光学 062 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

光学 Fourier 处理器

两片透镜之间放一块掩模，怎样让图像只剩边缘、变模糊或去掉重复纹理？ 第一片透镜把图像的空间频率铺在 Fourier 面上：粗轮廓靠近中心，细节在外圈。在那里放掩模，挡住哪些频率，图像就少了哪些。挡住中心，只剩边缘；挡住外圈，图像变模糊；用周期排列的挡片盖住重复纹理的亮点，纹理就没了。第二片透镜再把像合回来，只是上下颠倒。

在相干 4f 光台上处理图像：有八种无源振幅或相位滤波器，频域掩模可以移动。可以查看接收面上的倒像，让相位物体显出反差，并用匹配相关寻找图案。

物面至接收距离／编程频域片半径

4f,a_H

$0.50$

完整场透射率／可见裁剪功率

T,P_{\rm crop}

$50\%$

物面采样／频域间距

\Delta x,\Delta\nu

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

光学 Fourier 处理器

滤波器编号（名称见下方按钮）

h

1

物面编号（名称见下方按钮）

o

0

半径／狭缝半宽（空间频率）

r_\nu

2.50\,\mathrm{mm}^{-1}

频域片水平中心

\nu_{cx}

0\,\mathrm{mm}^{-1}

频域片竖直中心

\nu_{cy}

0\,\mathrm{mm}^{-1}

方向狭缝长轴角度

\alpha

0^{\circ}

圆片的编程相位延迟

\phi_H

0.50\pi

相干单色波长

\lambda

532\,\mathrm{nm}

两透镜共同焦距（光台间距随之改变）

f

100\,\mathrm{mm}

图像显示增益指数（不改原始数据）

e_G

0.50

频域里一小片掩模，就能抹掉条纹，也能让看不见的相位物体显出反差。先比较低通和高通，再选条纹预设，把成对的陷波移到两个频谱峰上。相位圆片改变局部反差，总透射功率却不变；匹配相关能找出重复出现的开环符号。4f 光台用的是正透镜，所以像是倒的。物面、频域掩模、频谱和接收像都来自同一次复振幅计算。放大的数据放在装置之外。点击计算频谱，可以平移滤波片。改变波长或焦距时，滤波片的实际尺寸会重新计算，保持选定的空间频率不变；它相当于可编程掩模，不是固定的成品。原始通光量和对数亮度分开显示。

透镜理想，焦距相等，瞳孔不受限；输入是合成的有限相干场，Fourier 面光阑是无源的可编程光阑。计算用每边五百一十二点、补零的复数 FFT 和点采样，因此输出在数值上是周期的。它不对相机像素面积积分，也不只凭强度恢复相位。显示采用固定的对数标尺，场景各部分比例不同。不考虑像差、非相干光和噪声，也没有经过专家认证。

先抓重点

核心问题: 两片透镜之间放一块掩模，怎样让图像只剩边缘、变模糊或去掉重复纹理？
一句话直觉: 两只正透镜做了两次正向变换，所以 $U_{\rm out}(x,y)=\mathcal F^{-1}\{H\widetilde U_{\rm in}\}(-x,-y)$ 。负号不能丢：接收面上的像在两个横向上都是倒的。

核心数学模型

前、后焦面的场

\begin{aligned}\widetilde U(\nu_x,\nu_y)&=\iint U(x,y)e^{-2\pi i(\nu_x x+\nu_y y)}\,\mathrm dx\,\mathrm dy\\U_F(X,Y)&=\frac{e^{2ikf}}{i\lambda f}\widetilde U\left(\frac X{\lambda f},\frac Y{\lambda f}\right)\end{aligned}

物面在第一块理想透镜前一个焦距处；滤波片在它后面一个焦距，也正好在第二块透镜前一个焦距；接收器在第二块透镜后一个焦距。公共载波相位不改变强度。

无源掩模与相位

\begin{aligned}H_{\rm low}&=P\,\mathbf1_{|\boldsymbol\nu-\boldsymbol\nu_c|\le r_\nu}\\H_{\rm high}&=P-H_{\rm low}\\H_{\rm phase}&=P\exp\left(i\phi_H\mathbf1_{|\boldsymbol\nu-\boldsymbol\nu_c|\le r_\nu}\right)\\P&=\mathbf1_{|\boldsymbol\nu|\le14\,\mathrm{mm}^{-1}}\end{aligned}

