结晶怎样拖慢白矮星冷却

每个球壳都有自己的结晶温度

半径 $r$ 从中心向外增大，第 $i$ 个球壳有质量 $\Delta m_i$ 和固定密度 $\rho_i$ 。受控物质取纯碳，电荷数 $Z=6$ 、质量数 $A=12$ 。我们借用来源结构的密度几何，没有继续演化原来的碳氧混合物。

离子数密度 $n_i$ 决定了一个代表粒子间距的长度 $a_i$ 。把这个间距上的库仑相互作用能除以热能，得到无量纲耦合参数 $\Gamma_i$ 。这里用高斯单位，电荷 $e$ 的写法不带国际单位制中的真空介电常数因子。

单组分等离子体练习指定在 $\Gamma_m=175$ 结晶，结晶温度便随密度的立方根增加。近似等温地降温时，中心较密的球壳先冻结。碳氧混合物有自己的成分相关相图，不能把这个固定门槛直接套过去。

n_i=\frac{\rho_i}{A m_u},\qquad a_i=\left(\frac3{4\pi n_i}\right)^{1/3},\qquad\Gamma_i=\frac{Z^2e^2}{a_i k_BT}

粒子间距带长度单位，库仑能除以热能后没有量纲。

T_{m,i}=\frac{Z^2e^2}{175a_i k_B}\propto\rho_i^{1/3}

这个门槛属于给定的纯碳单组分近似；详细碳氧分离还需要混合物相图。

来源：Bauer 2023, Carbon-Oxygen Phase Separation in MESA White Dwarf Models, arXiv2303.10110v2, Eq1–8 and §§2–5 · Bauer 2023, fixed MESA inputs and starting models, Zenodo 7846751, CC BY 4.0

温度不降，也能放出一份热

大写 $N_i=\Delta m_i/(A m_u)$ 表示这个球壳的离子总数。给它指定近似潜热 $q_i=0.77N_i k_BT_{m,i}$ 。这个系数用于当前教学近似；具体离子混合物的精确值要由相变热力学确定。Bauer第4.1节脚注四讨论了它随成分变化的偏离。

球壳冻结时，温度停在 $T_{m,i}$ 。若指定光度只由温度决定，这一段光度也恒定。把潜热除以当时的光度，就是冻结需要的时间；冻结到几成，则由已经放出的能量占潜热的几成来决定。

沿用上一章 $0.6M_\odot$ 纯碳热库的离子数，指定熔点为 $3\times10^6\,\mathrm K$ ，这份潜热约为 $1.91\times10^{46}\,\mathrm{erg}$ 。若光度保持 $10^{-3}L_\odot$ ，释放它需要约 $1.58\times10^8\,\mathrm{yr}$ 。这是给定条件的单热库例题，不是观测测出的白矮星延迟。

\Delta t_i=\frac{q_i}{L(T_{m,i})},\qquad f_i(t)=\frac{L(T_{m,i})(t-t_{i,0})}{q_i}

潜热区间从

t_{i,0}

开始，固相比例

f_i

从零走到一。不需要人为指定一个高斯温度宽度来放热。

来源：Bauer 2023, Carbon-Oxygen Phase Separation in MESA White Dwarf Models, arXiv2303.10110v2, Eq1–8 and §§2–5

显热与潜热各放在一个位置

让 $U_{\rm sens}(T)$ 只包含显热，并把液态和固态的显热支路在熔点连续接上。还没释放的潜热留在液体里，因而与 $1-f_i$ 成正比。

这样便能做一个直接的能量检查：沿温度下降积分热容，再加上已释放潜热，比较它们与发出的光子能量。如果改用已经把潜热纳入内部能量的物态方程，就不能再把同一份显式潜热加一次。那会重复计热。

在一个密度恒定的球壳里，前沿移动要对应已经冻结的体积。半径不能随固相质量比例线性增加；半径的立方才可以，因为球体体积与半径立方成正比。

E(T,\{f_i\})=U_{\rm sens}(T)+\sum_i(1-f_i)q_i,\qquad E_\gamma=E(0)-E(t)

固定体积的受控计算没有额外的收缩、核燃烧、中微子或成分分离项。

r_f^3=r_{\rm in}^3+f_i(r_{\rm out}^3-r_{\rm in}^3)

球壳内外半径围住一个固定密度单元，用同一份潜热决定其中的部分结晶前沿。

来源：Bauer 2023, Carbon-Oxygen Phase Separation in MESA White Dwarf Models, arXiv2303.10110v2, Eq1–8 and §§2–5 · Bauer 2023, fixed MESA inputs and starting models, Zenodo 7846751, CC BY 4.0

晶体变冷，离子热容会下降

固体里的离子会集体振动。温度高时，许多振动模式都能被激发，热容趋近经典谐振结果。温度低时，只有较长波长的模式容易被激发，离子热容便会明显下降。

Debye温度 $\Theta_D$ 设定了简化振动谱的尺度。令 $x=\Theta_D/T$ ，下面的积分给出离子热容。受控模型采用 $\Theta_D=0.45\hbar\omega_p/k_B$ ，其中 $\omega_p$ 是离子集体振动的典型角频率，单位为每秒；这个振动谱仍是给定近似。

在 $T/\Theta_D=0.01$ 时，数值积分给出 $C_D/(N_i k_B)\simeq2.34\times10^{-4}$ ，与低温极限相符。这是离子一项，不是整颗星的全部热容。强简并电子还提供一个随温度成正比的项；温度足够低时，电子那一项可以超过离子。

若光度固定，热容小会让温度下降更快。真实冷却里光度也在变，因此不能只看热容，就断定一颗星会多快穿过某段观测亮度。

C_D=9N_i k_B\left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3\int_0^{\Theta_D/T}\frac{u^4e^{-u}}{(1-e^{-u})^2}\,du

