光学 092 · 光纤、结构光与现代波动光学

无序介质中的光

在无序介质里，干涉怎样把更多光送回正后方，或让光不再向两侧扩散？ 在弱散射平板里，光做随机游走；每条多次散射的路径都和反向走的同一条路径干涉，在正后方叠出一个窄亮锥，叫相干背散射。在一排耦合波导里，各波导的失谐随机而固定，干涉让射入一根波导的光不再向两侧扩散，这是横向 Anderson 局域化。

互易散射路径叠出背散射锥；随机飞行模拟保持光子数守恒，并区分碰撞长度和输运长度。无序波导阵列按幺正方式演化，可以读出复数输出场、多次无序取样平均后的展宽，以及计算得到的本征模。

背向峰或横向展宽

E(0),\sigma

$0.50$

输运长度或阵列功率

\ell^*,P

$50\%$

能量守恒或本征模参与数

R+T+U,\mathcal P

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

无序介质中的光

阵列失谐半宽／耦合

\Delta/C

3

平板深度；不是阵列长度

L

4\,\mathrm{mm}

平板平均碰撞自由程

\ell_s

0.80\,\mathrm{mm}

平板平均散射角余弦

g

0

冻结无序／路径系综种子

s

7

阵列出射距离

z

18\,\mathrm{mm}

互易配对可见度；不是吸收

v

1

阵列输入格点；可在视口拖动源

n_0

0

同样的无序既能把光散射回来，也能把波包困在入射点附近，不过这是两个不同的实验。先把采样到的散射路径反向走一遍，看背散射锥出现。再把光注入阵列中的一根波导，看它的复数场怎样演化，并拿冻结无序把光困住的程度，和另一条经典扩散参考曲线比较。

背散射部分用标量弱散射平板近似，阵列部分是另一个有限的一维紧束缚模型。局域光场不预设指数包络。这里不涉及体材料的迁移率边，不按具体材料标定，也不复现某个实验。

物理教程

检验无序介质中的光的物理过程

背景反射强度出现峰值，和波包不再展宽，是两种不同的测量。无序波导阵列里，相邻波导之间相干地交换能量： $i\frac{da_n}{dz}=\delta\beta_n a_n+C(a_{n-1}+a_{n+1})$ 。固定不变的随机失谐可以靠干涉阻止光向两侧展开。另一块弱散射平板演示互易路径带来的背散射，它不求解体材料中的局域化。

为什么值得理解在无序介质里，干涉怎样把更多光送回正后方，或让光不再向两侧扩散？

先抓重点

核心问题: 在无序介质里，干涉怎样把更多光送回正后方，或让光不再向两侧扩散？
一句话直觉: 展宽停下来，不等于功率被吸收： $\sum_n|a_n(z)|^2=1$ 。要追踪真实的复振幅，多看几份无序样本，并分清出射图样和本征模。计算里没有预先设定指数局域化长度。

核心数学模型

碰撞自由程与输运长度

p(s)=\ell_s^{-1}e^{-s/\ell_s},\quad g=\langle\cos\theta\rangle,\quad\ell^*=\frac{\ell_s}{1-g},\quad B=e^{-L/\ell_s}

平板模型采用三维随机飞行，长度单位为毫米，平面波法向入射，相函数为归一化的 Henyey–Greenstein 函数。边界折射率匹配，横向无限延伸。模型不含吸收、表面 Fresnel 反射、矢量偏振和反复的近场耦合，也不含某种具体粒子的 Mie 响应。它假设弱散射，所以不能用来论证体材料存在迁移率边。

互易路径对形成背散射锥

E(\alpha)\simeq1+v\frac{\sum_{p\ge2}w_p\cos[k\alpha(x_{p,\rm last}-x_{p,\rm first})]}{W_1+W_{\ge2}},\quad k=\frac{2\pi}{\lambda_0}

