恒星熄火后，热还藏在哪里

先选一份能量，再问它能用多久

取一团质量固定的致密碳物质。先让体积、成分都不变，内部温度也处处相同。这样就暂时排除了收缩做功和成分变化，再把核加热与中微子损失设为零。剩下的问题很直接：内部热能减少多少，向外的光就带走多少。

用 $U(T)$ 表示热能，单位为尔格；温度 $T$ 用开尔文，向外光度 $L$ 用尔格每秒。一尔格等于千万分之一焦耳。热容 $C=dU/dT$ 则表示，让这团固定物质升高一开尔文，需要多加多少能量。

光度取向外为正，它会让内部能量减少。热容为正，温度就应下降。这个符号可以帮我们检查结果：一团没有额外供热的物质若越发光越升温，方程里一定还缺了一份能量。若所考察的温区内，热容和光度都近似恒定，时间便等于要失去的热除以向外的功率。

\frac{dU}{dt}=C\frac{dT}{dt}=-L,\qquad\Delta t=\frac{C(T_i-T_f)}{L}

起始温度

T_i

高于末温

T_f

。右式还用了这一段时间里热容与光度恒定的假设。

来源：Mestel 1952, On the theory of white dwarf stars, MNRAS112583–597, thermal §§2–4 · Bauer 2023, Carbon-Oxygen Phase Separation in MESA White Dwarf Models, arXiv2303.10110v2, Eq1–8 and §§2–5

电子提供支撑，不代表所有电子都容易被加热

说电子“简并”，是说低能量的量子状态已经挤满了电子。继续压缩，会迫使它们占据动量更高的状态，即使热学温度很低，仍会产生压力。白矮星慢慢变凉，这份抵抗压缩的支撑可以继续存在。

加热这种电子时，主要能改变的是已占据与未占据状态分界附近的电子。不能把每个电子都当成稀薄气体里自由受热的粒子。它们的热容可能比经典气体估算小得多；在强简并极限下，热容会随温度下降。

离子承担的是另一份热库。运动与相互作用都能储存热能，电子则承担大部分支撑，并帮助核心传热。到了较冷阶段，固体振动的量子效应让离子热容下降，电子那一项相对就可能重要起来。究竟谁存的热更多，要由温度和密度来判断。

来源：Mestel 1952, On the theory of white dwarf stars, MNRAS112583–597, thermal §§2–4 · Bauer 2023, Carbon-Oxygen Phase Separation in MESA White Dwarf Models, arXiv2303.10110v2, Eq1–8 and §§2–5 · MIST white dwarf models, arXiv2509.21717v1, cooling clocks, surface boundary and model comparisons

数出离子之后，还得说明热容取哪种模型

设总质量为 $M$ ，每个原子核的质量数为 $A$ ，原子质量单位为 $m_u$ ，用克表示。把总质量除以一个核的质量，就得到离子数。纯碳的质量数取十二。

热容还需要另一层物理假设。稀薄单原子气体有三个平动自由度，热容是离子数乘玻尔兹曼常数，再乘一点五。在经典谐振固体里，动能和势能都能储热，高温极限下得到三倍。这两个数描述不同状态，不能随手交换。

受控核心计算把三倍这一数值用于液态显热支路，冻结后再用Debye固体热容。这是明确给定的液态近似，没有声称从强相互作用等离子体完整推出来。详细的恒星物态方程，会用更完整的物质模型计算热学响应。

N_i=\frac{M}{A m_u},\qquad C_{\rm gas}=\frac32N_i k_B,\qquad C_{\rm classical\ solid}=3N_i k_B

离子数记为

N_i

，玻尔兹曼常数

k_B=1.380649\times10^{-16}\,\mathrm{erg\,K^{-1}}

。固体表达式适用于高温谐振极限，换到其他等离子体状态，还要重新选热容。

来源：Mestel 1952, On the theory of white dwarf stars, MNRAS112583–597, thermal §§2–4 · Bauer 2023, Carbon-Oxygen Phase Separation in MESA White Dwarf Models, arXiv2303.10110v2, Eq1–8 and §§2–5 · MESA 22.11.1 fixed const_def.f90, matching original source units

