跟着燃料穿过星系盘的边界

先把统计范围画出来

观测里常说的孔径，可以理解成画在图像上的统计区域；数值计算还可以直接选一个三维体积。这里把半径十六千秒差距、盘面上下各一千秒差距的圆柱体，定义为星系盘域。

每到一个时刻，就检查哪些气体片层位于圆柱体内，再加起它们此刻的质量。一片气体刚越过上表面，就暂时退出盘内统计，即使它仍受引力束缚；回落后穿回来，它又重新计入。

这个选择只看位置。它没有挑出分子气体，没有按发射亮度设门槛，也没有自行判断哪片气体具备造星条件。要比较另一种观测或模型，先弄清对方到底统计了什么。

模型规定，每个片层每单位时间消耗剩余气体的相同比例，耗尽时标取二十亿年，恒星质量返回率设为零。离开气体的质量，累计放进新生恒星的出生质量记录。

气体多一倍的片层，瞬时形成恒星的速率也多一倍。经过一个耗尽时标，气体剩下初始量的约36.8%；随着燃料减少，形成速率逐渐变慢。

这条规律跟着片层走。风把气体推到尾部以后，计算仍让它按同样规律形成恒星。把所有片层相加，五条风压路径得到完全相同的全局形成率。

\begin{aligned}\dot m_i&=-\frac{m_i}{\tau_\star},\qquad\tau_\star=2000\,\mathrm{Myr}\\m_i(T)&=m_{i,0}\exp(-T/\tau_\star)\end{aligned}

T

是从共同初态开始的经过时间，模型时刻为

t=T-500\,\mathrm{Myr}

。气体减少多少，出生质量记录就增加多少。

给每片气体加一个开关：位于盘域时为一，盘外时为零。把它的形成率乘上这个开关，再逐片相加，便得到盘内形成率。现在，曲线变化的来源就很清楚：气体持续耗尽，以及片层穿入或穿出盘域。

例如在最近接团心约三亿年后，较弱的过团路径 $q=2.72$ 给出每年约0.2142太阳质量的盘内形成率，全局则为0.2176。另一条 $q=4$ 路径的中心入流始终为零，盘内与全局都约为0.2176。 $q=2.72$ 少算的一小部分，正在盘域外。

这条形成律让五条路径具有相同的全局耗尽；真实星系还需要各自的形成规律。它提供了一个清楚的对照：把全局耗尽保持相同，单独看燃料被搬到哪里。

{\rm SFR}_{\mathcal D}(t)=\sum_i\mathbf1_{\mathcal D}(\mathbf x_i(t))\frac{m_i(t)}{\tau_\star}

\mathbf1_{\mathcal D}

是盘域开关。若计算先用太阳质量每百万年，最后还要除以一百万，换成太阳质量每年。

剩下的气体未必组成连续的环带。某些片层已被抬出盘域，别的片层仍留在较大的圆柱半径上。只取最外面的一个点，再把它叫作唯一的剥离边缘，会把中间的空缺藏起来。

这里先按当前圆柱半径，把盘内片层从里到外排序；随后累加它们此刻的气体质量，直到达到盘内总量的九成。对应的半径，就是盘内九成质量半径。

这项统计描述选定体积里的质量分布。回来的气体穿过边界时，它可能改变；盘内片层向外运动时，它也可能增大。它的变化需要结合气体位置来解释，逃逸则仍由能量与后续受力判断。

真实尾部的气体可能太热、太稀薄，无法按盘内的效率形成恒星；局地压缩、分子形成、冷却、混合和反馈也会改变这个效率。若要解释整座星系停止形成恒星，需要继续描述这些过程，或者用观测测量它们。

先把盘内与盘外的形成率加起来，检查它们是否等于全局。再想象把盘外形成率强制设为零：这等于引入了一条新的物理处方，应当说明理由、重新计算，而不是只给原有曲线换个名字。

这个习惯也适用于读观测图：先认清空间范围，再认清使用哪种气体或光的示踪，最后比较同类统计。燃料被搬走与单位燃料更难形成恒星，可能同时发生，它们却进入解释的不同环节。