跳到主要内容
Sandbox Physics
从星光读懂恒星风

恒星风 · L2

加速气流怎样挑选共振位置

Sandbox Physics ·

一个接收频率通常只和风中某些位置共振。那些位置有相同的视线速度，连起来便是一片共振面。把共振面与星盘、遮挡和孔径放在一起，就能从规定气流逐步算出P Cygni谱。

把方向、速度和边界先定下来

让观测者位于正zz方向，气体径向向外流。rr是离星心的距离，pp是射线离中心轴的投影距离，μ=z/r\mu=z/r。收到的多普勒速度记为uu，红移取正；近侧向我们运动，所以其uu为负。

模型只计算从光球到八个恒星半径的谱线形成体积。规定一条beta速度律，指数βw\beta_{\rm w}控制加速区形状。每次改变指数时，同时调整bb，让光球外缘速度始终是渐近速度的5%。这个起始条件没有被滑块悄悄改掉。

以βw=1\beta_{\rm w}=1、渐近速度每秒二百千米为例，八个恒星半径处只有每秒176.25千米。有限体积的最大速度与无穷远渐近速度不同，谱里的蓝边还会受线宽、离子分布和观测处理影响。

u=−μv(r)v(r)=v∞(1−bR⋆r)βwb=1−0.051/βw\begin{aligned}u&=-\mu v(r)\\v(r)&=v_\infty\left(1-\frac{bR_\star}{r}\right)^{\beta_{\rm w}}\\b&=1-0.05^{1/\beta_{\rm w}}\end{aligned}
这里的速度律是输入。R⋆R_\star是光球半径，v∞v_\infty是渐近速度，βw\beta_{\rm w}不表示逃逸概率。

对应阅读：Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method · Standalone stellar-wind scientific reproduction

同一质量流量怎样穿过各层

平稳球对称意味着每秒穿过各球壳的质量相同。球壳面积乘密度再乘径向速度，就是这个质量流量。解出密度就能看出，半径越大、流速越快，气体越稀。

若半径增大一倍、速度又增大一倍，在同一质量流量下，密度会降到原来的八分之一。这个关系也决定流点的停留分布：一层里的物质越慢，留下的质量越多。

改变终端速度时，密度必须跟着更新。只把一条预画曲线拉宽，再把气体密度留在原处，会断开流场与谱线之间的关系。

M˙=4πr2ρ(r)v(r),ρ(r)=M˙4πr2v(r)\dot M=4\pi r^2\rho(r)v(r),\qquad\rho(r)=\frac{\dot M}{4\pi r^2v(r)}
SI单位中，M˙\dot M为千克每秒，rr为米，vv为米每秒，密度为千克每立方米。

对应阅读：Owocki2014, Theory of Winds from Hot, Luminous Massive Stars

为什么不能只用径向速度导数

沿一条固定投影距离的射线前进，速度大小会变，径向方向与视线的夹角也会变。对投影速度vμv\mu求视线导数，要把两部分都保留。几何给出dr/dz=μdr/dz=\mu以及dμ/dz=(1−μ2)/rd\mu/dz=(1-\mu^2)/r。

代入链式法则便得到下方的方向梯度。径向射线使用径向加速；接近切向的射线则主要依赖方向投影的变化。即使局部速度大小变得很慢，球形几何仍能让视线速度改变。

在这条单调外流速度律中，梯度为正，一个指定频率在给定射线上至多对应一个局部共振位置。非单调风的多个共振位置会彼此传光，不能继续沿用这个单共振步骤。

D(μ,r)=d(vμ)dz=μ2dvdr+(1−μ2)vrD(\mu,r)=\frac{d(v\mu)}{dz}=\mu^2\frac{dv}{dr}+(1-\mu^2)\frac vr
DD的单位是每秒。du/dz=−Ddu/dz=-D，光学厚度中用其正的大小。

对应阅读：Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method

把很窄的共振层积成光学厚度

用ϕ(u)\phi(u)描述内禀线形，并规定它对速度积分为一。把线不透明度对速度的积分记为κV\kappa_V，其SI单位是m3 kg−1 s−1\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-1}}。于是局部消光系数为κVρϕ\kappa_V\rho\phi，单位为每米。

若共振层很薄，层内密度、速度梯度和源函数近似不变。积分时把位置变量换成投影速度，归一化线形的积分便留下不透明度乘密度，再除以方向梯度。这就是Sobolev光学厚度。

用恒星半径与渐近速度归一化后，一个重要标度是TT。质量流量、电离及参考线不透明度进入分子，速度标度的平方进入分母。这解释了为什么调快风时，谱的宽度和深度会一起改变。