积分变量

u

没有量纲，高温极限为

3N_i k_B

。

C_D\simeq\frac{12\pi^4}{5}N_i k_B\left(\frac{T}{\Theta_D}\right)^3\quad(T\ll\Theta_D),\qquad C_e=\frac{\pi^2N_e k_B^2T}{p_Fv_F}

电子表达式取强简并低温极限，

N_e

是电子数，

p_F

是费米动量，

v_F

是费米速度，两者乘积带能量单位。各项先按球壳计算，再对核心求和。

来源：Bauer 2023, Carbon-Oxygen Phase Separation in MESA White Dwarf Models, arXiv2303.10110v2, Eq1–8 and §§2–5 · Mestel 1952, On the theory of white dwarf stars, MNRAS112583–597, thermal §§2–4

先推导包层光度，再把热换成时间

为建立受控包层，假设它是很薄的辐射理想气体层，恒星质量 $M$ 固定，表面压力可忽略，不透明度取 $\kappa=\kappa_0\rho T^{-7/2}$ 。不透明度的单位是面积除以质量。静水平衡和辐射扩散给出下面的压强—温度关系。

再用理想气体压力 $P=\rho k_BT/(\mu m_u)$ ，其中 $\mu$ 是以原子质量单位计的平均粒子质量。积分后，压强平方与 $T^{17/2}/L$ 成正比。要连到近似等温的简并核心，再作一个受控匹配：非相对论费米能等于热能，于是边界密度为 $\rho_b=C_\rho T^{3/2}$ 。

消去边界压强，得到 $L=\mathcal A T_c^{7/2}$ 。系数依赖不透明度与平均粒子质量，没有用某条原生冷却曲线拟合。本模型固定 $\kappa_0=10^{24}\,\mathrm{cm^5\,g^{-2}\,K^{7/2}}$ 、 $\mu=0.6$ ，以及电子平均分子量 $\mu_e=2$ 。

这段推导给出一个内部一致的教学边界，没有解出完整恒星大气。配上四个固定密度几何，它在指定区间里给出约一千一百九十亿到四千五百四十亿年的超长时钟，仍未校准为恒星年龄。真实年龄需要把大气、不透明度、成分和结构放在一起验证。

\frac{dP}{dr}=-\frac{GM\rho}{r^2},\qquad\frac{dP}{dT}=\frac{64\pi\sigma GM}{3\kappa L}T^3

半径向外增加，压强与温度都下降。这里的sigma为斯忒藩—玻尔兹曼常数，并忽略辐射压。

P^2=\frac{256\pi\sigma GMk_B}{51\kappa_0\mu m_u L}T^{17/2},\qquad C_\rho=\frac{\mu_e m_u}{3\pi^2}\left(\frac{2m_ek_B}{\hbar^2}\right)^{3/2}

匹配关系中的电子质量为

m_e

，约化普朗克常数为

\hbar

，采用非相对论简并边界近似。

L(T_c)=\frac{256\pi\sigma GM\mu m_u}{51\kappa_0C_\rho^2 k_B}T_c^{7/2}\equiv\mathcal A T_c^{7/2}

系数的单位保证核心温度的三点五次方，可以转成光度。

来源：Mestel 1952, On the theory of white dwarf stars, MNRAS112583–597, thermal §§2–4 · MIST white dwarf models, arXiv2509.21717v1, cooling clocks, surface boundary and model comparisons · MESA 22.11.1 fixed const_def.f90, matching original source units

外层热少一些，也可能放得更久

取两个假想球壳，内壳离子数是外壳两倍。熔点分别指定为 $T_{m,1}=3\times10^6\,\mathrm K$ 与 $T_{m,2}=2\times10^6\,\mathrm K$ 。两壳使用相同的近似潜热系数，光度沿刚推导的幂律变化。

外壳离子少，释放的总潜热也少。但它在较低温度冻结，那时规定的恒星已经暗得多。要把各自的热库除以各自冻结时的光度，不能随手用同一个光度。

结果是，外壳潜热区间约为内壳的 $1.38$ 倍。热量较少，若离开的功率下降得更多，仍会花更长时间。这里只算了两份潜热，两个相变之间的显热冷却还要另加。

\frac{\Delta t_2}{\Delta t_1}=\frac{N_2}{N_1}\left(\frac{T_{m,2}}{T_{m,1}}\right)^{-5/2}=\frac12\left(\frac23\right)^{-5/2}\simeq1.38

潜热与离子数乘熔点成正比，光度随温度的三点五次方变化。例题程序独立算出这个比值。

来源：Mestel 1952, On the theory of white dwarf stars, MNRAS112583–597, thermal §§2–4 · Bauer 2023, Carbon-Oxygen Phase Separation in MESA White Dwarf Models, arXiv2303.10110v2, Eq1–8 and §§2–5

让程序回到一个能解析求解的极限

关掉潜热，把显热热容保持常数，再取 $L=\mathcal A T^{7/2}$ ，冷却方程便能直接积分。结果给出Mestel型的温度和光度幂律。数值程序在相同假设下，应趋近这个极限。

独立参考还会积分Debye热容，与内部能量差比较，检查高低温极限，以及单球壳潜热区间。这些检验确认受控计算的数值一致性；至于能否用来给恒星定年龄，超长的模型时钟已经把另一层物理问题显露出来。

T(t)=T_0(1+t/\tau)^{-2/5},\qquad L(t)=L_0(1+t/\tau)^{-7/5},\qquad\tau=\frac{2C}{5\mathcal A T_0^{5/2}}

只适用于常热容、给定幂律边界，并且没有额外供热的情形。