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Sandbox Physics
系外行星的白天与夜晚

AC21 · L3

把一颗球的光加成一条曲线

Sandbox Physics ·

相位曲线把发光表面投影到一个总数。每小块贡献多少，要看它的辐亮度和朝向我们的投影面积；前景恒星还能遮掉其中一部分。把相加过程写出来，哪些信息留下、哪些信息消失，也就有了具体的计算。

每块表面都带一个投影权重

经纬度为 β\beta 与 λ\lambda 的小块，在行星中心张开的立体角为 dΩ=cos⁡β dβ dλd\Omega=\cos\beta\,d\beta\,d\lambda，实际面积是 Rp2dΩR_p^2d\Omega。设表面法线与观察方向的夹角余弦为 μo\mu_o。可见表面的 μo\mu_o 为正，眼前的投影面积是实际面积乘上这个因子。

把波长记作 Λ\Lambda，与经度 λ\lambda 分开。令 IΛI_\Lambda 为光谱辐亮度，DD 为系统到我们的距离。把可见、未遮住的小块加起来，得到：

Fp,Λ=Rp2D2∫visible,unoccultedIΛ(β,λ,t) μo dΩ.F_{p,\Lambda}=\frac{R_p^2}{D^2}\int_{\rm visible,unocculted} I_\Lambda(\beta,\lambda,t)\,\mu_o\,d\Omega.
单层黑体模型采用 IΛ=BΛ(T)I_\Lambda=B_\Lambda(T)；全波段热辐射的辐亮度为 σT4/π\sigma T^4/\pi。

单位面积的总热辐射为什么要除以圆周率？辐亮度按单位立体角、单位投影面积定义。将常辐亮度向局部外半球积分，角度部分是 2π∫0π/2cos⁡θsin⁡θ dθ=π2\pi\int_0^{\pi/2}\cos\theta\sin\theta\,d\theta=\pi，才回到单位面积的总出射通量。对于均匀发光的球，这个积分也正好给出投影圆盘面积。

恒星与行星属于同一系统，距离因子会在光比中约去。均匀黑体行星的全波段光比，于是成为半径比的平方乘温度比的四次方。温度不均匀时，就得保留完整积分：先对每块温度取四次方，再相加。

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets · Rodrigo Luger et al., STARRY: Analytic Occultation Light Curves

先分前后，再遮住二次食

取观察者位于全局负 z 方向，天空 x 向右、y 向上；圆轨道倾角为 ii。轨道相位 q=0q=0 是主凌星，q=1/2q=1/2 是几何二次合。仅看两个投影圆是否重叠，无法判断谁在前面，还需要视线方向的深度。

在上一章的直射点坐标系中，观察者经度为 π−2πq\pi-2\pi q，纬度为 π/2−i\pi/2-i。轨道位置改变，投影权重就跟着变。主凌星时，行星可能挡住恒星，但它自己发出的光仍朝我们走来。二次食时，恒星在前，投影圆交叠处的行星辐射被遮住。

数值遮挡要同时检查前后位置与投影交叠。温度方程中的恒星加热照常继续。二次食期间，恒星位于行星与我们之间，并没有隔在自己与行星之间。

若行星亮度均匀，部分食就是两个圆的交叠面积乘常辐亮度，可以独立检验几何计算。若亮度不均匀，被盖住的区域不同，少掉的光也不同。入食与出食于是可以补充整盘总光里没有的空间信息。

对应阅读：Rodrigo Luger et al., STARRY: Analytic Occultation Light Curves · Taylor J. Bell et al., Nightside clouds and disequilibrium chemistry on the hot Jupiter WASP-43b

反射还需要另一个余弦

照明余弦 μs\mu_s 衡量表面有多正对恒星，它与观察余弦不同。理想 Lambert 表面向外各方向具有相同辐亮度。为让它把入射功率的 ABA_B 比例反射回去，局部全波段反射辐亮度应当写成：

Iref=ABF⋆πmax⁡(μs,0).I_{\rm ref}=\frac{A_BF_\star}{\pi}\max(\mu_s,0).
再对局部外半球积分，就得到反射通量 ABF⋆max⁡(μs,0)A_BF_\star\max(\mu_s,0)。

