光学 071 · 衍射、Fourier 光学与计算成像

自适应光学天文台

测得的波前斜率怎样驱动镜面，实时锐化被湍流破坏的恒星像？ 重建器把测得的斜率换算成变形镜的指令，快速闭环不停地把波前压平，跟上湍流的变化。斜率来自 Shack-Hartmann 传感器：一排小透镜把光分成许多光斑，每个光斑的偏移正比于那里的波前斜率。回路延迟、光子噪声和镜面行程都会限制校正；有些形状传感器根本看不见，比如整个波前一起前后平移。

Shack–Hartmann 传感器测得的光斑驱动变形镜，镜面弯曲看得见。比较平面镜和校正后的星像，并研究模式拟合、延迟、光子噪声和镜面行程。

精确峰值 Strehl · 平镜／校正

S_{\rm flat},S_{\rm AO}

$0.50$

去活塞 OPD 均方根

\sigma_{\rm flat},\sigma_{\rm AO}

$50\%$

控制时钟／法向镜面起伏

t,|s|_{\max}

$0.00\pi$

模型适用区间 $\text{模型适用}$

模型已对照解析结果检验

自适应光学天文台

起始去活塞 OPD 均方根

\sigma_{W,0}

0.30\lambda

细纹混合比例（非 Kolmogorov）

b

0.12

合成相位变化速率

f_{\rm synth}

0\mathrm{Hz}

可校正模式数（不是驱动器数）

M

10

积分器增益

g

0.60

附加整帧延迟

d

0

采样节点处镜面的法向行程

s_{\max}

0.80\mu\mathrm m

假定／真实斜率响应

a_G

1

每个完整微透镜的期望电子数

N_\gamma

1000\mathrm e^{-}

零为期望，一为 Poisson 采集

n

0

零为平镜，一为测量闭环

j_{\rm loop}

1

起始控制帧（播放时继续推进）

k_0

12

不可测的整体活塞 OPD

p_0

0\lambda

模糊的星像可以重新收成衍射亮核，但镜面只能靠测量做到这一点。看反射镜面怎样弯曲，查看微透镜测得的光斑，再比较同一入射波经过平面镜和经过闭环校正后的像。暂停后可以拖动查看控制历史。加入延迟、光子噪声或错误标定，校正就可能滞后、饱和，甚至更糟。校正只根据测得的光斑计算。

像差相位是合成的，不是 Kolmogorov 湍流模型。微透镜光斑用高斯形状近似，变形镜是理想的连续模态镜。PSF 是瞬时的标量结果，活塞项测不到。

物理教程

检验自适应光学天文台的物理过程

背景每个微透镜只看中继光瞳的一小块，把这一块上光程的平均斜率变成焦点的横向位移： $\Delta x=f_{\ell}\langle\partial_x W\rangle$ 。实验先记录像素，再求每个光斑的质心，然后解出镜面能校正的各个模态系数。真实相位只当作答案，不算测量。

为什么值得理解测得的波前斜率怎样驱动镜面，实时锐化被湍流破坏的恒星像？

先抓重点

核心问题: 测得的波前斜率怎样驱动镜面，实时锐化被湍流破坏的恒星像？
一句话直觉: 整个波前加上同一个相位（称为活塞项），任何斜率都不会变： $\nabla(W+p)=\nabla W$ 。加入活塞，对比光斑和归一化星像。传感器测不出这个常数，所以误差只按去掉活塞后的均方根计算。

核心数学模型

从光电子到斜率

\begin{aligned}\bar x_j&=\frac{\sum_i x_i D_{ji}}{\sum_i D_{ji}}\\\Delta x_j&=f_\ell\frac{\lambda}{R}\langle\partial_u w\rangle_j\end{aligned}

波前以波长为单位。归一化光瞳坐标等于横向距离除以光瞳半径。像素宽二微米，微透镜焦距二毫米。光斑用 Gaussian 形状近似，按像素积分，可选加入 Poisson 计数。有限窗口带来的质心偏差会保留下来，不会被悄悄去掉。

由测得的斜率重建模态

\widehat{\mathbf a}=(G^TG+\epsilon I)^{-1}G^T\mathbf s

矩阵里是标定好的各模态梯度，按每个微透镜单元取平均，另加一个固定的很小岭项。暗单元直接略去，不拿真值补上。模态依次为倾斜、离焦、像散、彗差、三叶和球差形状，没有活塞列。

只用过去数据的闭环更新与镜面起伏

\begin{aligned}\mathbf c_{k+1}&=\mathbf c_k+g\widehat{\mathbf a}_{k-d}\\w_{\rm res}&=w_{\rm in}-\sum_m c_m Z_m\\s&=\frac{\lambda\sum_m c_m Z_m}{2\cos45^\circ}\end{aligned}

法向起伏取朝向入射光为正，正起伏让光程变短。每次更新跟在一次十毫秒采样之后，附加延迟按整帧计。行程在采样光瞳点上把所有模态指令按同一比例缩放。镜面是理想的准静态连续镜，不模拟单个驱动器。

由残余相位算星像和 Strehl 比

\begin{aligned}I&=\frac{|\mathcal F\{A e^{2\pi i w_{\rm res}}\}|^2}{\sum |\mathcal F\{A e^{2\pi i w_{\rm res}}\}|^2}\\S&=\frac{\max I}{\max I_{\rm ideal}}\\S_{\rm M,axis}&\approx e^{-(2\pi\sigma_w)^2}\end{aligned}

这里的 Strehl 比取整个采样角度网格上的峰值之比，不只看轴上。活塞既不改变像，也不改变去活塞后的均方根。误差小时，Marechal 值近似名义轴上强度；倾斜让星点移开时，它就不一定接近峰值 Strehl 比了。

常见难点

增益越大，星像总会越锐吗？

容易误解把增益调高、模式加多，星像就能完美。

正确理解模式数有限，拟合不了所有细纹。反馈来得晚会振荡，光斑太暗质心就不准，镜面行程也会用尽。峰值 Strehl 比由校正后的光瞳精确算出，不靠按增益估算的经验规律。

动手实验

01
场景 1：测量驱动镜面校正
先看变形镜本身，再看波前传感器正面。暂停播放，在同一帧比较平镜和闭环。
你会看到： 变形镜不透光，把光束折转，镜后没有光。分束器把光分给两台独立的设备：科学相机和波前传感器。
02
场景 2：相位运动与延迟
从一开始的平镜拖到前几次更新。每次校正只用之前已经采到的光斑图。
你会看到： 平镜星像和 AO 星像用同一个入射相位、同一个光瞳、同样的归一化和固定色标。两者都是某一瞬间的期望像，不是时间平均的观测。
03
场景 3：细纹与光子噪声
试试运动相位加延迟、低光子数、少量模式和小行程。再加入活塞，检验传感器看不见的模式。
你会看到： 模态残差小，不代表每个相位细节都测到了。活塞、高阶拟合误差、光斑窗口截断和延迟都保留在结果里。