怎样从亮度推回冷却年龄

先说明正在问哪一只钟

前身恒星的总年龄、进入白矮星阶段后的已逝冷却时间，以及受控热学试验重新从零起算的时间，是不同坐标。没有对齐起点，就把它们相加减，得不到物理年龄。先把要问的时钟写出来。

用假设 $H$ 指定一条原生质量、前身组成、大气和演化计算。在这组固定条件下， $t$ 表示以年计的已逝冷却时间，不插值质量或金属丰度。换一种大气或质量，就是另一组条件，应保留各自的年龄结果。

光度平台尤其能说明这个区别。好几个时刻可能几乎一样亮，测量很精确，年龄范围仍可能很宽。供热还可能让曲线局部回头。推断要对所有有支持的时刻积分，同一亮度被多次经过时也分别计入。

来源：MIST white dwarf models, arXiv2509.21717v1, cooling clocks, surface boundary and model comparisons · Bédard, Blouin and Cheng 2024, Buoyant crystals halt the cooling of white dwarf stars, arXiv2409.04419v1, author manuscript of the Nature study, main text and Methods

把观测和模型放到同一坐标里

以Gaia测光为例，取颜色 $c=G_{\rm BP}-G_{\rm RP}$ 和绝对星等 $M_G$ 。视差 $\varpi$ 用毫角秒，在信噪比很高时，直接取视差倒数估计距离，得到下面的关系。模型大气则把原生光度、有效温度和表面重力映到同样的两个量。

误差也要写在这些坐标里。均值流量误差可以传播到星等误差，视差误差会进入绝对星等。校准、消光、大气类型判断和未分辨双星还带来其他问题，不能假设目录里的形式误差已经全包住了。

把两个残差合成向量 $\mathbf d=\mathbf y_{\rm obs}-\mathbf y_H(t)$ ，协方差矩阵 $\Sigma$ 则包含各自方差与相关性。下面的二次残差没有量纲。教学例题明确取对角协方差，不另加一个可调散布来掩盖不合适的物理假设。

M_G=G+5\log_{10}(\varpi_{\rm mas})-10,\qquad\chi^2(t)=\mathbf d^{\mathsf T}\Sigma^{-1}\mathbf d

距离近似只用于视差高信噪比的情形，残差向量的两个分量都用星等。

\mathcal L(\mathbf y_{\rm obs}\mid t,H)\propto\exp[-\chi^2(t)/2]

给定协方差后，高斯似然比较模型预报与观测测光；它没有校准模型本身的遗漏。

来源：MIST white dwarf models, arXiv2509.21717v1, cooling clocks, surface boundary and model comparisons · Bauer and Dotter, MIST white dwarf grid v1, Zenodo 15242047, CC BY 4.0 · Gaia DR3 archive data model, gaia_source fields

时间先验不是输出行数

贝叶斯公式把似然与先验 $\pi(t\mid H)$ 相乘。先在明确、有限且有模型支持的区间 $[t_a,t_b]$ 取均匀时间先验，它的密度单位是每年。再对时间积分，把后验归一化。

恒星程序不会等间隔输出。哪里变化快，它往往就把时间步切得更小。若每一行分同样概率，程序怎样选步长，就悄悄变成了年龄先验。即使只是把某一段无害地加密，推断结果也会变。

假设观测没有提供多少信息，而先验在零到十亿年之间均匀，年龄中位数就该是五亿年。文件开头恰好行数很多，并没有提供“星更年轻”的证据。积分权重应代表走过的时间。

就连均匀的对数年龄网格，也要带上变量变换因子： $dt=(\ln10)t\,d\log_{10}t$ 。同样宽的对数格，对均匀时间先验并不拥有同样概率。有限区间里的均匀对数年龄先验也可以定义，但它问的是另一件事，必须写明。

p(t\mid\mathbf y,H)=\frac{\mathcal L(\mathbf y\mid t,H)\pi(t\mid H)}{\int_{t_a}^{t_b}\mathcal L(\mathbf y\mid t',H)\pi(t'\mid H)\,dt'},\qquad\pi(t\mid H)=\frac1{t_b-t_a}

有支持区间之外，先验为零。这份教学先验规定给定模型下的时间权重；银河恒星形成历史还需要另外的观测证据。

来源：MIST white dwarf models, arXiv2509.21717v1, cooling clocks, surface boundary and model comparisons · Bauer and Dotter, MIST white dwarf grid v1, Zenodo 15242047, CC BY 4.0

先解一道知道真值的合成例题

在 $0\leq t\leq1\,\mathrm{Gyr}$ 上指定一条假想直线轨迹：颜色等于以十亿年计的年龄，绝对星等的变化率是它两倍。观测颜色取 $0.4$ 、绝对星等取 $12.8$ ，独立标准差分别指定为 $0.1$ 与 $0.2$ 星等。不加随机噪声，这份理想测光对应一个已知时刻。

令 $u=t/(1\,\mathrm{Gyr})$ ，两个残差合成一个中心在 $u=0.4$ 、标准差为 $0.1/\sqrt2$ 的高斯形状，再由适当先验截到有支持区间内。十六至八十四百分位区间约为 $[0.330,0.470]\,\mathrm{Gyr}$ ，中位数为 $0.400\,\mathrm{Gyr}$ 。