∫ϕ(u) du=1,τ(μ,r)=κVρD(μ,r)\int\phi(u)\,du=1,\qquad\tau(\mu,r)=\frac{\kappa_V\rho}{D(\mu,r)}
κVρ\kappa_V\rho与DD同为每秒，τ\tau无量纲。热或微观湍流宽度与仪器宽度属于不同物理步骤。
T=κVM˙4πR⋆v∞2T=\frac{\kappa_V\dot M}{4\pi R_\star v_\infty^2}
参考不透明度还可乘一个相对电离/线不透明度乘数。绝对离子数分数至多为一；这里用的是相对参考不透明度的乘数。

对应阅读：Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method · Owocki2014, Theory of Winds from Hot, Luminous Massive Stars

散射源函数从哪里来

恒星在气体看来占据一个有限立体角。定义μ⋆\mu_\star为光球边缘方向的余弦，再计算各方向上逃出局部共振层的概率。外来的星光提供光子，局部重吸收又能让光子在层内多次散射。

对于各向同性、保守的这条孤立线，令平均逃逸概率为BescB_{\rm esc}，有限星盘照明项为B⋆B_\star。局部散射平衡可写成S=(1−Besc)S+B⋆IcS=(1-B_{\rm esc})S+B_\star I_c，解出源函数与星盘强度之比。

薄线的逃逸概率趋近一，源函数便退化为几何稀释因子。一般加速风的方向光学厚度不同，厚线源函数还会依赖这些梯度。在光球外缘，星盘占满一个半球，方向不透明度又是偶函数，因此源函数恰好为星盘强度的一半。

μ⋆=1−R⋆2/r2Besc=12∫−111−e−τ(μ)τ(μ) dμ\begin{aligned}\mu_\star&=\sqrt{1-R_\star^2/r^2}\\B_{\rm esc}&=\frac12\int_{-1}^{1}\frac{1-e^{-\tau(\mu)}}{\tau(\mu)}\,d\mu\end{aligned}
IcI_c是均匀光球连续谱的光子强度。逃逸概率里的τ\tau包含完整方向梯度。
B⋆=12∫μ⋆11−e−τ(μ)τ(μ) dμS/Ic=B⋆/Besc\begin{aligned}B_\star&=\frac12\int_{\mu_\star}^{1}\frac{1-e^{-\tau(\mu)}}{\tau(\mu)}\,d\mu\\S/I_c&=B_\star/B_{\rm esc}\end{aligned}
这是声明的局部Sobolev散射平衡，并未求解完整非LTE原子布居或有限宽度共动系传输。

对应阅读：Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method · Standalone stellar-wind scientific reproduction

完整算一条星盘射线

取βw=1\beta_{\rm w}=1、T=0.2T=0.2，看半径为两倍光球半径、μ=0.9\mu=0.9的近侧位置。速度是渐近速度的0.525倍，投影距离约为光球半径的0.872倍，因此这条射线确实穿过可见星盘。渐近速度每秒二百千米时，它落在红移为正坐标的每秒负94.5千米。

用恒星半径和渐近速度作单位，径向导数为0.2375，速度除以半径为0.2625，合成方向梯度为0.24225。代入密度和光学厚度，得到约0.39314。独立角积分给出的源函数比为0.06634。

星盘入射强度归一为一。直接透射约为0.67493，加入同一位置的散射后，出射强度约为0.69650。散射填回了一部分吸收。这个数是一条理想射线的强度，尚未把整个风积分，也没经过仪器。

把同样位置放到远侧，投影距离仍小于光球半径，通往观测者的路径就会撞上不透明星盘。若投影距离更大，远侧散射便可以从星盘边缘旁通过，成为红侧发射的一部分。

Iout=Iine−τ+S(1−e−τ)I_{\rm out}=I_{\rm in}e^{-\tau}+S(1-e^{-\tau})
星盘前方射线的Iin=IcI_{\rm in}=I_c，星盘之外为零；遮挡还要按射线是否撞到光球单独处理。

对应阅读：Standalone stellar-wind scientific reproduction · Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method

把射线加成完整谱

对给定频率，把各投影环带的出射强度相加。环带面积提供投影距离的权重，星盘连续谱则给出归一化。孔径至少包住完整星盘时，远离线中心的连续谱为一。

局部保守散射形成的光子，可以进入收集孔径、返回光球或漏掉散射晕。统一用连续谱和无量纲速度积分归一后，这三项之和等于从直达星光中移走的那一项。吸收为正的等效宽度因此等于回星与漏孔径两种损失的面积之和，再乘速度标度。