带通保留半径在设定值一半到全值之间的频率；方向模式是同样半宽的狭缝；对称陷波同时挡住正负两个中心。相位圆片按所选波长编程，不由某个未指定的玻璃厚度推算。载片是频域面上的光阑，理想透镜的孔径仍是无限大。

功率与显示亮度分开

\begin{aligned}T&=\frac{\sum|\widetilde U H|^2}{\sum|\widetilde U|^2}\\I_{\rm out}&=|U_{\rm out}|^2\\B_I&=\min\left(1,\frac{\ln(1+10^{e_G}I/I_{\rm inc})}{\ln5}\right)\end{aligned}

由 Parseval 定理，用完整采样的接收面光场算出的透射率与上式相同；看到的五毫米裁剪区并不包含全部功率。输入、滤波后和对照三幅图共用一种固定的显示映射，频域诊断另用一种固定的对数映射。所有原始探针读数都是线性的。

相位变成反差，能量并未增加

\begin{aligned}U_{\rm weak}&\simeq1+i\varphi\\H(0)&=i\\U_{\rm contrast}&\simeq i+i\varphi\\I_{\rm contrast}&\simeq1+2\varphi\end{aligned}

这个弱相位例子假设背景均匀，圆片只作用于零级。数值模型用的是实际的有限照明和有限圆片，所以晕圈和背景泄漏都还在。模拟图像完整计算，不用这条线性公式代替。

无源匹配相关

\begin{aligned}H_{\rm match}&=P\frac{\widetilde G^*}{\max|\widetilde G|}\\U_{\rm corr}(x,y)&\propto\iint U(\xi,\eta)G^*(\xi+x,\eta+y)\,\mathrm d\xi\,\mathrm d\eta\end{aligned}

模板是一个平滑的开口圆环符号。相关运算用同一份 FFT 数据和无源的归一化复透射率。两个相同的符号在反号位移处各产生一个峰。圆盘会给出一个宽的误响应，甚至更亮：未经局部归一化的正模板相关不能当分类器用。这里是理想的复数掩模，不是实际制作的全息片，也不是经过认证的识别系统。

采样与实际比例

\begin{aligned}L_{\rm num}&=16\,\mathrm{mm},\quad N=512\\\Delta x&=L_{\rm num}/N\\\Delta\nu&=1/L_{\rm num}\\a_H&=\lambda f r_\nu\end{aligned}

输入照明在四毫米方形边界处渐降到零。补零能减少循环回卷，但离散输出仍是周期的；硬边掩模对频域格点落在哪里很敏感。样本是点强度，不是按面积积分的相机像素。改变波长或焦距时，掩模会重新编程以保持频率坐标不变，所以它的实际尺寸会变。光台的轴向比例和横向细节比例不同。

常见难点

一张强度照片不包含完整光场

容易误解对输入照片做 Fourier 变换，就能复现任意物体的光学处理。

正确理解透镜作用的是复振幅。透明的相位物体，输入强度几乎均匀，加上相位圆片后结构却能显现。模拟知道编程设定的复透射率，并不是从照片里找回丢失的相位。

动手实验

01
场景 1：模糊与边缘
在分辨率靶上比较开放载片、低通和高通。接收的像是倒的；高通让边缘突出，但损失了大部分功率。
你会看到： 低通让细节变柔和。去掉频谱中心后，边缘相对背景更亮，但能量并没有增加。
02
场景 2：抹去一对条纹峰
在条纹预设里点击一对频谱峰，移动或加宽对称陷波。去掉条纹的同时，与它们重叠的物体信息也一起丢了。
你会看到： 水平的频域狭缝保留沿水平方向的变化，也就是物面上的竖直条纹。转动狭缝，所选的频率方向也跟着转。
03
场景 3：不可见相位变反差
比较相位细胞在开放载片和四分之一波圆片下的样子。把圆片相位反过来，再对两个符号试试匹配相关。
你会看到： 相位滤波不改变载片内的总功率，只是把亮度重新分配。相关峰标出的是反号位移，不是恢复出来的物体像素。