光学 062 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

光学 Fourier 处理器

相干 4f 处理光台，含八种无源振幅／相位滤波、可移动频域片、真实倒像接收数据、相位反差及匹配相关。

物面至接收距离／编程频域片半径

4f,a_H

$0.50$

完整场透射率／可见裁剪功率

T,P_{\rm crop}

$50\%$

物面采样／频域间距

\Delta x,\Delta\nu

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

光学 Fourier 处理器

滤波器编号（下方命名按钮）

h

1

物面编号（下方命名按钮）

o

0

半径／狭缝半宽（空间频率）

r_\nu

2.50\,\mathrm{mm}^{-1}

频域片水平中心

\nu_{cx}

0\,\mathrm{mm}^{-1}

频域片竖直中心

\nu_{cy}

0\,\mathrm{mm}^{-1}

方向狭缝长轴角度

\alpha

0^{\circ}

圆片的编程相位延迟

\phi_H

0.50\pi

相干单色波长

\lambda

532\,\mathrm{nm}

两透镜共同焦距（联动光台）

f

100\,\mathrm{mm}

图像显示增益指数（不改原始数据）

e_G

0.50

小小频域片能抹去条纹，也能让不可见相位显出反差。先对比低通与高通，再选条纹预设，把对称陷波移到一对频谱峰。相位圆片改变局部反差却不改变总透射功率，匹配相关可定位重复开环符号。实际正透镜 4f 光台生成倒像。物面、频域片、频谱及接收像来自同一复振幅计算，不是独立画出来的图片；放大数据留在装置外。点击计算频谱平移实体片。改变波长或焦距会重新编程实际尺寸，以固定所选空间频率坐标，不是固定制造掩模。原始通光量与对数亮度分开。

理想等焦距无限瞳透镜，有限合成相干场，无源编程 Fourier 面光阑。每边五百一十二点补零复数 FFT 与点样本；周期数值输出，不是像素面积积分或由强度恢复相位。固定对数显示，不等比例场景；不含像差、非相干、噪声或专家认证。

先抓重点

核心问题: 在 Fourier 面移动一个滤波器，怎样重写图像边缘、模糊与重复纹理？
一句话直觉: 两只正透镜执行两次正向变换，因此 $U_{\rm out}(x,y)=\mathcal F^{-1}\{H\widetilde U_{\rm in}\}(-x,-y)$ 。负坐标不可省略：接收像沿两个横向坐标反转。

核心数学模型

前、后焦面的场

\begin{aligned}\widetilde U(\nu_x,\nu_y)&=\iint U(x,y)e^{-2\pi i(\nu_x x+\nu_y y)}\,\mathrm dx\,\mathrm dy\\U_F(X,Y)&=\frac{e^{2ikf}}{i\lambda f}\widetilde U\left(\frac X{\lambda f},\frac Y{\lambda f}\right)\end{aligned}

物面在第一理想透镜前一焦距，滤波片在其后一焦距、第二透镜前一焦距，接收器在第二透镜后一焦距；公共载波相位不改强度。

无源掩模与相位

\begin{aligned}H_{\rm low}&=P\,\mathbf1_{|\boldsymbol\nu-\boldsymbol\nu_c|\le r_\nu}\\H_{\rm high}&=P-H_{\rm low}\\H_{\rm phase}&=P\exp\left(i\phi_H\mathbf1_{|\boldsymbol\nu-\boldsymbol\nu_c|\le r_\nu}\right)\\P&=\mathbf1_{|\boldsymbol\nu|\le14\,\mathrm{mm}^{-1}}\end{aligned}

环形带通保留半半径至全半径，方向模式为同样半宽的狭缝，对称陷波挡住正负中心。相位圆片针对所选波长编程，不从未定义玻璃深度推断。载片是频域面光阑，理想透镜瞳仍无限。

功率与显示亮度分开

\begin{aligned}T&=\frac{\sum|\widetilde U H|^2}{\sum|\widetilde U|^2}\\I_{\rm out}&=|U_{\rm out}|^2\\B_I&=\min\left(1,\frac{\ln(1+10^{e_G}I/I_{\rm inc})}{\ln5}\right)\end{aligned}

Parseval 给出与完整采样接收场相同的透射率；可见五毫米裁剪不是总功率。输入、滤后及对照共用固定显示映射，频域诊断另用固定对数映射；原始探针始终线性。

相位变反差，不产生新能量

\begin{aligned}U_{\rm weak}&\simeq1+i\varphi\\H(0)&=i\\U_{\rm contrast}&\simeq i+i\varphi\\I_{\rm contrast}&\simeq1+2\varphi\end{aligned}

此弱相位示例假定均匀背景，圆片只作用于零级。数值模型用实际有限照明与有限圆片，保留晕圈及背景泄漏，不拿线性示例公式替代模拟图。

无源匹配相关

\begin{aligned}H_{\rm match}&=P\frac{\widetilde G^*}{\max|\widetilde G|}\\U_{\rm corr}(x,y)&\propto\iint U(\xi,\eta)G^*(\xi+x,\eta+y)\,\mathrm d\xi\,\mathrm d\eta\end{aligned}

平滑开环符号为编程模板；相同 FFT 数据与无源归一化复透射计算相关。两个重复符号在反号位移处产生峰。圆盘会产生宽、甚至更亮的误响应：未经局部归一化的正模板相关不是分类器。此为理想复数掩模，不是制造全息片或认证识别系统。

采样与实际比例

\begin{aligned}L_{\rm num}&=16\,\mathrm{mm},\quad N=512\\\Delta x&=L_{\rm num}/N\\\Delta\nu&=1/L_{\rm num}\\a_H&=\lambda f r_\nu\end{aligned}

输入照明在四毫米方形边界渐变至零。补零减少回卷，但离散输出仍周期；硬掩模受频域格点位置影响。样本为点强度，不是面积积分相机像素。改变波长或焦距会重新编程掩模以固定频率坐标，实际片尺寸因此改变。光台轴向与横向细节比例不同。

常见难点

一张强度照片不包含完整光场

容易误解对输入照片做 Fourier 变换，就能复现任意物体的光学处理。

正确理解透镜作用于复振幅。透明相位物体的输入强度可近乎均匀，相位圆片却能让结构可见。模拟已知编程复透射，不是从照片找回丢失相位。

动手实验

01
场景 1：模糊与边缘
对比分辨率靶的开放载片、低通及高通；接收图倒像，高通强调边缘但损失大量功率。
应该观察到： 低通软化细节；去掉中心频谱使边缘相对背景突出，不是能量增加。
02
场景 2：抹去一对条纹峰
条纹预设中点击一对频谱峰，移动或加宽对称陷波；去条纹同时丢失重叠的物体信息。
应该观察到： 水平频域狭缝保留水平方向频率变化，即竖直物面条纹；转动狭缝改变所选频率方向。
03
场景 3：不可见相位变反差
比较相位细胞的开放载片与四分之一波圆片，反转圆片相位，再对两个符号尝试匹配相关。
应该观察到： 相位滤波保留载片内功率，局部亮度重分布；相关峰标记反号位移，不是恢复物体像素。