每次碰撞后，下一事件估计器给“恰好向后逃逸”赋予权重。在背向附近，路径在平板外积累的相位差，取决于首末两次散射点的水平距离。平板厚度有限、单次散射，以及所选配对可见度，都会影响看到的增强。窄锥近似忽略随角度变化的背景权重和二阶角度相位，也没有加入保证总通量守恒的干涉修正。正角度一侧的半宽由数值测得，不由公式给定。绿光的真空波长为五百三十二纳米。

冻结无序与幺正传播

\delta\beta_n\sim\mathcal U[-\Delta,\Delta],\quad\mathbf a(z)=e^{-iHz}\mathbf e_{n_0},\quad\sigma^2=\sum_n(n-n_0)^2\langle|a_n|^2\rangle

阵列有八十一根波导，端点开放，间距十六微米，最近邻耦合为实数且均匀，每毫米零点四。每根波导的失谐各自独立、静态不变，位于矩阵对角线上。程序对角化这个实对称矩阵，所有纵向场和探测值都由它的本征值和本征矢给出。公共传播常数已经去掉。这里的相位符号与 Lahini 方程整体相反；单根波导的实数输入，强度不受影响。显示的系综只有十二份样本，不是没有噪声的无限平均。边缘波导里出现功率，说明有限尺寸开始起作用。

经典跳跃只是对照，不是必经阶段

\sigma^2_{\rm ordered}=2(Cz)^2,\quad\partial_z p_n=\Gamma(p_{n-1}+p_{n+1}-2p_n),\quad\sigma^2_{\rm hop}\simeq2\Gamma z

有序链中，光以弹道方式展开。另设的经典过程在反射端点下保持概率守恒，跳跃率取为与光学耦合相等。在无限长链上，它的方差线性增长，不是平方增长。它不是经过实验标定的去相干模型。一维静态 Anderson 晶格里，弹道分量和局域分量可以同时出现，中间不必经过扩散阶段。本 Lab 不会因为透射低就推断出三维局域化。

参与数：一个模式占据多少根波导

\mathcal P(\mathbf v)=\frac{(\sum_n|v_n|^2)^2}{\sum_n|v_n|^4},\quad H\mathbf v_j=\beta_j\mathbf v_j

与输入波导重叠最大的模式，和传播后的波包分开显示。参与数小，表示功率集中在少数波导里。单是有限尺寸造成的饱和，不能证明 Anderson 局域化；参与数也不是拟合出来的局域化长度。矩阵残差、无序系综、有序解析极限和概率守恒分别检验。显示增益、压缩的轴向比例和相位配色都不进入任何物理读数。

常见难点

输出变暗，就说明波局域化了吗？

容易误解只要强度按指数衰减，或者透射很低，就证明发生了 Anderson 局域化。

正确理解不能。吸收、普通散射、有限边界和探测几何都会让信号变弱。这里把受限的输出与有序阵列中的相干传播、系综、本征模和守恒的功率逐一对照；稀疏平板不涉及体局域化。

动手实验

01
场景 1：平板中的互易路径
先看平板。把互易配对可见度降到零：角度峰消失，反射和透射计数却不变。改变平均碰撞自由程或平均散射角余弦，输运长度和锥宽都会变，但原因不同。
你会看到： 在弱散射近似下，背散射锥说明存在互易路径，却不能证明体局域化。锥的峰值和积分反射功率是两个不同的观测量。
02
场景 2：有序阵列的弹道展宽
选择有序阵列，加大传播距离，可以看到两侧弹道翼向外展开。再选择冻结无序，对照实际输出、十二份样本的平均、沿程展宽，以及由同一矩阵求出的本征模。
你会看到： 种子和输入位置都会改变结果。要比较实际输出和系综；预先选定的指数包络会把涨落掩盖掉。
03
场景 3：冻结无序约束波包
换一个种子，或沿输入面横向拖动阵列光源。局部结果会变，总功率却不会凭空减少。先冻结一次采集，再调参数：保存下来的角度估计或复数输出应当不变。
你会看到： 与 019 中的几何分支流不同，阵列演化的是复振幅，结果依赖干涉。平板和阵列是两个独立的装置模型。