从发光时刻拼出一张照片

上一章跟着两束光走过一遍。现在用匀速运动和三角函数把它算清楚。设两团紧致亮结同时从原点出发，沿相反方向等速运动；时空平直，观测者足够远。例子暂不加入宇宙学膨胀。

先分清三只钟

把喷流轴放在源参考系的 $z$ 轴上，正方向指向靠近我们的一侧。观测者位于 $x$ 与 $z$ 张成的平面内。从源指向观测者的单位矢量记为 $\mathbf n$ ，它与正向喷流轴的夹角为 $\theta$ 。真实速度为 $\beta c$ ，其中 $c$ 是光速。用 $s=+1$ 表示朝向侧， $s=-1$ 表示远离侧。

源附近的钟记时为 $t$ 。跟着亮结一起飞的钟，记录固有时间 $\tau$ 。两者相差一个洛伦兹因子：

\begin{aligned} \Gamma&=\frac{1}{\sqrt{1-\beta^2}},\\ \tau&=\frac{t}{\Gamma}. \end{aligned}

望远镜也有自己的钟。光从原点赶到望远镜需要一个很大的固定时长；先把这段共同的时长减去，余下的到达时刻记为 $T$ 。换一个时间零点，只去掉常数，没有去掉亮结靠近或远离时的光程变化。这三种时间的单位相同，所指却不同。

光少走的路要从时间里扣掉

源时刻为 $t$ 时，亮结的位置是 $\mathbf r_s=s\beta ct\,\hat{\mathbf z}$ 。它向观测者靠近了多少，要取位置沿视线的分量，也就是点积 $\mathbf n\cdot\mathbf r_s$ 。这段距离除以光速，就是光省下的赶路时间：

T=t-\frac{\mathbf n\cdot\mathbf r_s}{c} =t(1-s\beta\cos\theta).

这里用了远处观测者近似：从源的不同位置看过去，视线几乎平行。若观测者离得很近，就要逐个计算发光点到观测者的实际距离。

现在指定一张照片的到达时刻，先把公式倒过来：

t_s(T)=\frac{T}{1-s\beta\cos\theta}.

同一个到达时刻，给出两侧不同的发射时刻。若一开始就把两侧都画在同一个源时刻，得到的会是源参考系里的同时示意图。

同一到达时刻的两侧发射时刻不同，朝向侧发光时更老。 — 同一到达时刻下的解析例子。朝向侧发光时，源附近已经过去更久；远侧则还较年轻。图中分别列出共同的到达时刻、两侧发射时刻与天空投影距离。

把位置投到天空平面

天空平面垂直于视线。选第一条天空轴 $\mathbf e_1$ 指向朝向侧喷流的投影，第二条轴为 $\mathbf e_2$ 。与前面的坐标配套，可以写成

\begin{aligned} \mathbf n&=(\sin\theta,0,\cos\theta),\\ \mathbf e_1&=(-\cos\theta,0,\sin\theta),\\ \mathbf e_2&=(0,-1,0). \end{aligned}

三条轴长度都为一，彼此垂直，且 $\mathbf e_1\times\mathbf e_2=\mathbf n$ 。天空第一坐标取正，表示朝向侧。这个直线模型里，两侧亮结的第二天空坐标始终为零。把各自发射事件投到第一条轴上，得到

x_{\perp,s}(T)=\frac{s\beta cT\sin\theta}{1-s\beta\cos\theta}.

在“位置随到达时间变化”的图上，斜率就是带方向的视速度。用光速作单位，两侧分别为

\begin{aligned} b_+&=\frac{\beta\sin\theta}{1-\beta\cos\theta},\\ b_-&=-\frac{\beta\sin\theta}{1+\beta\cos\theta}. \end{aligned}

负号记录远侧在图中朝哪个方向走。若只比较速度大小，可另记 $a=b_+$ 、 $r=-b_-$ ，两者都取正。

算一张同时收到光的图像

取 $\beta=0.95$ 、 $\theta=20^\circ$ ，到达时刻为 $T=2T_0$ 。这里 $T_0=L_0/c$ ， $L_0$ 是任选的参考长度。朝向侧与远侧公式分母约为 $0.1073$ 和 $1.893$ ；对应发射时刻约为 $18.6T_0$ 和 $1.06T_0$ 。天空坐标分别约为 $6.06L_0$ 与 $-0.343L_0$ 。

两侧洛伦兹因子相同，约为 $3.20$ 。在各自发光的事件上，随亮结飞行的钟分别走过约 $5.82T_0$ 与 $0.330T_0$ 。照片里的年龄差，来自光还要走的路不同。

也可以从单位上检查计算。视速度乘共同的到达时间，给出天空位移；真实速度乘各自的发射时间，给出源参考系位置，再作投影。例子里两侧视速度大小约为 $3.03c$ 和 $0.172c$ ，乘上两个时间单位，恰好对应上面的图像坐标。

哪个方向的视速度最大

固定真实速度，从正对喷流转向侧面，朝向侧视速度先升后降。对它的角度求导，结果为

\frac{\mathrm d b_+}{\mathrm d\theta} =\frac{\beta(\cos\theta-\beta)}{(1-\beta\cos\theta)^2}.

导数表示角度改变一点点时，视速度怎样变化。它在 $\cos\theta=\beta$ 时为零，此处视速度达到 $\Gamma\beta$ 。反过来，测得视速度 $a$ ，便要求 $\Gamma\geq\sqrt{1+a^2}$ 。即使还不知道唯一视角，这个匀速亮结解释也能给出洛伦兹因子的下限。

练习

把视角改为直角，两侧发射时刻和带符号视速度会怎样？
保持默认参数，让到达时间加倍。哪些量加倍，哪些量不变？
一段程序在非零到达时刻，把强烈朝向我们的喷流两侧画成同龄。它可能混用了哪只钟？

答案与理由

严格侧视时，亮结沿视线的位移为零。两侧发射时刻都等于到达时刻；带符号视速度等于真实速度占光速比例的正值与负值。

到达时间加倍，两侧发射时刻、固有年龄、天空位移都加倍。速度、角度没有变化，洛伦兹因子、多普勒因子、视速度斜率便保持不变。本模型还假定辐射区本身不随年龄变化，强度也不随时间改变。

程序很可能选了共同的源时刻，再画两个位置。要拼出望远镜照片，必须先对两侧分别解到达时间关系，再画各自的发光事件。

来源

Urry与Padovani（1995），附录A的A1、A4、视速度最大值及图案速度与物质速度假设。作者推导。
同文附录B的B1、B2区分发射源静止系间隔与观测者收到的间隔。另一对时钟。

动手检验预测

比较同一张图像里的年龄

用默认参数，先判断同一到达时刻下，哪侧亮结在源附近的年龄较大。
点击“暂停”和“保存当前观察”，在相同arrivalTime下读取两侧的emissionTime。
把各自天空投影位置与发射时刻放在一起比较，解释同时收到光为什么不等于同时发光。