多普勒亮度与移动图案的速度

先修是上一章的到达时间关系。带撇号的量属于发光物质静止系。两侧亮结都紧致、光学薄，自身亮度不随年龄演化，内禀辐射归一化相同。频率的单位是每秒振荡次数，多普勒因子则没有量纲。

用跟着亮结走的钟

亮结自己的钟走过 $\Delta\tau$ ，源附近的钟走过 $\Gamma\Delta\tau$ 。再套入光程关系，望远镜收到两次发光的间隔为

\Delta T_s=\Gamma(1-s\beta\cos\theta)\Delta\tau =\frac{\Delta\tau}{\delta_s},

其中多普勒因子为

\delta_s=\frac{1}{\Gamma(1-s\beta\cos\theta)}.

这里不能把固有时间与源时间混用。光程缩短只给出 $1-s\beta\cos\theta$ ，源系与亮结钟之间还差时间膨胀的洛伦兹因子。频率相应变为 $\nu=\delta_s\nu'$ 。即使是朝向侧，严格侧视时多普勒因子也小于一，收到的频率会降低。

设亮结静止系的流量密度谱为 $F'_{\nu'}\propto\nu'^{-\alpha}$ 。谱指数为正，表示频率越高，流量密度越低；教学例子固定 $\alpha=0.75$ 。

比强度除以频率的三次方，在洛伦兹变换下不变。在固定观测频率上，先把静止系频率换成 $\nu/\delta$ ，再乘上多普勒因子的三次方。幂律谱另带来 $\delta^\alpha$ ，于是静止系各向同性的紧致、未分辨亮结满足

F_\nu\propto\delta^{3+\alpha}.

谱指数那一项来自取样频率改变。连续稳定喷流需要计算另一种发光体积，常用指数也不同；这里采用离散紧致亮结的假设。

若两侧内禀相同，各向同性辐射的参考亮度比为

R_{\rm iso}=\left(\frac{1+\beta\cos\theta}{1-\beta\cos\theta}\right)^{3+\alpha}.

洛伦兹因子在比值里抵消了，每一侧自己的多普勒因子仍包含它。

高速带电粒子在磁场中转向，会发出同步辐射。即使粒子运动方向在亮结静止系里各向同性，一块均匀磁场的辐射也有方向性。把观测者方向变换到亮结静止系，记为 $\mathbf n'_s$ ；该处磁场单位方向记为 $\hat{\mathbf B}'_s$ 。方向权重是

A_s=\left|\mathbf n'_s\times\hat{\mathbf B}'_s\right|^{1+\alpha}.

叉积大小是两个方向夹角的正弦：沿磁场看为零，横着看达到一。视线的相对论像差为

\begin{aligned} n'_{s,x}&=\delta_s\sin\theta,\quad n'_{s,y}=0,\\ n'_{s,z}&=\frac{\cos\theta-s\beta}{1-s\beta\cos\theta}. \end{aligned}

像差描述换一个运动参考系后，光的传播方向怎样改变。同一位观测者，在两侧亮结的静止系里通常位于不同方向。把内禀系数归一为一，实际强度与两侧比值便是

\begin{aligned} I_s&=\delta_s^{3+\alpha} A_s,\\ R_{\rm ord}&=R_{\rm iso}\frac{A_+}{A_-}. \end{aligned}

这组局部小块的磁场写成 $\hat{\mathbf B}'_s=(0,\sin\psi,s\cos\psi)$ ， $\psi$ 是磁场相对各自向外轴线的倾角。给两块均匀辐射区选一个倾角，还没有指定整条喷流的螺旋磁场结构。

倾角为直角时，磁场沿源的 $y$ 轴。两侧变换后的视线都没有这个分量，因此方向权重都为一，实际强度比恰好等于纯多普勒参考。轴向磁场则满足 $A_s=(\delta_s\sin\theta)^{1+\alpha}$ ，比值里会再多出一组多普勒因子。

取 $\beta=0.6$ 、 $\theta=60^\circ$ 。洛伦兹因子为 $1.25$ ，两侧多普勒因子约为 $1.143$ 和 $0.615$ 。用固定谱指数计算，各向同性紧致亮结的参考亮度比约为 $10.2$ ；换成轴向有序磁场，实际比值约为 $30.1$ 。

两组计算的视运动完全相同。朝向侧更亮，可能来自速度、视角，也可能来自磁场方向。解析极限里若远侧强度为零，比值就没有定义；这时应分别查看两侧强度。

激波可以穿过已经在流动的等离子体。逐张照片追踪激波的峰，得到图案速度；变换辐射时，用的则是发光物质的速度。位置斜率和亮度，未必对应同一个速度。

两亮结模型把这两个速度设为相同，才能用同一个速度同时计算到达时间与辐射变换。解释真实图像时，需要说明为什么可以这样认定。若二者实际不同，硬用一个速度拟合所有观测，可能得到统计上很窄、物理上却不合适的答案。

答案与理由

视速度和多普勒因子只取决于运动与视角，保持不变。实际强度和电矢量方向可能随磁场改变，下一章会把电矢量也变换出来。

还需要静止系辐射模型，包括磁场方向或合适的空间平均；还要说明两侧内禀是否相同，以及图案速度与物质速度有什么关系。

很小的视速度可能来自慢图案，也可能来自几乎正对着我们的运动。即使横向运动严格为零，也不能单凭它排除沿视线的高速流动。

Urry与Padovani（1995），附录B的B1至B4及B6后面的讨论，区分离散源、连续喷流和有序磁场方向性。增亮公式的适用条件。
Lyutikov、Pariev、Gabuzda，arXiv:astro-ph/0406144v1（2004年6月6日），第2节的式2、4、13至15，给出静止系同步辐射方向权重和像差。论文的稳定流动指数对应其自身几何；这里的紧致亮结采用离散源指数。指定版本原论文。