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Sandbox Physics
从星光读懂恒星风

恒星风 · L3

从一条谱反推风，有多少种答案

Sandbox Physics ·

一条谱可以很清楚地限定某个参数组合，却几乎分不开组合里的两个参数。这里从一份保存的合成光子观测出发，实际推断质量流量与电离乘数的乘积，再看为什么质量流量本身仍很宽。所有概率结果都依赖明确给定的几何、仪器和先验。

保存下来的是整数光子

这份练习保存256个速度箱里的整数计数、每箱宽度、连续谱光子标度和仪器响应。它是合成光子探测器的输出。IUE的ABS_CAL则是经过处理的能量流量，不能改个列名就送进这里的泊松模型。

先由风的传输算出归一化光子谱，再用固定的仪器高斯响应卷积，对每个箱积分，最后才生成计数。这样的顺序允许光子被仪器分配到相邻箱。若先加噪声再随意平滑，噪声相关性就变了。

本例把速度律指数定为一、渐近速度定为每秒二百千米、孔径定为八个恒星半径。仪器高斯标准差为每秒八千米，连续谱标度为每千米每秒1600个光子。这些量在条件推断中视为已知；仪器宽度没有被当成气体的热宽度。

λi(θ)=CN∫bin i[G∗fθ](u) duNi∼Poisson(λi)\begin{aligned}\lambda_i(\theta)&=C_N\int_{\mathrm{bin}\,i}[G*f_\theta](u)\,du\\N_i&\sim\mathrm{Poisson}(\lambda_i)\end{aligned}
fθf_\theta是风的光子谱，GG归一为一，CNC_N为每速度单位的连续谱光子数。不同箱在声明的泊松到达与独立分配假设下条件独立。

对应阅读：Standalone stellar-wind scientific reproduction

从计数写出似然

泊松分布描述给定平均到达数时，实际数到多少个光子。第ii箱的平均值为λi\lambda_i，看到NiN_i个光子的概率，就由下式给出。不同箱的条件概率相乘，得到这一份完整保存谱的似然。

计算时通常取对数，把连乘变成求和。阶乘项对参数不变，比较同一份数据的候选模型时可以消去；它仍属于原本的概率分布。大计数下，平方根计数可近似画成误差棒，真正的推断继续使用泊松式。

infer_saved_counts只接收保存计数和声明模型族的光子均值。生成真值单独保存，只有检验覆盖时才读。修改真值说明文件，不能让分析得到另一条“测量”结果。

L(θ)=∏ie−λi(θ)λi(θ)NiNi!\mathcal L(\theta)=\prod_i\frac{e^{-\lambda_i(\theta)}\lambda_i(\theta)^{N_i}}{N_i!}
Ni!N_i!是整数阶乘。连续谱、仪器和几何若也未知，就必须加入参数或校准不确定性；这里暂时固定。

对应阅读：Standalone stellar-wind scientific reproduction

两套气体可以留下完全相同的线

记质量流量乘数为m=M˙/M˙refm=\dot M/\dot M_{\rm ref}，参考线不透明度乘数为qq。qq可以包含相对电离、丰度或能级布居的变化，它不是绝对离子分数。在这组固定速度与几何下，光学厚度只通过θ=mq\theta=mq变化。

质量流量乘数为一、电离乘数为一，与质量流量减半、电离乘数加倍，会给出同一条光子谱。若连随机数序列也固定，两份保存计数甚至逐箱相同。密度确实不同，只是这条线没有单独测到它。

辐射力诊断也不能被随手当作破除退化的观测。当前速度场由我们规定，单线力远不足以支持它，其他辐射与物理过程又没有加入。只有在相应动力学和额外观测都有依据时，才能把它们作为新信息。

对应阅读：Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method · Standalone stellar-wind scientific reproduction

二维先验换坐标后不再平坦

给mm和qq各自选独立的LogUniform先验，范围都是0.5至2。它表示对数坐标里等长区间有相同先验概率。令x=ln⁡mx=\ln m、y=ln⁡qy=\ln q，两者都在[−a,a][-a,a]上均匀，其中a=ln⁡2a=\ln2。