可见半球积分里同时出现受光比例与朝向我们的投影。令相位角 α\alpha 表示从行星看去恒星与观察者之间的夹角，均匀球的归一化反射结果为：

ΦL(α)=sin⁡α+(π−α)cos⁡απ,Fp,refF⋆,obs=Ag(Rpa)2ΦL(α),Ag=23AB.\Phi_L(\alpha)=\frac{\sin\alpha+(\pi-\alpha)\cos\alpha}{\pi},\qquad \frac{F_{p,\rm ref}}{F_{\star,\rm obs}}=A_g\left(\frac{R_p}{a}\right)^2\Phi_L(\alpha),\qquad A_g=\frac23A_B.
F⋆,obsF_{\star,\rm obs} 是观察者收到的恒星通量，与轨道处照度不同。几何反照率 AgA_g 比较满相时的亮度与一个参考圆盘。这里它与 Bond 反照率的关系，只适用于均匀 Lambert 反射球。

热模型把这份全波段反射单独列成理想通道。一般大气的 Bond 反照率，并没有规定每个波长的反射比例。分析中红外测量时，还需要真实波段响应，不能任意把这条反射曲线的一部分加进去，就当作已标定的探测器信号。

对应阅读：Nikku Madhusudhan and Adam Burrows, Analytic Models for Albedos, Phase Curves, and Polarization of Reflected Light from Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets

经度图怎样变成卷积

现在先让轨道完全侧向我们，去掉遮食，并取各向同性热辐射。定义从二次合起算的轨道角 ξ=2π(q−1/2)\xi=2\pi(q-1/2)，观察者面对的经度便是 −ξ-\xi。积分中一个纬度余弦来自面积，另一个来自观察角。将它们和选定的光比归一化一起收入经度亮度 J(λ)J(\lambda)，有：

J(λ)=Rp2D2F⋆,obs∫−π/2π/2I(β,λ)cos⁡2β dβ,F(ξ)≡FpF⋆,obs=∫−ππJ(λ)max⁡[cos⁡(λ+ξ),0] dλ.J(\lambda)=\frac{R_p^2}{D^2F_{\star,\rm obs}}\int_{-\pi/2}^{\pi/2}I(\beta,\lambda)\cos^2\beta\,d\beta,\qquad F(\xi)\equiv\frac{F_p}{F_{\star,\rm obs}}=\int_{-\pi}^{\pi}J(\lambda)\max[\cos(\lambda+\xi),0]\,d\lambda.
可见性核很宽，一个时刻有许多经度一起贡献光。

把地图展开成正弦与余弦，就能逐个检查哪些模式留下。每阶模式的系数，要乘该模式与可见性核在半圈上的积分。直接计算得到：

Km=∫−π/2π/2cos⁡(mθ)cos⁡θ dθ,K0=2,K1=π2,K2=23,K3=0,K4=−215.K_m=\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\cos(m\theta)\cos\theta\,d\theta, \qquad K_0=2,\quad K_1=\frac\pi2,\quad K_2=\frac23,\quad K_3=0,\quad K_4=-\frac2{15}.
地图余弦系数在曲线里乘 Kmcos⁡(mξ)K_m\cos(m\xi)；按这里的经度方向，地图正弦系数则乘 −Kmsin⁡(mξ)-K_m\sin(m\xi)。

三阶模式在这组几何条件下完全消失。例如，一幅亮度处处为一的正地图，和另一幅亮度为 1+0.1cos⁡(3λ)1+0.1\cos(3\lambda) 的地图，给出完全相同的相位曲线。要求亮度为正，仍然选不出唯一一幅。平滑偏好可以选出一幅解，那份选择来自先验提供的信息。

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, Inverting Phase Functions to Map Exoplanets · Rodrigo Luger et al., STARRY: Analytic Occultation Light Curves

例题：曲线里少了一阶地图

假设归一化曲线只有常数项、一阶与二阶谐波，和真实数据教程采用的形式一样。把常数除以二，各阶余弦系数除以对应非零的 KmK_m，正弦系数还要反号，就得到一幅经度图。这一步只恢复了所选的模式。

用一组明确合成的数字试算，令曲线没有正弦项，如下式。常数项除以二，得到地图均值 0.0015；一阶余弦除以 K1K_1，得到 0.002/π0.002/\pi；二阶余弦除以 K2K_2，得到 0.0003。

F(ξ)=0.003+0.001cos⁡ξ+0.0002cos⁡2ξ,J(λ)=0.0015+0.002πcos⁡λ+0.0003cos⁡2λ.F(\xi)=0.003+0.001\cos\xi+0.0002\cos2\xi,\qquad J(\lambda)=0.0015+\frac{0.002}{\pi}\cos\lambda+0.0003\cos2\lambda.
二次合相位的光比为 0.0042，半圈以外为 0.0022，分别是百万分之 4200 与 2200。

每个余弦都在负一与一之间，这幅图在任何地方都高于 0.0015−0.002/π−0.0003≃0.0005630.0015-0.002/\pi-0.0003\simeq0.000563。再加 10−4cos⁡3λ10^{-4}\cos3\lambda，仍然处处为正。新增模式的可见性乘子为零，两幅图返回的是整条相同曲线。

