一束光能带走多少动量

先给一个光子算动量

光子的静止质量为零，仍携带能量和动量。真空中，一个频率为$\nu$的光子，能量是普朗克常数乘频率；它的动量大小则等于能量除以光速。这里不能把有质量物体的低速公式直接套成“质量为零，动量也为零”。

频率与波长通过光速联系。取波长二百八十纳米，代入精确定义的普朗克常数和光速，光子能量约为$7.09\times10^{-19}\,\mathrm J$，动量约为$2.37\times10^{-27}\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$。单个脉冲极小，恒星每秒发出的光子却极多。

动量描述一次相互作用能改变多少运动，能量描述它能做多少功。吸收同样多的动量，在缓慢和快速气体上做的功也可以不同；这正是后面要分开计算它们的原因。

对应阅读：Owocki2014, Theory of Winds from Hot, Luminous Massive Stars · Standalone stellar-wind scientific reproduction

保守散射也会把动量交出去

假设一束光从恒星朝外射来。原子收到光子的入射动量，再向另一方向发出光子。气体拿到的是两者之差；若把大量近似各向同性的出射方向平均，出射反冲在原子静止系里大致相消，入射光的方向性还在。

散射保守，指我们没有在局部凭空创造或热销毁这类光子。它不要求光子在恒星参考系里保留完全相同的能量。运动中的原子可以从辐射取得机械功，出射频率随之改变。

在共动系相干散射、原子反冲能可以忽略的近似下，入射和出射的变换给出下式。辐射的能量损失等于气体速度与所得动量的点积。独立程序逐个检查随机方向的事件，能量与功的关系保持到数值舍入精度。

谱线的简化光子数计算只保留声明的多普勒近似；这项事件检查并没有把一个给定速度场变成完整辐射流体解。气体是否会达到所画速度，仍需解运动方程。

对应阅读：Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method · Owocki2014, Theory of Winds from Hot, Luminous Massive Stars

把一连串脉冲换成风的动量率

质量流量$\dot M$表示每秒穿过远方球壳的质量，单位是千克每秒。若外层风速接近$v_\infty$，它向外带走的动量率约为两者的乘积。动量除以时间就是力，所以它的单位是牛顿。

恒星光度$L$是每秒辐射的能量。把它除以光速，得到一个常用的辐射动量率标度。定义风性能数$\eta$，就能比较风带走的径向动量率与这个标度。它比较的是总量，尚未说明哪些谱线真正拦住了多少光。

做一个纯示例：取光度$3.0\times10^{31}\,\mathrm W$、质量流量$6.0\times10^{16}\,\mathrm{kg\,s^{-1}}$和终端速度$1.0\times10^6\,\mathrm{m\,s^{-1}}$。风的动量率是$6.0\times10^{22}\,\mathrm N$，光度除以光速约为$1.00\times10^{23}\,\mathrm N$，所以性能数约为0.60。

这组数用于练习数量级计算，与P Cygni的实测参数分开。它也没有证明示例星能够把足够的光耦合进气流。尤其一条谱线只截取窄频段，不能把整颗星的光度都算作这条线的可用动力。

对应阅读：Owocki2014, Theory of Winds from Hot, Luminous Massive Stars

动量够用，还要付出引力功

把一千克物质从半径$R_\star$附近带到远方，需要克服恒星引力，还要给它最终的动能。忽略起始速度、焓和其他能量来源，所需比能是引力势垒与终端比动能之和。乘上质量流量，便得到机械功率。

沿用上一个例子，再取恒星质量$5.0\times10^{31}\,\mathrm{kg}$、半径$1.5\times10^{10}\,\mathrm m$以及$G=6.6743\times10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$。每千克需要约$7.22\times10^{11}\,\mathrm{J\,kg^{-1}}$，总机械功率约为$4.33\times10^{28}\,\mathrm W$，只占示例光度的约0.144%。

动量率可以接近$L/c$，机械耗能仍只占光度很小一部分。重复相互作用还可能让风性能数超过一，能量守恒并不会立刻禁止它。完整动量守恒需要算上辐射、气体和恒星；球面各处“向外”的径向标量，也不能简单当作一个固定方向的总矢量。

质量流量再大，机械功率会逐渐吃掉可用光度。这叫光子耗能或photon tiring限制。下式给出必要的能量上限，实际风还必须获得足够的力，并满足相应动力学条件。

对应阅读：Owocki2014, Theory of Winds from Hot, Luminous Massive Stars

为什么深吸收线仍可能推不动风

把局部力写成单位质量所受的力，也就是加速度。向外为正、忽略气体压力时，给定气流既要克服向内引力，又要完成径向加速。我们可以据此计算它要求的辐射加速度。

谱线计算另取一颗示例星，采用两万开尔文连续谱、七十五太阳半径和二十五太阳质量的引力，并声明一条线的参考不透明度。来自同一角向传输的线辐射力，只达到所需力的约$4.65\times10^{-5}$至$2.42\times10^{-4}$。

这条线可以留下明显谱形，动力却远远不够。更多跃迁、离子布居、连续谱传输和其他力都可能重要。流点沿规定速度律运动，不能拿那幅动画当作这条线已成功启动恒星风的证据。

对应阅读：Owocki2014, Theory of Winds from Hot, Luminous Massive Stars · Standalone stellar-wind scientific reproduction

保存谱线时，别混淆三种量

局部保守散射保存光子数，但观测者没有收进所有光子。一些返回不透明光球，一些漏出孔径，因此收集谱中可以留下净吸收面积。返回光球后的热再辐射不在这条单线模型里追踪。

光子数、辐射能量和气体的机械功，各有自己的单位与积分。多普勒坐标里的光子等效宽度，只在指定连续谱与归一化下表达光子的去向。把真实能量流量与它比较时，还需保留波长转换和运动做功的近似。

把谱线深度、辐射力和质量流量分别算清，才能判断完整风模型的加速是否够用。

对应阅读：Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method · Standalone stellar-wind scientific reproduction