光学 044 · 干涉、相干、光腔与精密测量

干涉表面测量

空气间隙截面把精确球面矢高、真实倾斜平晶与光滑表面凹坑，同单色条纹和四帧相位反演联动。

共同截线采样点／间隙／归一化强度

x_p,t_p,I_p

$0.50$

反演曲率、劈角或有限视窗面形偏离

\widehat R,\widehat\alpha,\mathrm{PV}_{\mathrm{res}}

$50\%$

采样网格／最大相邻相位差

N,\max|\Delta\phi|/\pi

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

干涉表面测量

单色测量波长

\lambda

600\,\mathrm{nm}

球面曲率半径（不是样片半径）

R

4\,\mathrm m

平晶倾斜角（零为平行）

\alpha

0.25\,\mathrm{mrad}

基准间隙（非自动相移）

t_0

0\,\mathrm{nm}

待测表面凹坑深度

d_{\mathrm{pit}}

200\,\mathrm{nm}

共同截线采样位置

x_p

1.50\,\mathrm{mm}

接触点是暗的。增大曲率半径：青色参考面真正变平，环向外扩展，样片宽度保持不变。再试劈尖与凹坑：凹坑深度让金色待测面下降，条纹弯曲。四幅相移强度帧用已知角点和标定平面反演截线。拖动旋转，滑块移动共同采样点；播放不假造表面运动。

平衡相干双回波、正入射标量近似；强度固定归一化，不是绝对反射率。纵向独立放大，支座示意；理想相移与已标定角点。无噪声，不声称任意缺陷反演或仪器精度。

先抓重点

核心问题: 条纹几何怎样揭示厚度、曲率与微小面形缺陷？
一句话直觉: 相邻同亮度级次的间隙差为 $\Delta t_{\mathrm{fringe}}=\lambda/2$ 。单张图不能区分相差整数个这样的台阶，也不能单凭明暗判断凸起或凹坑。四个理想相移恢复包裹相位；足够密的连续采样与一个独立标定的角点确定连续间隙。它们不能凭空测得绝对高度。

核心数学模型

为什么光学接触点是暗的

\phi=\frac{4\pi t}{\lambda},\qquad I_k=\frac{1-\cos(\phi+k\pi/2)}{2}

强度按两束平衡相干回波的固定相长最大值归一化，负号计入反射反相。四帧代表独立施加的参考相移，不是假造随时间变化的表面。忽略多次反射与精确 Fresnel 振幅不平衡；这不是绝对反射率计算。

曲率半径不是样片半径

\begin{aligned}t(r)&=t_0+\frac{r^2}{R+\sqrt{R^2-r^2}}\\r_m^2&=2Rs_m-s_m^2,\quad s_m=m\lambda/2-t_0\end{aligned}

样片保持 8 毫米方形；米量级曲率半径改变真实球面形状。曲率半径越大，玻璃越平，环越疏。暗环半径使用精确矢高，不只用小矢高近似。读出的首个非中心暗圆可能被方形视窗裁切。

倾斜平晶把厚度变成尺子

t(x)=t_0+(x+a)\tan\alpha,\qquad\Delta x=\frac{\lambda}{2\tan\alpha}

视窗半宽为 4 毫米。倾斜真正移动参考表面；波长只改变条纹，不移动表面。零倾角时条纹间距无穷，图样均匀。劈角由两端反演间隙求出，不是照抄滑块。

四张图，一份包裹相位

\phi_w=\operatorname{atan2}(I_1-I_3,I_2-I_0),\qquad\widehat t=\frac{\lambda}{4\pi}\phi_u

空间近邻展开只接收四个强度数组、波长与已标定角点高度。界面报告最大相邻相位差，必须小于半周期。257 方形网格上允许的所有控制极值均满足此条件。没有角点标定，全局整数级次仍未知。未模拟噪声、不连续表面与相移误差。

凹坑弯曲条纹；标定平面把它分离出来

\begin{aligned}t(x,z)&=t_0+(x+a)\tan\alpha+h(x,z)\\h(x,z)&=d\exp\!\left[-\frac{(x-x_c)^2+z^2}{2\sigma^2}\right]\end{aligned}

待测表面具有中心右侧 0.8 毫米、宽度 0.85 毫米的光滑凹坑。正深度增大空气间隙，并让真实待测面下降。减去独立标定的基准间隙与倾斜后得到反演偏离；色阶固定，不自动归一化。峰谷值针对有限采样视窗计算，不能直接等同于输入深度。

常见难点

环多不等于绝对高度信息多

容易误解单张条纹照片唯一给出绝对高度与纳米级精度。

正确理解强度对相位周期重复且为偶函数。已知相移消除符号歧义，却不能在没有标定时确定整数级次。无噪声正反演一致性检验的是实现，不是仪器精度。参考面误差、振动、有限相干性、Fresnel 不平衡与成像分辨率需要另外建模。

动手实验

01
场景 1：Newton 环
从接触开始，增加曲率半径：青色面变平，方形样片大小不变，暗环向外移动。
应该观察到： 改变波长绝不改变测量表面几何。
02
场景 2：空气劈尖
选择空气劈尖，把倾角调到零。将基准间隙增加半个波长：几何移动，但强度图样重复。
应该观察到： 相差半个波长的间隙可以产生相同图像。
03
场景 3：Fizeau 光学平晶检测
选择平晶凹坑，增大深度观察条纹弯曲；倾角归零，体会单图为何丢失正负号。四步反演仍恢复标定截线。
应该观察到： 去掉基准间隙后曲率仍在；平面劈尖减去标定平面后消失。