决定行星温度的两个面积

先算进来多少功率

取半径为 $R_p$ 的球形行星，它与恒星相距 $a$。用 $F_\star$ 表示轨道处的恒星照度，单位为瓦每平方米；面积取与光线垂直的平面。照度说的是单位面积每秒收到多少能量。能打中行星的那束平行光，截面积为 $\pi R_p^2$，之后才铺到弯曲的白天半球上。

Bond 反照率 $A_B$ 表示入射恒星功率中，有多少比例被反射回太空，统计时加总所有波长和方向。余下的才是吸收功率：

恒星的有效温度记作 $T_\star$，半径为 $R_\star$。光向外传播时，总光度穿过越来越大的球面。将同一份总功率除以不同球面的面积，就得到距离带来的稀释：

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets

再让整个球面散热

温度为 $T$ 的黑体表面，每平方米向外辐射的功率为 $\sigma T^4$。先设整颗行星温度相同，并有给定的内部热通量 $F_{\rm int}$。发射面积是 $4\pi R_p^2$。达到平衡时，散出的功率等于吸收的星光加内部供热：

两种面积都与半径平方成正比，所以半径约去。轨道距离仍通过照度影响温度；反照率则在加热之前拿走一部分入射功率。温度取功率的四次方根，因此响应没有功率那样剧烈：忽略内部热时，吸收通量增加十六倍，平衡温度才加倍。

真实行星也许并不处处一样热，这个温度仍可作参照：设想另一颗同面积的均匀球，让它散出同样总热功率，它应当有多热？因为热区对四次方贡献尤其大，这个参照温度通常不等于把各处温度直接求平均。

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets

例题：从给定照度走到温度

采用演示中的固定输入：恒星有效温度 $4520\,\mathrm K$，轨道距离 $a/R_\star=4.88$，反照率 $A_B=0.20$，内部供热取 $F_{\rm int}=\sigma(150\,\mathrm K)^4$。这是一组热木星示例参数，没有用真实 MIRI 光变来拟合它们。

几何稀释给出轨道处约 $9.94\times10^5\,\mathrm{W\,m^{-2}}$ 的照度。先去掉反射的五分之一，再把余下功率摊到整个球面，相当于除以四。加上内部热以后取四次方根，得到 $T_{\rm eq}\simeq1368\,\mathrm K$。

再问恒星正下方的一小块：如果没有水平热输运，它该有多热？光线在这里垂直入射，不需要整球平均中的四。暂时忽略很小的内部供热，结果约为 $1935\,\mathrm K$。另一端完全背光、又没有收到气流送热的小块，则会趋近内部热源对应的 $150\,\mathrm K$。

这两个小块的极限，能帮助判断模型哪里算错了。完全关闭水平输运时，恒星直射区应该明显比背光处热。加入输运以后，温差怎样变化，就要由气体的运动与冷却共同解释。

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets

一组可以复算的非均匀结果

把赤道风速设为 $2000\,\mathrm{m\,s^{-1}}$，星体同步自转，面热容量取 $10^7\,\mathrm{J\,m^{-2}K^{-1}}$，下一章的稳态模型给出约 $735$ 至 $1920\,\mathrm K$ 的格点温度。扣除指定内部供热后，夜侧热辐射约占吸收恒星功率的 $0.139$。

这组结果用一百二十八个经度格、二十四个等面积纬度带生成，独立稀疏求解脚本能复算同一离散稳态。把经度细化到五百一十二格，夜侧比例变为约 $0.1377$。两种分辨率的差异，远大于全局功率守恒的残差。守恒算得很准，仍然可能没有把空间变化分得足够细。

非均匀温度场散出的总功率符合前面的全局方程。不过，观察者从来没有一次看到全部球面。轨道位置不同，朝向我们的各块及其投影权重也不同，这才有下一步的相位曲线。

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, A Model for Thermal Phase Variations of Circular and Eccentric Exoplanets · Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets

光谱中的亮度温度

黑体在每个波长的辐射由 Planck 辐亮度给出。它描述单位投影面积、单位立体角、单位波长的功率；对所有波长积分，才回到 Stefan–Boltzmann 定律。仪器通常只接收一段波长，而且各波长响应并不相同。

亮度温度问的是：黑体需要什么温度，才能在所选波段产生同样的强度？许多冷热小块相加，光谱通常不再对应单一黑体。真实大气中，不同波长还可能从不同压力深度逃出来。光谱给出的亮度温度要连着波段说，也要与这里单层输运模型的温度分开。

取均匀黑体行星，并将恒星的全波段有效辐亮度也设为均匀。两者到我们的距离在光比中约去，余下半径比平方与温度比四次方。红外仪器量到的有限波段光比，应当改用对应的波段积分。想进一步推断行星吸收了多少热，必须把这一步留在计算中。

对应阅读：Nicolas B. Cowan and Eric Agol, The Statistics of Albedo and Heat Recirculation on Hot Exoplanets · Taylor J. Bell et al., Nightside clouds and disequilibrium chemistry on the hot Jupiter WASP-43b