光学 044 · 干涉、相干、光腔与精密测量

干涉表面测量

干涉条纹怎样描出表面的形状，连微小缺陷也看得出？ 每条条纹都是空气隙的一条等高线，相邻两条高差半个波长。直条纹等距排开说明表面倾斜，一圈圈的环说明表面弯曲，凹坑会让条纹局部拐弯。单看一张图分不出凸起还是凹坑，要采几帧相移图像，再配一个标定过的参考高度。

空气间隙的剖面展示：精确的球面矢高、倾斜平晶和待测表面上的光滑凹坑，怎样产生单色条纹。再用四帧相移把间隙轮廓反演出来。

共同截线采样点／间隙／归一化强度

x_p,t_p,I_p

$0.50$

反演曲率、劈角或有限视窗面形偏离

\widehat R,\widehat\alpha,\mathrm{PV}_{\mathrm{res}}

$50\%$

采样网格／最大相邻相位差

N,\max|\Delta\phi|/\pi

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

干涉表面测量

单色测量波长

\lambda

600\,\mathrm{nm}

球面曲率半径（不是样片半径）

R

4\,\mathrm m

平晶倾斜角（零为平行）

\alpha

0.25\,\mathrm{mrad}

基准间隙（非自动相移）

t_0

0\,\mathrm{nm}

待测表面凹坑深度

d_{\mathrm{pit}}

200\,\mathrm{nm}

共同截线采样位置

x_p

1.50\,\mathrm{mm}

接触点是暗的。增大曲率半径，青色参考面变平，圆环向外扩展，样片宽度保持不变。再试劈尖，然后试凹坑：凹坑深度让金色待测面下降，条纹随之弯曲。四幅相移帧借助已知角点和标定平面，恢复出截面轮廓。拖动可旋转视角，滑块移动共用的采样点。播放不会让表面动起来。

模型采用正入射标量近似，两束相干反射光强度相同。强度按固定标尺归一化，不是绝对反射率。纵向比例单独放大，支座只是示意，相移理想，基准角点已标定。不考虑噪声，不反演任意缺陷，也不宣称仪器精度。

物理教程

检验干涉表面测量的物理过程

背景光在薄空气间隙两侧的表面各反射一次，两束反射光相干叠加。光在间隙里往返一次的相位是 $\phi=4\pi t/\lambda$ 。一次是玻璃到空气的反射，一次是空气到玻璃的反射，两者符号相反，所以接触点是暗的，不是亮的。三维表面、相机条纹和反演截线都来自同一个间隙函数。

为什么值得理解干涉条纹怎样描出表面的形状，连微小缺陷也看得出？

先抓重点

核心问题: 干涉条纹怎样描出表面的形状，连微小缺陷也看得出？
一句话直觉: 相邻两条同样亮度的条纹，间隙相差 $\Delta t_{\mathrm{fringe}}=\lambda/2$ 。单张图分不出相差整数个这种台阶的间隙，也分不出凸起和凹坑。四个理想相移能恢复包裹相位；表面平滑、采样够密，再加一个独立标定的角点，才能确定连续的间隙。这些步骤本身不会凭空给出绝对高度。

核心数学模型

为什么光学接触点是暗的

\phi=\frac{4\pi t}{\lambda},\qquad I_k=\frac{1-\cos(\phi+k\pi/2)}{2}

强度按两束等强相干回波同相叠加时的固定最大值归一化。负号来自反射反相。四帧分别加了四个独立的参考相移，表面在四帧之间并没有变。模型忽略多次反射和精确的 Fresnel 振幅差，所以不计算绝对反射率。

曲率半径不是样片半径

\begin{aligned}t(r)&=t_0+\frac{r^2}{R+\sqrt{R^2-r^2}}\\r_m^2&=2Rs_m-s_m^2,\quad s_m=m\lambda/2-t_0\end{aligned}

样片始终是 8 毫米见方。曲率半径是米量级，改变它会改变样片真实的球面形状。曲率半径越大，玻璃越平，环越稀。暗环半径按精确矢高计算，不只用小矢高近似。读数列出的第一个非中心暗环，可能被方形视窗切掉一部分。

倾斜平晶把厚度变成尺子

t(x)=t_0+(x+a)\tan\alpha,\qquad\Delta x=\frac{\lambda}{2\tan\alpha}

视窗半宽 4 毫米。倾斜会真的移动参考表面；改变波长只改变条纹，不移动任何表面。倾角为零时，条纹间距无穷大，图像变得均匀。劈角由两端反演出的间隙算出，不是直接取滑块的值。

四张图，一份包裹相位

\phi_w=\operatorname{atan2}(I_1-I_3,I_2-I_0),\qquad\widehat t=\frac{\lambda}{4\pi}\phi_u

空间展开只比较相邻像素，只用四个强度数组、波长和标定好的角点高度。读数给出相邻像素间最大的相位跳变，它必须小于半个周期。在 257 方形网格上，所有控制量取到极值时都满足这个条件。没有角点标定，整体的整数级次仍然未知。模型不模拟噪声、不连续表面和相移误差。

凹坑让条纹弯曲，减去标定平面就能把它分离出来

\begin{aligned}t(x,z)&=t_0+(x+a)\tan\alpha+h(x,z)\\h(x,z)&=d\exp\!\left[-\frac{(x-x_c)^2+z^2}{2\sigma^2}\right]\end{aligned}

待测表面上有一个光滑凹坑，宽 0.85 毫米，中心在视窗中心右侧 0.8 毫米处。深度为正时，空气间隙变大，待测面真的往下凹。减去独立标定的基准间隙和倾斜，剩下的就是反演出的面形偏离；色阶固定，不会自动归一化。峰谷值在有限的采样视窗内计算，不直接等于输入深度。

常见难点

环多不等于绝对高度信息多

容易误解拍一张条纹照片，就能唯一确定绝对高度，精度到纳米。

正确理解强度随相位周期重复，正负相位给出同样的强度。已知相移能去掉正负号的歧义，但没有标定，仍定不了整数级次。这里正演和反演在无噪声条件下吻合，检验的是程序实现，不是仪器精度。参考面误差、振动、有限相干性、Fresnel 振幅差和成像分辨率，都需要另外建模。

动手实验

01
场景 1：Newton 环
从接触状态开始，增大曲率半径：青色面变平，方形样片大小不变，暗环向外移动。
你会看到： 改变波长，测量表面的形状始终不变。
02
场景 2：空气劈尖
选择空气劈尖，把倾角降到零。把基准间隙改变半个波长：表面位置变了，强度图样却和原来一样。
你会看到： 两个相差半个波长的间隙，可以给出完全相同的图像。
03
场景 3：Fizeau 光学平晶检测
选择平晶凹坑，加大深度，看条纹弯曲。再把倾角归零，体会单张图为什么丢掉正负号。四步反演仍能恢复标定后的截线。
你会看到： 去掉基准间隙后，曲率还在；平面劈尖在减去标定平面后就消失了。