把一份指定的热换成时间

算一团假想纯碳热库，质量取 $0.6M_\odot$ ，指定热容 $C=3N_i k_B$ ，光度恒定为 $10^{-3}L_\odot$ 。让它不经过相变，降温一百万开尔文。这里是在解一个指定条件的题目，还没有给真实白矮星定年龄。

采用已声明的MESA单位： $M_\odot=1.988409870698051\times10^{33}\,\mathrm g$ ， $L_\odot=3.828\times10^{33}\,\mathrm{erg\,s^{-1}}$ ， $m_u=1/(6.02214076\times10^{23})\,\mathrm g$ 。离子数约为 $5.99\times10^{55}$ ，指定热容约为 $2.48\times10^{40}\,\mathrm{erg\,K^{-1}}$ 。

热容乘温度降幅，需要带走 $2.48\times10^{46}\,\mathrm{erg}$ 。再除以 $3.828\times10^{30}\,\mathrm{erg\,s^{-1}}$ ，最后把秒换成年，得到约 $2.05\times10^8\,\mathrm{yr}$ ，也就是二点〇五亿年。量纲正好约成时间；末温更低，算出的时间为正。

若只把题目中指定的光度加倍，时间就减半。若把质量加倍，指定热库确实会翻倍，但真实白矮星的冷却年龄不一定翻倍：质量还会改变密度、半径和光度。这个小题教我们先固定模型的其他量，再把能量换成时间。

\Delta t=\frac{(2.48\times10^{40}\,\mathrm{erg\,K^{-1}})(10^6\,\mathrm K)}{3.828\times10^{30}\,\mathrm{erg\,s^{-1}}}\simeq2.05\times10^8\,\mathrm{yr}

compute_textbook_examples.py独立算出这个取整结果，采用固定热库与恒定光度，不把它当作原生恒星年龄。

来源：MESA 22.11.1 fixed const_def.f90, matching original source units · Mestel 1952, On the theory of white dwarf stars, MNRAS112583–597, thermal §§2–4

还需要把核心连到表面的光

白矮星并不是一块直接暴露、光度随意指定的热物体。热穿过外层，才能进入太空。表面大气把有效温度、重力与向外辐射联系起来，更深的包层再把表面连到高温内部。

表面有效温度 $T_{\rm eff}$ 由总辐射通量定义。半径取 $R$ ，斯忒藩—玻尔兹曼常数取 $\sigma$ ，便有下面的光度关系。这个定义没有要求光谱是完美黑体，更没有说核心温度等于表面温度。

下一章会推导一个受控的辐射包层关系，再把冻结加进去。完整白矮星计算则要把结构、物态方程和合适的大气边界联立起来。下图保留了受控模型里非常长的时钟，因为热量收支一致，还不足以把它校准成真实恒星年龄。

L=4\pi R^2\sigma T_{\rm eff}^4

有效温度描述表面的能流；近似均匀的核心温度

T_c

位于另一个物理位置。

四个固定密度几何上的受控纯碳核心固相占比，分别随模型时间和核心温度变化 — 四个固定来源密度结构上的受控纯碳计算。左图的未校准模型时间很长，不能当作恒星年龄；右图沿给定核心温度画固相占比。纵轴按所选核心的质量定义，不能看成固体半径占比。

来源：Mestel 1952, On the theory of white dwarf stars, MNRAS112583–597, thermal §§2–4 · MIST white dwarf models, arXiv2509.21717v1, cooling clocks, surface boundary and model comparisons · Bauer 2023, fixed MESA inputs and starting models, Zenodo 7846751, CC BY 4.0