不涉及光子预算。固定的对数色标不会对每张图单独归一。

常见难点

数据误差小，相位就一定对吗？

容易误解只要迭代足够多，就总能得到唯一的物理相位。

正确理解不对。约束是非凸的，迭代可能停滞；Fourier 孪生解也能精确拟合数据。支撑区设错，会删掉真实的物体像素。合成真值不交给算法，只用来评估结果。

动手实验

01
场景 1：一张图 · 两个有效相位
把一张焦面记录和三张离焦记录对比，样品、种子、孔径和迭代次数都保持不变。
你会看到： 在这个例子里，几张离焦记录排除了焦面上的孪生解；全局活塞相位仍然观测不到。
02
场景 2：扫描三平面 · 恢复相位
回放误差曲线。换一个盲初值，比较拟合误差和单独标出的相位评分。
你会看到： 支撑只是软件里的约束，不是光路中的实体光阑。移动的只有相机；换重建种子，探测记录不会变。
03
场景 3：错误支撑与噪声
把假定的支撑圆向内拖，加上噪声，再在总览、侧视和细节视图里看 CCD 实际移动。
你会看到： 残差小，不能证明相位正确。支撑设错，或者读出噪声在零处被截断，都会让重建出现偏差。