光学 071 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

自适应光学天文台

Shack–Hartmann 实测光斑驱动可见变形反射镜；对比平镜与校正星像、模式拟合、延迟、光子噪声及行程。

精确峰值 Strehl · 平镜／校正

S_{\rm flat},S_{\rm AO}

$0.50$

去活塞 OPD 均方根

\sigma_{\rm flat},\sigma_{\rm AO}

$50\%$

控制时钟／法向镜面起伏

t,|s|_{\max}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

已验证科学装置

自适应光学天文台

起始去活塞 OPD 均方根

\sigma_{W,0}

0.30\lambda

细纹混合比例（非 Kolmogorov）

b

0.12

合成相位变化速率

f_{\rm synth}

0\mathrm{Hz}

可校正模式数（不是驱动器数）

M

10

积分器增益

g

0.60

附加整帧延迟

d

0

采样节点法向镜面行程

s_{\max}

0.80\mu\mathrm m

假定／真实斜率响应

a_G

1

每完整微透镜的期望电子

N_\gamma

1000\mathrm e^{-}

零为期望，一为 Poisson 采集

n

0

零为平镜，一为测量闭环

j_{\rm loop}

1

起始控制帧（播放再推进）

k_0

12

不可测的整体活塞 OPD

p_0

0\lambda

模糊恒星能变回衍射亮核，但镜面必须靠测量做到。看反射曲面弯曲，检查微透镜采集光斑，再对比同一入射波的平镜像与闭环像。暂停后拖动控制历史。加入延迟、光子噪声或错误标定：校正会滞后、饱和，甚至更坏。传感重建不读取答案相位。

合成相位，不是 Kolmogorov 预测。Gaussian 微透镜光斑替代模型与理想连续模态镜。瞬时标量 PSF；活塞不可测。

先抓重点

核心问题: 测得的波前斜率怎样驱动镜面，实时锐化被湍流破坏的恒星像？
一句话直觉: 整体活塞改变光相位，却不改变任何斜率： $\nabla(W+p)=\nabla W$ 。加入活塞，对比光斑与归一星像。传感器无法恢复此常数，误差只计算去活塞均方根。

核心数学模型

从电子到斜率

\begin{aligned}\bar x_j&=\frac{\sum_i x_i D_{ji}}{\sum_i D_{ji}}\\\Delta x_j&=f_\ell\frac{\lambda}{R}\langle\partial_u w\rangle_j\end{aligned}

波前以波数计；归一瞳坐标是横向距离除瞳半径。像素二微米，微透镜焦距二毫米。采用像素积分 Gaussian 光斑替代及可选 Poisson 计数，不偷偷消除有限窗口质心偏置。

只重建测量数据

\widehat{\mathbf a}=(G^TG+\epsilon I)^{-1}G^T\mathbf s

标定微透镜平均模态梯度，固定很小岭罚项。暗单元被略去，不由真值替代。模式依序包含倾斜、离焦、像散、彗差、三叶与球差形状；没有活塞列。

因果闭环与反射镜起伏

\begin{aligned}\mathbf c_{k+1}&=\mathbf c_k+g\widehat{\mathbf a}_{k-d}\\w_{\rm res}&=w_{\rm in}-\sum_m c_m Z_m\\s&=\frac{\lambda\sum_m c_m Z_m}{2\cos45^\circ}\end{aligned}

法向正起伏朝入射光，减小光程。每次更新相隔一次十毫秒采样；附加延迟按整帧。行程在采样瞳节点上整体缩放命令。是理想准静态连续镜，不是独立驱动器模型。

先算星像，再算 Strehl

\begin{aligned}I&=\frac{|\mathcal F\{A e^{2\pi i w_{\rm res}}\}|^2}{\sum |\mathcal F\{A e^{2\pi i w_{\rm res}}\}|^2}\\S&=\frac{\max I}{\max I_{\rm ideal}}\\S_{\rm M,axis}&\approx e^{-(2\pi\sigma_w)^2}\end{aligned}

采样角度格点的峰值比，不是只取轴上值。活塞不改变像或去活塞 RMS。Marechal 在小误差时近似名义轴上强度；倾斜导致星点移位时，不能保证它近似峰值 Strehl。

常见难点

增益更大总能锐化星像？

容易误解提高增益、增加模式，就能得到完美恒星。

正确理解有限模式不能拟合所有细纹。延迟反馈会振荡，暗光斑扰乱质心，行程会饱和。精确峰值 Strehl 来自校正瞳，不是增益经验规律。

动手实验

01
场景 1：测量驱动镜面校正
查看实体变形镜和波前传感器正面。暂停播放，在同一帧比较平镜与闭环。
应该观察到： 不透明变形镜折转光束，光不继续穿到背后。分束器连接独立实体科学相机和波前传感器。
02
场景 2：相位运动与延迟
从初始平镜拖到前几次更新。校正只使用更早的采集光斑记录。
应该观察到： 平镜和 AO 星像使用同一入射相位、瞳孔、归一与固定色标。它们是瞬时期望，不是时间平均观测。
03
场景 3：细纹与光子噪声
试运动相位和延迟、低光子数、有限模式与小行程。加入活塞检验不可观测模式。
应该观察到： 模态残差小不代表测到了每个相位细节。活塞、高阶拟合误差、光斑窗口截断与延迟均保留。