回到线性坐标时，要乘换元的Jacobian，得到下方的二维密度。忽略分母里的两个参数，就换成了另一个先验。

再令s=x+y=ln⁡θs=x+y=\ln\theta。某个ss可以由多少对x,yx,y组成，取决于正方形里相应斜线段的长度：中间最多，两端最少。这个长度给出三角形的对数乘积先验，线性乘积密度还要再除以θ\theta。

似然乘这个声明先验，再归一化，才得到后验。质量流量的边缘分布要把所有可能的qq积分掉；把qq强行定为一，回答的是另一道条件问题。

p(m,q)=14a2mq0.5≤m,q≤2\begin{aligned}p(m,q)&=\frac{1}{4a^2mq}\\0.5&\le m,q\le2\end{aligned}
这是两个独立对数均匀分布在dm dqdm\,dq测度下的密度，积分为一。
ps(s)=2a−∣s∣4a2,∣s∣≤2apθ(θ)=ps(ln⁡θ)θ\begin{aligned}p_s(s)&=\frac{2a-|s|}{4a^2},\quad|s|\le2a\\p_\theta(\theta)&=\frac{p_s(\ln\theta)}{\theta}\end{aligned}
完整乘积支持域为0.25至4。二维先验决定了乘积的权重，先验体积沿退化带也会影响质量流量的边缘分布。
p(x∣N)∝∫x−ax+aL(es) dsp(x\mid N)\propto\int_{x-a}^{x+a}\mathcal L(e^s)\,ds
在固定xx时对均匀的yy积分。程序也直接积分二维后验，检查边缘结果与这条一维表达式一致。

对应阅读：Standalone stellar-wind scientific reproduction

完整算例中，什么真的变窄了

默认保存谱共数到872258个光子，按已知连续谱标度复算，吸收为正的速度等效宽度为约每秒14.84千米。只考虑这些泊松计数时，估计的标准差约为每秒0.584千米；连续谱和模型的不确定性尚未加入。

独立Python程序重新算传输、仪器卷积与分箱，在完整乘积范围内比较数值加密。它与更细均值的整体差异约为0.009个泊松噪声单位；1201点与2401点乘积网格给出的区间端点差，不到区间宽度的0.6%。

保存数据得到的乘积后验中位数约为0.991，中心95%区间约0.974至1.009。质量流量乘数的中心95%区间却仍为约0.518至1.914，几乎横跨原先的0.5至2范围。电离乘数的边缘分布与它相同，原因是这个似然与先验对两者交换对称。

图中的细长带表示同一乘积的许多答案。质量流量范围很宽，而且边界很大程度来自先验；它不是从谱里独立测到了一份精密质量损失率。

合成光子谱、二维乘积退化与正确换元后的后验边缘分布
上排比较保存计数与独立均值，并在对数坐标画二维后验；下排分别给乘积和质量流量在线性坐标的密度，换元因子已包含。青色叉号单列生成真值，不进入拟合。
python3 conditional_count_inference.py --measurement measurement/synthetic-photon-measurement.json --out-dir rerun

对应阅读：Standalone stellar-wind scientific reproduction

95%区间要做哪一种重复检验

中心95%可信区间，是给定数据和先验后的后验概率陈述：两端各留下2.5%。它不自动保证在每个固定真参数处，都有95%的重复观测区间盖住真值。

第一组检验先从上述二维先验抽真参数，再独立生成240份泊松观测。乘积区间覆盖232次，质量流量区间覆盖227次，另给二项计数不确定性。这检验的是声明先验下的平均覆盖。

第二组把真值固定。三种案例的质量流量、电离乘数分别为(m,q)=(1,1)(m,q)=(1,1)、(0.51,0.51)(0.51,0.51)和(1.99,0.51)(1.99,0.51)。各生成100份观测，乘积覆盖分别为94、95、95次，质量流量覆盖却为100、100、0次。原始计数和失败结果均保留。

