光学 093 · 光纤、结构光与现代波动光学

光学涡旋与轨道角动量

明亮花瓣图案能否具有零平均轨道角动量？ 可以。轨道角动量由相位绕光轴转几整圈、朝哪边转决定。绕向相反的两束光，暗核亮环一模一样，轨道角动量却相反。把两者等量相干叠加，干涉出明亮的花瓣，平均轨道角动量正好抵消为零。光看亮暗图案，看不出相位怎样绕。

归一化 Laguerre–Gaussian 光束会显出径向亮环、带正负号的相位绕向和相干叉形条纹。把相反拓扑荷叠加成花瓣，读角向傅里叶谱，用有限角窗的理想分选器检验模式重叠，并冻结探测记录。

每光子平均轨道角动量

\langle L_z\rangle/\hbar

$0.50$

探测面高斯包络束宽

w(z)

$50\%$

采样积分信号功率

P_{\rm sample}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

光学涡旋与轨道角动量

第一模式带符号拓扑荷

\ell

3

高斯包络束腰；不是亮环半径

w_0

0.60\,\mathrm{mm}

径向模式阶数

p

0

探测面相对制备束腰的位置

z/z_R

1

相反拓扑荷的功率比例；拓扑荷为零时无效

q

0

模式相对相位；不是全局相位

\delta

0^{\circ}

参考场跨探测窗周期数

N_f

18

参考功率与信号输入功率之比

P_{\rm ref}/P_0

0.70

一圈亮环看不出相位朝哪边绕。把拓扑荷反过来，强度不变，相位绕向和叉形条纹都跟着反过来。把相反的拓扑荷叠在一起，会出现明亮的花瓣，平均轨道角动量却可以是零。所有画面都来自同一个归一化复场，一路传播到探测面。

六百三十三纳米的光在空气中按标量近轴近似传播。输入光束是理想的，自适应采样没有噪声。分选器是一个独立的理想角向变换，不对应任何实际器件。相位颜色和不等的显示比例只用来辅助诊断，不代表光子轨迹。

物理教程

检验光学涡旋与轨道角动量的物理过程

背景涡旋指的是复数相位绕轴转圈，不是光子沿螺旋线运动。这里制备的归一化场是 $u=\sqrt{1-q}\,u_p^{\ell}+\sqrt q\,e^{i\delta}u_p^{-\ell}$ 。相反拓扑荷的径向强度相同，相位却不同。相干叠加能把亮环变成花瓣，但并不因此获得净轨道角动量。

为什么值得理解明亮花瓣图案能否具有零平均轨道角动量？

先抓重点

核心问题: 明亮花瓣图案能否具有零平均轨道角动量？
一句话直觉: 对互不相同的正负拓扑荷模式， $\langle L_z\rangle/\hbar=(1-2q)\ell$ 。本 Lab 用采样场的角向傅里叶系数算出这个平均值，不拿控制量冒充测量结果。拓扑荷为零时只有一个模式，混合比例不起作用。

核心数学模型

归一化 Laguerre–Gaussian 传播

\begin{aligned}u_p^\ell&=\sqrt{\frac{2p!}{\pi(p+|\ell|)!}}\frac{1}{w}\left(\frac{\sqrt2r}{w}\right)^{|\ell|}L_p^{|\ell|}\!\left(\frac{2r^2}{w^2}\right)e^{-r^2/w^2}e^{i\Phi}\\\Phi&=\ell\phi+\frac{kr^2}{2R}-(2p+|\ell|+1)\arctan(z/z_R)\end{aligned}

前向载波约定为：轴向相位取正，时间相位取负；数值包络里去掉了载波。各模式共用一种均匀的线偏振。径向多项式和 Gouy 阶数都不能省：只给高斯光加一个螺旋相位，不会自动得到纯 LG 模式。输入光是理想制备的，没有模拟相位板。

束腰、亮环与相位曲率是不同量

\begin{aligned}z_R&=\pi w_0^2/\lambda,\quad w(z)=w_0\sqrt{1+(z/z_R)^2}\\r_{\rm peak}&=w\sqrt{|\ell|/2}\quad(p=0),\quad\langle r^2\rangle=\tfrac12(2p+|\ell|+1)w^2\end{aligned}

长度单位是毫米，波长六百三十三纳米。亮环峰值公式只在径向阶数为零、拓扑荷不为零时成立。拓扑荷为零时，基模在轴上最亮。改变束腰会改变场的形状和物理 Rayleigh 距离；轴向按 Rayleigh 单位显示，比例和横向毫米不同。

干涉是复数相加

I_{\rm fork}=|u+v_{\rm ref}|^2,\quad v_{\rm ref}=\sqrt{P_{\rm ref}}\,\frac{\sqrt{2/\pi}}{w}e^{-r^2/w^2}e^{i2\pi N_fx/(12w)}

参考光在探测面上定义，带高斯包络和设定的横向倾斜。它的功率比以单位功率的信号输入为基准。合成场的积分功率含相干重叠项，不一定等于两束光各自功率之和。这里只是在探测面上理想地给定参考光，没有追迹制备它的干涉仪。

轨道角动量谱不是亮环计数

c_m(r)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}u(r,\phi)e^{-im\phi}\,d\phi,\quad P_m=2\pi\int_0^\infty|c_m(r)|^2r\,dr

图中的谱，是场的角向系数沿半径积分的结果。纯模式的平均值等于它的拓扑荷；叠加场的平均值按功率加权，这时可能没有单一的整体拓扑荷。径向阶数改变环的结构和光束展宽，不改变纯模式的轨道角动量本征值。标量模型不含自旋和总角动量。

有限角窗带来 sinc 重叠

\widetilde u(r,s)=\sum_m c_m(r)\operatorname{sinc}(s-m),\quad J(s)=2\pi\int|\widetilde u(r,s)|^2r\,dr

理想的角度展开器把绕转的相位变成线性梯度，傅里叶透镜再把梯度变成位置。一个角度周期的宽度有限，所以每个纯模式都给出 sinc 平方形状的响应。相干叠加的交叉项全部保留。绘图区范围有限，落在外面的尾部不会重新归一化补回来。模型不含扇出、真实掩膜像差和实验数据，也不声称分选效率。

常见难点

甜甜圈光斑证明轨道角动量吗？

容易误解任何暗心亮环都有唯一非零轨道角动量。

正确理解不能。强度丢掉了相位信息。相反拓扑荷的纯模式强度相同，相干混合的平均轨道角动量还可能为零。要确定轨道角动量，得知道复场，或做合适的相位敏感测量，光看形状不够。

动手实验

01
场景 1：归一化涡旋场
反转带符号拓扑荷，看强度不变，相位绕向和叉纹方向却都反了过来。再把拓扑荷和径向阶数设为零，中心应该变亮。
你会看到： 只看强度，分不出相反的拓扑荷。参考干涉和相位诊断回答的是不同的问题。
02
场景 2：用参考场读出叉形
改变包络束腰、径向阶数和探测距离，三维光场、物理采样面和数据会一起变化。注意束腰不是亮环半径。
你会看到： 有明亮结构的场，平均轨道角动量也可以是零。出现花瓣，不代表光束是单一的轨道角动量本征模。
03
场景 3：相反拓扑荷与理想分选
选择相反拓扑荷和理想分选，再改变混合比例和相对相位。保持轨道角动量权重不变，让花瓣旋转，观察分选器上互相重叠的光斑。改动控制之前，先冻结一帧探测图像。
你会看到： 按相位着色的三维体是场的诊断视图。全局相位动画不改变强度、轨道角动量权重，也不改变已记录的帧。