WASP-43b 的固定处理产品在条件拟合下给出一幅正的基准经度亮度图。再加一个三阶余弦，振幅取基准最小采样亮度的四成，两幅图仍然为正，理想侧视相位曲线却保持相同。它们是亮度图，没有被转换成局部气体温度，也没有被称为两份热输运方程的解。

食的采样可能区分其中一部分空间差别：恒星边缘逐块扫过行星，而不是每次把整盘一起加起来。实际有限算子检查中，采用到六阶、纬度无关的亮度基，相位采样在约八十二度倾角下仍有四个消失方向；加入食采样后，十三个选定方向都有非零响应。任意二维图还有更多自由度，不能把这项有限基结果推广成一般地图唯一。

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, Inverting Phase Functions to Map Exoplanets · Rodrigo Luger et al., STARRY: Analytic Occultation Light Curves

曝光期间还要再平均

仪器给出的是一个时间窗内的平均值。若把角频率为 ω\omega 的谐波，在时长 Δt\Delta t 的对称均匀曝光内积分，直接得到：

cos⁡(ωt)‾=cos⁡(ωt) sin⁡(ωΔt/2)ωΔt/2.\overline{\cos(\omega t)}=\cos(\omega t)\,\frac{\sin(\omega\Delta t/2)}{\omega\Delta t/2}.
频率趋零时，比值连续趋近一。尖锐的遮食接触需要对完整遮挡信号平均，不能只套谐波公式。

MIRI 这次约十秒的积分，相对十九个半小时的公转，一阶谐波修正很小。入食时信号改变更快，时间积分的影响可能更明显。下一章保留实际采样中点与间隙，注明均匀曝光的近似，再把不确定性沿着曲线传播。

对应阅读：Taylor J. Bell et al., Nightside clouds and disequilibrium chemistry on the hot Jupiter WASP-43b · Rodrigo Luger et al., STARRY: Analytic Occultation Light Curves

练习与解释性答案

  1. 两幅正亮度图只差三阶余弦。在轨道侧视、只看相位曲线的模型中，怎样区分？

    展开解释

    该模式被相位投影核消去。部分食会逐块遮住星盘，可以提供新的敏感性；具体信息还取决于遮挡路径和噪声。

  2. 十秒曝光让入食变得圆滑，拟合者应立即增加空间平滑先验吗？

    展开解释

    先把预测光变在曝光时间内平均。时间积分本来就会磨平变化，应先处理观测过程。

动手检验预测

区分温度峰与总光峰

  1. 选择“热量向东走”并暂停记录。
  2. 在剖面找到最热经度，比较橙色曲线最大值的位置。
  3. 运行到食附近，利用观察者视角解释逐块遮挡怎样增加空间权重。

来源与计算范围

  1. Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets

    2010 年 11 月 1 日第一版。第 2–4 节、第 1–10 与 13 式，图 1 与图 6；第 6 节讨论近似。使用给定平流与辐射冷却，不求解风的动量。

  2. Nicolas B. Cowan and Eric Agol, Inverting Phase Functions to Map Exoplanets

    2008 年 3 月 25 日第一版。第 2 节第 1–4 式，第 3.2 节第 7 式与图 1。侧视、各向同性、无食时的经度卷积与 Fourier 零空间。

  3. Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets

    2010 年 12 月 20 日第二版。第 1 节、第 2.1–2.2 节与第 3 式。有限波段亮度温度、全波段能量与反照率的关系。

  4. Nikku Madhusudhan and Adam Burrows, Analytic Models for Albedos, Phase Curves, and Polarization of Reflected Light from Exoplanets

    2011 年 12 月 19 日第一版。反照率定义、第 3.1 节第 33 式及图 7。Lambert 球的解析相位函数；区分照明与观察方向。

  5. Taylor J. Bell et al., Nightside clouds and disequilibrium chemistry on the hot Jupiter WASP-43b

    2024 年 1 月 23 日预印本第一版；另核读 2024 年 4 月 30 日正式发表版。主图 1–4；观测、裁切、阴影区与 Eureka v1 拟合方法及数据来源。公开产品固定为 Zenodo v1。

  6. Rodrigo Luger et al., STARRY: Analytic Occultation Light Curves

    2018 年 10 月 15 日第一版。第 2.4 节第 16 式，第 3.1 节第 17–20 式，第 3.2–3.3 节与第 4.2 节图 5。旋转、投影及不同遮挡轨迹的地图敏感性。

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