先读偏振，再画磁场方向

这一章沿用前面定义的天空坐标和多普勒几何，引入斯托克斯参数，让不同区域发来的光能够正确叠加。假定辐射来自均匀磁场中的各向同性幂律电子分布，光学薄，不加入法拉第旋转或圆偏振。

偏振短线没有箭头

线偏振在天空平面里选出一条振荡轴。电矢量位置角，简称EVPA，记录这条轴相对参考方向转了多少。转过半圈，仍是同一条振荡轴，因此偏振角带有半圈的等价性。

取 $\mathbf e_1$ 沿朝向侧喷流的天空投影， $\mathbf e_2$ 沿前面定义的第二天空轴。电场单位矢量为 $\hat{\mathbf E}$ ，两个分量是 $E_1=\hat{\mathbf E}\cdot\mathbf e_1$ 、 $E_2=\hat{\mathbf E}\cdot\mathbf e_2$ 。角度从第一条轴朝第二条轴增加。另一篇论文若把第二条轴反过来，对应分量与斯托克斯 $U$ 的符号也会反过来。

设一束光总强度为 $I$ ，线偏振度为 $\Pi$ ，电矢量角为 $\chi$ ，则

\begin{aligned} Q&=\Pi I\cos 2\chi,\\ U&=\Pi I\sin 2\chi. \end{aligned}

两倍角让转过半圈的振荡保持相同结果。 $Q$ 为正，电矢量偏向喷流投影方向；为负，偏向垂直方向。 $U$ 的正负区分两条对角线方向。各个斯托克斯强度与总强度采用相同单位。

先把光加起来，再读角度

彼此独立的辐射区，强度 $I$ 、 $Q$ 、 $U$ 可以直接相加，角度却不能直接求平均。先加完斯托克斯量，再求总线偏振度和角度：

\begin{aligned} \Pi_{\rm net}&=\frac{\sqrt{Q^2+U^2}}{I},\\ \chi_{\rm net}&=\frac12\operatorname{atan2}(U,Q). \end{aligned}

双参数反正切会同时判断两个参数的符号，保留象限信息。最后把角度按半圈取等价值。若两个线偏振斯托克斯量都为零，光就没有优先的线偏振方向，EVPA没有定义。

例如，两块辐射区同样亮、偏振度相同，电矢量相差直角。一块给正的 $Q$ ，另一块给同样大的负值，两者 $U$ 都为零。总光更亮了，线偏振却正好抵消。观测到较低偏振度，也可能是几块各自有序、方向不同的区域混在一起。

两个归一化斯托克斯矢量反向抵消，总强度仍为正。 — 原创斯托克斯平面示意。两块同亮、同偏振度的辐射区，电矢量相差直角，两倍角对应的斯托克斯矢量便反向。总强度相加，偏振贡献抵消。坐标用单块线偏振强度 $\Pi_0 I_0$ 归一化，端点并非总强度的偏振比例。这个叠加例子与每个亮结只放一块磁场的模型分开。

先在物质静止系里找到那束光

驱使电子转向的磁场，在发光物质静止系里最容易指定。把观测者方向用像差公式变到那里，得到 $\mathbf n'$ 。局部同步辐射的电矢量沿 $\mathbf n'\times\mathbf B'$ ；叉积非零时，除以长度就得到单位方向。

传播中的光波也有自己的磁场，它与驱使电子运动的背景磁场是两个不同的量。回到源参考系时，要把光波的电场和磁场一起作洛伦兹变换。只把背景磁场画到天空上，再垂直画一根短线，一般得不到正确的电矢量。

令无量纲速度矢量为 $\boldsymbol\beta_s=s\beta\hat{\mathbf z}$ ，正确变换后的方向可以紧凑地写成

\begin{aligned} \mathbf q'&=\mathbf B'+\mathbf n\times(\boldsymbol\beta_s\times\mathbf B')\\ &\quad-\frac{\Gamma}{1+\Gamma}(\mathbf B'\cdot\boldsymbol\beta_s)\boldsymbol\beta_s. \end{aligned}