最后一组的乘积约1.015，与第一组接近，质量流量却贴近先验上边界。光谱只限定乘积，沿退化带的质量流量主要由先验与边缘化安排。中心区间裁掉边缘后，固定的1.99可以反复落在区间之外。

一百次里覆盖零次，并不是一份极精确质量损失率偶然倒霉，也不能被删掉来宣称普遍校准。它显示的是不可辨识方向和边界处，把贝叶斯可信区间解释成逐点频率覆盖会失败。先验平均与固定真值两组结果需要一起读。

对应阅读：Standalone stellar-wind scientific reproduction

真实资料还缺哪些已知条件

真实资料里的连续谱、仪器响应、离子布居、速度律和星际吸收都可能未知，谱线也会重叠。它们改变的既有均值，也有误差与参数关联。即使把合成观测的噪声压得极小，乘积退化本身仍然存在。

IUE的能量流量和FN噪声处于不同校准层级，没有现成的独立泊松计数与完整误差向量。下一篇教程保留原生级次、质量缺口与连续谱敏感性，再用声明的孤立线条件比较轮廓。真正的质量损失研究，则还需要多种诊断和相应恒星大气模型。

对应阅读：IUE NEWSIPS manual, high-dispersion MXHI format · IUE data-analysis FAQ · Brands, Backs, de Koter et al.2025, X-Shooting ULLYSES XII

练习与解释性答案

  1. 两个独立LogUniform参数相乘，为什么乘积不能继续用平坦先验？

    展开解释

    相同乘积对应的参数对数目并不相等。对数平面正方形中的斜线长度在中间大、两端小，产生三角形对数乘积密度；再换回线性乘积还要除以乘积本身。

  2. 固定真质量流量在一百次里覆盖零次，是否说明光子均值的数值精度一定坏了？

    展开解释

    不一定。本例均值与加密参考的误差远小于泊松噪声。失败来自数据只辨识乘积，固定真质量流量又靠近先验边界；中心可信区间没有逐点95%覆盖保证。应保留这个结果与先验平均覆盖一起解释。

  3. 把电离乘数固定为一，会得到很窄的质量流量区间。它和这里的宽区间矛盾吗？

    展开解释

    不矛盾。固定电离乘数加入了额外条件，乘积便直接变成质量流量乘数；对未知电离乘数积分时，许多参数对仍能解释相同谱。两种区间回答不同问题。

动手检验预测

改变气流，跟着散射光读谱

  1. 保存默认观测，再把质量流量减半、电离乘数加倍，验证同一噪声实现下光子谱不变，而密度流点可以不同。
  2. 在共振线变饱和预设附近增加质量流量，观察哪些波段对额外物质的响应变弱。
  3. 从独立包运行计数练习，先比较二维退化带与两个边缘分布，再分别读先验平均和固定真值覆盖表。

来源与计算范围

  1. Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method

    ApJ314,726，第II至V节、式4至10与14至19。这里的局部逃逸单线与固定源函数有限宽度检验各有近似，不声称复现完整SEI或非LTE求解器。

  2. IUE NEWSIPS manual, high-dispersion MXHI format

    原生17字段二进制行、补齐至768点的向量、从一计数的STARTPIX、真空日心波长、ABS_CAL物理单位和FN噪声。

  3. IUE data-analysis FAQ

    第13至15问：定量分析排除非零质量标记，高色散宇宙线并未自动清除，曝光时长本身也不能决定噪声权重。

  4. Brands, Backs, de Koter et al.2025, X-Shooting ULLYSES XII

    固定v1；第3、5.3至5.5节，图1/4/7、表7/8。25颗大麦哲伦云O型目标得到24套参数；论文的条件总体与适应度结果属于外部研究，不是P Cygni测量。

  5. Standalone stellar-wind scientific reproduction

    原始小数据、独立传输/光子/力/有限宽度参照、197个生产检查和合成泊松练习；固定真值与先验平均覆盖分别保留。

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