完整孔径消除了漏晕项，回星项仍可非零。这个关系描述平坦光子连续谱和声明的多普勒坐标，不能直接推广成任意波长下的精确能流等式。

f(u)=2∫0pap/R⋆I(u,p^)Icp^ dp^,p^=p/R⋆f(u)=2\int_0^{p_{\rm ap}/R_\star}\frac{I(u,\hat p)}{I_c}\hat p\,d\hat p,\qquad\hat p=p/R_\star
均匀星盘的连续谱满足2∫01p^ dp^=12\int_0^1\hat p\,d\hat p=1；所有射线使用同一流场和源函数。
Wv=∫[1−f(u)] du=v∞(Aback+Amiss)W_v=\int[1-f(u)]\,du=v_\infty(A_{\rm back}+A_{\rm miss})
AbackA_{\rm back}与AmissA_{\rm miss}是按du/v∞du/v_\infty归一的回星、漏孔径光子面积。保存的泊松观测还会围绕这一模型值涨落。

对应阅读：Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method · Standalone stellar-wind scientific reproduction

数值收敛和物理近似要分别检查

有了内禀多普勒宽度vDv_D，共振层厚度大约是vD/Dv_D/D。它需要同时小于密度和源函数的变化尺度，也要远小于到边界的距离。只比较它与恒星半径，可能漏掉光球附近变化很快的照明。

独立检验把源函数固定，再沿有限宽度线形解传输微分方程。当内禀多普勒宽度是渐近速度的0.00005倍时，四条测试射线的最大强度差约为3.9×10−53.9\times10^{-5}；增大到0.05倍，已有约0.033的负例。这检验的是形式积分近似，源函数本身在有限宽度下仍需更完整的计算。

这里的内禀多普勒宽度按e−(Δu/vD)2e^{-(\Delta u/v_D)^2}定义。示例固定的每秒八千米高斯标准差属于仪器，它在风谱形成之后才卷积进去。把两种宽度互换，会同时改错物理和测量模型。

生产计算还用独立投影射线积分检查了197个预设、角点、边界面和内部配置。探测谱最大差约为连续谱的0.072%，运行时逐次比较谱、源函数与辐射力的加密结果。它们约束了声明模型的数值误差，有限宽度和非LTE近似仍保留各自的检验范围。

对应阅读：Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method · Standalone stellar-wind scientific reproduction

练习与解释性答案

  1. 如果只沿每条射线使用径向速度导数，会漏掉哪部分梯度？在接近切向时尤其会怎样？

    展开解释

    会漏掉球形流场方向随视线位置变化的投影项。接近切向时，径向加速项的权重很小，几何投影项反而主导；忽略它会严重改错共振长度与光学厚度。

  2. 上面的数值例子为什么特意检查投影距离小于光球半径？

    展开解释

    只有这样，近侧射线背后才有明亮星盘，才能把入射强度取为一。若它在星盘外，入射背景为零，出射强度只剩散射项，那是另一种观测几何。

  3. 孔径收小后，应该重新改变局部源函数，还是只改收集积分的范围？

    展开解释

    这里只改收集范围。孔径不影响恒星照明和气体局部散射，只决定哪些投影环带抵达观测；同一流场、源函数下，漏晕项就会增大。

动手检验预测

改变气流，跟着散射光读谱

  1. 比较蓝侧与红侧共振面，按投影距离判断哪条路径会撞上星盘，再看高亮阻挡位置。
  2. 先只改加速区形状，再只改速度标度，分别预测共振面位置、密度和谱深的变化。
  3. 将孔径从完整散射晕收至接近星盘，检查源函数不变而漏晕项上升，按光子去向解释净面积。

来源与计算范围

  1. Owocki2014, Theory of Winds from Hot, Luminous Massive Stars

    固定v1；第2节讲CAK/Sobolev平稳风，第3.1至3.4节讲谱线不稳定、团块、多孔性与速度空隙；链接原文，不重发受限许可原件。

  2. Lamers, Cerruti-Sola & Perinotto1987, the SEI line-profile method

    ApJ314,726，第II至V节、式4至10与14至19。这里的局部逃逸单线与固定源函数有限宽度检验各有近似，不声称复现完整SEI或非LTE求解器。

  3. Standalone stellar-wind scientific reproduction

    原始小数据、独立传输/光子/力/有限宽度参照、197个生产检查和合成泊松练习；固定真值与先验平均覆盖分别保留。

反馈这个页面有错误、看不明白，或者缺了什么？告诉我们
反馈类型

提交时会附带本页地址、Lab ID、网站语言和设备类型。请不要填写个人信息。反馈最多保存 12 个月。隐私政策