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Sandbox Physics
系外行星的白天与夜晚

AC21 · L2

跟随一团气体穿过夜晚

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一团气体进入黑暗后还能保持温暖，是因为它移动得比散热更快。要算这场竞争，需要沿着气体走，既留意它自身怎样冷却，也留意它走进了怎样的温度分布。

把直射点当作经度零点

纬度记作 β\beta，经度 λ\lambda 从恒星直射点向东增加。这个坐标系叫作恒星直射点参考系：经度零点总在恒星正下方，白天的两条边界分别与它相差直角。取圆轨道，公转平均角速度为 nn，自转轴与轨道轴平行。

星体在惯性系中的自转角速度是 Ωcore\Omega_{\rm core}。大气相对星体的赤道向东风速为 uequ_{\rm eq}，其他纬度的风速按 cos⁡β\cos\beta 缩放。再除以该纬度圆的半径，就得到各纬度相同的风角速度。最后减去公转角速度，才是气体相对直射点的运动：

ωeff=Ωcore+ueqRp−n.\omega_{\rm eff}=\Omega_{\rm core}+\frac{u_{\rm eq}}{R_p}-n.
同步自转表示 Ωcore=n\Omega_{\rm core}=n，大气仍然可以相对星体刮风。

这里直接指定气流，没有求解把风加速起来的压力，也没有求解三维天气。各纬度带只沿自己的圆圈搬运热，纬度带之间不交换热。

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets · Taylor J. Bell and Nicolas B. Cowan, Increased Heat Transport in Ultra-Hot Jupiter Atmospheres Through H2 Dissociation/Recombination

沿着气团的温度变化

面热容量 CC 表示每平方米气层升高一开尔文需要多少热，单位为焦耳每平方米每开尔文。它保持不变时，单位面积储能写作 CTCT。气团温度改变有两种原因：固定位置的温度随时间变了，以及气团流到了另一个经度。把两项相加，就是随气团的导数：

dTdt=∂T∂t+ωeff∂T∂λ.\frac{dT}{dt}=\frac{\partial T}{\partial t}+\omega_{\rm eff}\frac{\partial T}{\partial\lambda}.
偏时间导数盯住一个位置，随体导数跟着气体依次经过不同位置。

在给定经纬度，光线照向表面的垂直比例是 cos⁡βcos⁡λ\cos\beta\cos\lambda；背光时取零。扣掉反射的恒星光，加上给定内部热源，再减去向外的热辐射，就得到温度方程：

C(∂T∂t+ωeff∂T∂λ)=(1−AB)F⋆cos⁡βmax⁡(cos⁡λ,0)+Fint−σT4.C\left(\frac{\partial T}{\partial t}+\omega_{\rm eff}\frac{\partial T}{\partial\lambda}\right) =(1-A_B)F_\star\cos\beta\max(\cos\lambda,0)+F_{\rm int}-\sigma T^4.
各项的量纲都是单位面积的功率。这里热辐射发射率为一，面热容量由配置给定，入射与出射的主要波段分开作有效近似。

输运与辐射都已进入同一个方程。求完以后若再手动把温度抬高，就需要解释补进来的热。内部热写成 σTint4\sigma T_{\rm int}^4，正是为了把这份供热放进计算。

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets

两种不同的冷却时间

先单独研究一团黑暗气体，暂时关闭照明和内部供热。把温度项与时间项分开，再从初温 TiT_i 积分。温度负四次方的积分给出负三次方，得到：

CdTdt=−σT4,∫TiT(t)T−4 dT=−σtC,T(t)=(Ti−3+3σtC)−1/3.C\frac{dT}{dt}=-\sigma T^4,\qquad \int_{T_i}^{T(t)}T^{-4}\,dT=-\frac{\sigma t}{C},\qquad T(t)=\left(T_i^{-3}+\frac{3\sigma t}{C}\right)^{-1/3}.
温度越低，冷却越慢。这份精确暗侧解并不是单一指数函数。

例题取初温 1800 K1800\,\mathrm K，面热容量 107 J m−2K−110^7\,\mathrm{J\,m^{-2}K^{-1}}。经过 20000 s20000\,\mathrm s，约五个半小时，代入后温度约为 1250 K1250\,\mathrm K。独立自适应微分方程求解与解析式相差不到几纳开尔文；这检查了程序怎样计算方程，并没有让单层大气近似获得同样的物理精度。

另一种问题是：平衡温度 Tˉ\bar T 附近，一个很小的温度扰动要多久衰减？把四次方展开，只保留小扰动 δT\delta T 的一次项，恢复系数便是 4σTˉ34\sigma\bar T^3，对应局部线性弛豫时间：

τlin=C4σTˉ3.\tau_{\rm lin}=\frac{C}{4\sigma\bar T^3}.
在 1500 K1500\,\mathrm K、同样面热容量下，这个时间约为 3.63 h3.63\,\mathrm h。

Cowan 与 Agol 对非线性方程采用另一种温度尺度，相应时间为 C/(σT03)C/(\sigma T_0^3)。若参照温度相同，它是局部线性弛豫时间的四倍。使用哪一种定义都可以，但比较平流与辐射时，必须先把这个四分清楚。

