光学 031 · 成像、仪器与视觉系统

望远镜设计 Lab

口径、光路结构与中央遮挡怎样决定望远镜能分辨什么？ 口径决定衍射极限：口径加倍，能分辨的最小角度减半。光路布局决定焦距，以及光在几面镜子之间实际怎么走。中央遮挡，比如副镜，会把光从中心亮斑挪到外圈的衍射环里。中心亮斑变小了，对比度不一定就更好。

比较四种望远镜结构：精确计算不透光镜面的反射，Cassegrain 主镜开有中心孔，环形光瞳产生衍射，并在固定视场中对照观察一对双星。

角倍率与瞳直径

M_\theta, D_{\mathrm{exit}}

$0.50$

无遮挡参考与双星分离

\theta_{R,0}, \Delta\theta

$50\%$

通光集光面积与遮挡

A_{\mathrm{clear}}, \epsilon

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型采用轴上的理想几何和单色标量衍射。不模拟视宁度、支架造成的衍射尖峰、实际目镜的视场、离轴像差和镀膜损耗。

先抓重点

核心问题: 口径、光路结构与中央遮挡怎样决定望远镜能分辨什么？
一句话直觉: 中央遮挡把一部分光从中心亮斑移到衍射环里，分布为 $I(q)=\left[\frac{2[J_1(q)-\epsilon J_1(\epsilon q)]}{q(1-\epsilon^2)}\right]^2$ 。中心亮斑变小，并不能单独说明对比度更好；外围的光环和损失的集光面积同样要算进去。

M_\theta=-\frac{f_o}{f_e},\qquad D_{\mathrm{exit}}=\frac{D}{|M_\theta|}

目镜焦距带正负号：Galilean 为负，Keplerian 为正。瞳直径公式是近轴近似，Galilean 的出瞳是虚的。缩短目镜焦距会让像看起来更大，但不会让天空角度上的衍射 PSF 变窄。

\theta_{R,0}=1.22\frac{\lambda}{D},\qquad A_{\mathrm{clear}}=\frac{\pi D^2}{4}(1-\epsilon^2)

Rayleigh 数值只是无遮挡圆瞳的参考。对环形瞳，要看计算出来的双星像，不能把这个数当成真实的分辨阈值。通光面积扣掉了副镜的投影，但没算镀膜和支架造成的损失。

\hat{\mathbf k}_{\mathrm{out}}=\hat{\mathbf k}_{\mathrm{in}}-2(\hat{\mathbf k}_{\mathrm{in}}\cdot\hat{\mathbf n})\hat{\mathbf n}

每段反射光都从画出的镜面上某一点出发，用该点算出的法线反射。Newtonian 用一块不透光的倾斜平面镜把会聚光束折转；Cassegrain 让光从主镜的开孔穿回去。两张镜面都没有光透过去。

x_p=p-\frac{r^2}{4f_1},\qquad x_s=c-a\sqrt{1+\frac{r^2}{b^2}},\qquad f_{\mathrm{eff}}=f_1\frac{F_2-v_s}{v_s-F_1}

双曲面的一个焦点与主镜焦点重合，另一个是后方的最终焦点。会聚向第一个焦点的光束，经双曲面反射后改为会聚向第二个焦点。在这一族设计里，改变副镜遮挡会移动副镜顶点，所以有效焦距和衍射都会跟着变。

容易误解更短目镜或更大的中央遮挡总能分开更近的双星。

正确理解目镜只改变角尺度。遮挡会把能量推到衍射环里，透过的光也更少。比较时要用同样的天空视场、同样的口径，看线性强度剖面；像卡显示的是亮度的平方根，而且各自按峰值归一化。

01
场景 1：无焦折射式
选择折射式预设，再把结构设为零（Galilean）或一（Keplerian）。看光线在目镜之前有没有交叉，比较角倍率的正负。
你会看到： 只有 Keplerian 在物镜和目镜之间形成实的中间焦点；Galilean 目镜在焦点出现之前就截住了光束。
02
场景 2：Newtonian 反射式
打开 Newtonian，绕着台面转动视角。青色光线射向主镜，金色光线射向倾斜副镜，绿色光线穿过侧置目镜。粉色光线被挡住，止于副镜。
你会看到： 遮挡不变时，口径加倍，角分辨尺度减半，集光面积变成四倍。
03
场景 3：共焦 Cassegrain
打开 Cassegrain，改变遮挡、口径和双星间距。检查镜面和开孔是否始终和折叠光路对得上，再把实际像和同口径无遮挡的参考像比较。
你会看到： 每经过一面不透光的镜子，光束沿轴的传播方向就反过来一次。光通过开孔到达 Cassegrain 的后焦点，从不画成穿过实心镜面。