这些是后验分位数，描述的是给定直线、误差与先验后的概率。它没有证明这条直线就是正确的白矮星模型，也没有证明重复测量时的覆盖率。原生模型留出状态可以检验插值，物理假设则需要独立恒星证据。

c_H(u)=u,\qquad M_{G,H}(u)=12+2u,\qquad\chi^2(u)=2\left(\frac{u-0.4}{0.1}\right)^2

compute_textbook_examples.py使用这条明确的合成直线，不含Gaia源行或目录拟合年龄。

来源：Bauer and Dotter, MIST white dwarf grid v1, Zenodo 15242047, CC BY 4.0 · Sandbox Physics, standalone white-dwarf scientific reference, original model inputs and independent tests

沿每段时间积分，不把希望押在几个节点上

在相邻两个原生时刻之间，用分数时间 $u\in[0,1]$ 线性插值两维模型测光。记 $\Delta\mathbf y=\mathbf y_{i+1}-\mathbf y_i$ 、 $\mathbf d=\mathbf y_{\rm obs}-\mathbf y_i$ 。代入似然后，指数里的残差成为 $u$ 的二次式。

定义 $a=\Delta\mathbf y^{\mathsf T}\Sigma^{-1}\Delta\mathbf y$ 、 $b=\mathbf d^{\mathsf T}\Sigma^{-1}\Delta\mathbf y$ 和 $c_0=\mathbf d^{\mathsf T}\Sigma^{-1}\mathbf d$ 。配方后，时间积分变成截断正态积分，前面的系数包含这一段真实长度 $\Delta t_i$ 。

下式适用于 $a>0$ 。若两维测光在整段里都完全不变，需要单独处理常似然；固定轨迹参考会拒绝这个尚未支持的扩展，而给定的原生轨迹没有这种单元。尾部用稳定的对数累积分布差，分位数则在落入的时间段里反解累积概率。

参考程序一边与独立自适应积分比较，一边把同一条直线轨迹重新分格。增加不均匀的输出行后，后验和相对证据应保持不变。这两项检查针对数值积分，还没有检验恒星演化物理。

\chi^2(u)=a u^2-2bu+c_0,\qquad\mu=\frac ba

这里的mu是分数时间坐标中的中心，不是上一章包层的平均粒子质量。

\begin{aligned}I_i&=\int_{t_i}^{t_{i+1}}e^{-\chi^2(t)/2}\,dt\\&=\Delta t_i\sqrt{\frac{2\pi}{a}}\,e^{-(c_0-b^2/a)/2}\\&\quad\times\left[\Phi\!\left(\sqrt a(1-\mu)\right)-\Phi\!\left(-\sqrt a\,\mu\right)\right].\end{aligned}

Phi是标准正态分布的累积概率。将各时间段积分相加，再带上指定先验，得到后验归一化。

来源：Bauer and Dotter, MIST white dwarf grid v1, Zenodo 15242047, CC BY 4.0 · Sandbox Physics, standalone white-dwarf scientific reference, original model inputs and independent tests

归一化了，答案仍可能错

保留这条合成直线，改在 $0.510\,\mathrm{Gyr}$ 处指定精确测光，再把给定误差缩小到颜色 $0.001$ 星等、绝对星等 $0.002$ 星等。似然现在很窄，正好落在稀疏求积节点之间。

保留的失败方法用四个或八个Gauss节点近似后验概率，再插值累积权重。两个版本都说概率总和为一，却都把中位数放在五亿年，偏离已知真值，区间也宽得不合理。连续模型本来能精确命中测光，只搜节点却连这次命中也漏掉了。

分段精确积分能找回已知中心与窄区间。错误来自计算，修法就应是更好的积分和累积分布。编一份模型噪声，只会改变原来的科学问题。

数值方法通过后，真实候选仍可能与某条质量或大气假设很不相符。保留这份失败。不同模型族继续使用各自的时钟起点，比较条件年龄分布时，不能把其中一条改叫整个观测总体的已校准年龄。

方法	中位数	中央百分之六十八区间
四节点	$0.500\,\mathrm{Gyr}$	$[0.384,0.616]\,\mathrm{Gyr}$
八节点	$0.500\,\mathrm{Gyr}$	$[0.438,0.562]\,\mathrm{Gyr}$
分段精确积分	$0.510\,\mathrm{Gyr}$	$[0.509297,0.510703]\,\mathrm{Gyr}$

精确合成年龄似然与错误的四节点、八节点年龄区间 — 已知合成时刻为五点一亿年，测光误差明确给定，不另加随机噪声。精确似然很窄；稀疏节点累计方法虽然归一化到一，仍给出偏移中位数和过宽区间。所有量都从假想直线轨迹重算。

来源：Sandbox Physics, standalone white-dwarf scientific reference, original model inputs and independent tests · Bédard, Blouin and Cheng 2024, Buoyant crystals halt the cooling of white dwarf stars, arXiv2409.04419v1, author manuscript of the Nature study, main text and Methods