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets

用小正弦检验流向

为检查平流方向，先用均匀加热维持参照温度，再叠加振幅为 Q1Q_1 的弱正弦扰动。负半周表示比背景少一点加热，总热源仍为正。令 k=4σTˉ3k=4\sigma\bar T^3，稳态线性方程可以尝试一个偏移角为 δ\delta 的余弦解。把它代回去，分别比较正弦与余弦系数，得到：

CωeffdδTdλ=Q1cos⁡λ−kδT,δT=Q1k2+(Cωeff)2cos⁡(λ−δ),δ=arctan⁡Cωeffk.C\omega_{\rm eff}\frac{d\delta T}{d\lambda}=Q_1\cos\lambda-k\delta T, \qquad \delta T=\frac{Q_1}{\sqrt{k^2+(C\omega_{\rm eff})^2}}\cos(\lambda-\delta), \qquad \delta=\arctan\frac{C\omega_{\rm eff}}{k}.
正流向让小温度峰向东偏移，分母增大则减弱振幅。

取 Q1=20000 W m−2Q_1=20000\,\mathrm{W\,m^{-2}}、Tˉ=1500 K\bar T=1500\,\mathrm K、半径七千万米、同步星体上的风速每秒两千米。算得温度振幅约 24.5 K24.5\,\mathrm K，偏移约二十点五度。扰动仅占参照温度很小一部分，符合线性展开条件。这是独立检验用的线性问题，与默认非线性温度图及其投影亮度峰分别讨论。

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, Inverting Phase Functions to Map Exoplanets

将整颗球加起来

对温度方程作全球积分。经度是周期边界，经度导数积分后两端相减，而两端其实接在一起。热容量保持常数，指定角流速与经度无关，这项平流贡献便在模型中恰好消去。把总储能记作 UU，得到：

U=Rp2∫CT dΩ,dUdt=Labs+Lint−Lthermal.U=R_p^2\int CT\,d\Omega,\qquad \frac{dU}{dt}=L_{\rm abs}+L_{\rm int}-L_{\rm thermal}.
平流重新分布热，辐射与指定热源改变总量。

数值格点代表小块面积的平均。保守算法在一条共享边界上只使用一份热通量：一格流出的，就是下一格流入的，加总时相互抵消。“迎风”表示采用气体来自那一侧的值，风反向时取值方向也反过来。隐式时间步同时求储热、平流与辐射；短冷却时间下可以稳定运行，空间和时间的数值扩散仍需细化检查。

运行时改变 CC，也就改变了温度与储能的关系。保留温度时，总储能会跳变，大小为 ΔC T\Delta C\,T 的面积积分。这是一项外部配置事件，应与之后的加热、冷却分开保存。另开预设则开启一份新的稳态记录，自带新的初始储能。

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets

稳态图里能分开哪些量

圆轨道照明达到稳态以后，偏时间导数为零。热容量和相对角流速只以乘积出现。把热容量加倍、角流速减半，稳态方程和温度图都相同，受到扰动以后的响应时间却可以不同。

默认离散结果的夜侧净热辐射比例约为 0.1390.139。风向反转，温度分布左右镜像；增大热容量，则能让更多暖气沿纬度带走过更长的路。输运很强时，每条纬度带趋近经度均匀，但不同纬度接收的平均星光仍然不同，极区与赤道不会自动同温。

相位曲线再给这幅图加上一层投影，并没有额外直接量一次热容量。下一章从投影推到总光，接着会遇到另一种多解：亮度图不同，光变曲线也可能完全一样。

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, Inverting Phase Functions to Map Exoplanets

练习与解释性答案

  1. 稳态圆轨道模型里，热容量加倍、相对角流速减半，温度图会怎样？

    展开解释

    稳态方程中的乘积不变，温度图保持相同；受到一次扰动后的响应时间却会改变。

  2. 各纬度采用同一角流速。流得极快，就能让整颗球一样热吗？

    展开解释

    气流只把每条纬度带上的照明平均。纬度带接收的平均光不同，又没有经向交换，纬向均匀后仍有纬度差。

动手检验预测

检验稳态热容量与流速退化

  1. 先暂停“热量向东走”，再改变参数。
  2. 热容量加倍、向东风速减半，保持同步自转。
  3. 比较保持相同的剖面，再继续运行，解释为什么这仍是同一稳态。

来源与计算范围

  1. Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets

    2010 年 11 月 1 日第一版。第 2–4 节、第 1–10 与 13 式，图 1 与图 6；第 6 节讨论近似。使用给定平流与辐射冷却，不求解风的动量。

  2. Nicolas B. Cowan and Eric Agol, Inverting Phase Functions to Map Exoplanets

    2008 年 3 月 25 日第一版。第 2 节第 1–4 式，第 3.2 节第 7 式与图 1。侧视、各向同性、无食时的经度卷积与 Fourier 零空间。

  3. Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets

    2010 年 12 月 20 日第二版。第 1 节、第 2.1–2.2 节与第 3 式。有限波段亮度温度、全波段能量与反照率的关系。

  4. Taylor J. Bell and Nicolas B. Cowan, Increased Heat Transport in Ultra-Hot Jupiter Atmospheres Through H2 Dissociation/Recombination

    2018 年 4 月 9 日第二版。第 2.1–2.3 节第 1–8 式，图 1–4。氢解离与复合的理论输热模型，未作为常热容量演示里的化学求解。

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