再把 $\mathbf n\times\mathbf q'$ 归一化，就得到 $\hat{\mathbf E}$ 。辅助矢量上的撇号提示它使用静止系磁场作输入；整条公式给出的则是观测电矢量。速度降为零时，速度项消失，熟悉的垂直关系恢复。

这条式子来自光波电磁场的洛伦兹变换，见Lyutikov、Pariev与Blandford在2003年论文附录C的C3，也见指定2004年喷流论文的式6。它可以用于一个发光小块，并不要求先造出整条圆柱喷流。

每个斯托克斯量都使用同一束辐射的强度

电子能量幂律指数为 $p=2\alpha+1$ 时，均匀磁场、光学薄同步辐射的最大线偏振度为

\Pi_0=\frac{p+1}{p+7/3}.

固定谱指数对应 $p=2.5$ ，得到 $\Pi_0=21/29$ ，约为百分之七十二点四。沿用上一章含磁场方向权重的实际强度，分量形式为

\begin{aligned} Q&=\Pi_0 I(E_1^2-E_2^2),\\ U&=2\Pi_0 I E_1E_2,\qquad V=0. \end{aligned}

强度、偏振度与方向现在描述同一束辐射。每个亮结只有一块均匀磁场，转动它会改变方向权重和EVPA；只要辐射非零，偏振度便保持上述均匀场数值。单块亮结内部没有不同方向的区域供它相互抵消。

如果某个方向上辐射为零，所有斯托克斯量都为零，电矢量角也就没有物理值。多块区域未分辨时，另一种情况是总强度不为零，线偏振却相消。这两种“角度没有定义”，原因不同。

怎样从偏振走向磁场图像

天空上的EVPA图案，取决于磁场、速度、视角，以及哪些地方发光更强。横向分辨出喷流结构，比只测一个积分角度提供更多信息。即使如此，仍须说明使用哪个参考系：理想导电近似下，沿喷流作洛伦兹变换，会把横向背景磁场相对轴向磁场放大。

整条螺旋磁场还多了一个沿圆周变化的方位方向。横向未分辨时，各处贡献会抵消。最后的论文导读将讨论这一步空间积分。此处的“倾角”只指定局部小块的磁场方向，单凭它不能读出整条喷流的缠绕程度或中心天体自旋。

练习

把电矢量整体反向， $Q$ 、 $U$ 与EVPA会怎样？
三块辐射区强度、偏振度相同，电矢量角分别为零度、六十度、一百二十度。总线偏振度是多少？
转动一块亮结的有序磁场，EVPA改变，偏振度却不变。哪条假设解释了这个现象？

答案与理由

电矢量两个分量都反号，平方与乘积不变；两个线偏振斯托克斯量、振荡轴都不变。

三个两倍角相隔一百二十度，在斯托克斯平面上首尾相接成等边三角形。两个线偏振分量的总和都为零，总强度为正，总线偏振度为零，EVPA没有定义。

单块均匀磁场、同一电子幂律分布，在非零辐射方向上保持相同的最大偏振度。要靠几何相消降低积分偏振度，需要在平均区域内叠加不同方向的贡献。

来源

Lyutikov、Pariev、Blandford，arXiv:astro-ph/0305410v2（2003年11月7日），附录C，印刷页15至17，尤其C2至C5。这里采用波场变换，不采用论文对具体伽马暴的观测解释。指定版本推导。
Lyutikov、Pariev、Gabuzda，arXiv:astro-ph/0406144v1（2004年6月6日），第2节，印刷页7至11，式2、6至8、18；图7在印刷页38。喷流偏振原文。

动手检验预测

转动一块有序磁场

先预测：改变一块均匀辐射区的磁场倾角，会不会降低它的偏振度？
暂停并固定速度、观测角度，改变磁场倾角，读取数据区的电矢量角和斯托克斯量。
解释强度、电矢量方向为什么可以改变，而均匀小块的偏振度保持不变。