一颗尘粒的温度由什么决定

先给光束放一块有效接光面积

设一束光每平方米携带 $F=1\,\mathrm{W\,m^{-2}}$ 的功率。若物体的吸收截面为 $C_{\mathrm{abs}}=10^{-12}\,\mathrm{m^2}$ ，它从这束光中每秒得到 $10^{-12}\,\mathrm W$ 的热功率。“截面”可以理解成有效接光面积，不必在每个波长都等于几何面积。

面对许多尘粒，常把吸收截面除以尘埃质量，得到吸收不透明度 $\kappa_\nu$ ，单位是 $\mathrm{m^2\,kg^{-1}}$ 。这里一千克指尘埃，不是氢，也不是包含氦的总气体。采用哪一种质量约定，必须从头到尾一致。Lab的教学材料按尘埃质量定义；原生Astrodust表中的每氢核归一化，则要按原资料另外处理。

恒星不是只发一种颜色，因此还需要每赫兹的光谱通量 $F_\nu$ ，单位为 $\mathrm{W\,m^{-2}\,Hz^{-1}}$ 。乘以相应频率的吸收不透明度，再对频率积分，才得到每千克尘埃的加热功率。这里不能改用总消光：散射出去的光并没有把同样的热留给尘粒。

H=\int_0^\infty\kappa_\nu F_\nu\,d\nu,\qquad[H]=\mathrm{W\,kg^{-1}}

这是各向同性材料接收单束光的形式。多个入射方向可以相加；有共同取向的材料，还要分开计算两个电场方向，下一篇再展开。

对应阅读：Hensley & Draine, arXiv:2208.12365v1 (2022) · Dust absorption, heat and polarization: standalone science

尘粒向四周发光，冷却要把方向加起来

普朗克函数 $B_\nu(T)$ 描述热辐射的谱辐亮度：除了面积和频率，还按立体角计，单位为 $\mathrm{W\,m^{-2}\,Hz^{-1}\,sr^{-1}}$ 。对于各向同性材料，一小块尘埃质量朝某个方向每单位立体角发出的功率为 $m\kappa_\nu B_\nu$ 。把所有方向加起来，就有 $4\pi$ 。

这不表示黑色平面的辐射通量要再乘四。平面表面积与尘粒的吸收截面是不同面积。想一颗球：平行光只照到它的投影圆盘，而球的整个表面都能向外辐射。只要面积与角度的约定一致，两种算法给出同一答案。

让每千克尘埃的冷却等于加热，就得到温度方程。这里的材料随温度升高，冷却积分单调增加，所以正加热功率对应唯一的平衡根。求这一个根并不难；难的是方程左边究竟包含了哪些真实入射能量。

H=4\pi\int_0^\infty\kappa_\nu B_\nu(T)\,d\nu

各向同性大尘粒的辐射平衡。Lab的取向张量迹为标量不透明度的三倍，做角平均后也得到这里的标量冷却积分。

对应阅读：Dust absorption, heat and polarization: standalone science

完整算一次：灰色球形尘粒

先把材料简化成所有相关波长都能完全吸收、发射的灰色球。半径为 $a$ ，光束总通量为 $F$ ，吸收功率就是 $\pi a^2F$ ；整个球面辐射功率为 $4\pi a^2\sigma_{\mathrm{SB}}T^4$ 。先约去两边相同的面积因子，再开四次方。

代入 $F=1\,\mathrm{W\,m^{-2}}$ ，得到 $T=45.82\,\mathrm K$ 。把照射通量加倍，温度变为 $54.49\,\mathrm K$ ，只增加到原来的 $2^{1/4}$ 倍。温度越高，散热能力也迅速增强，因此温度不会跟着加热功率成倍增长。

半径能约掉，是因为这个例子在吸光和发光波长上用了相同的灰色效率；真实小颗粒的效率往往与尺寸有关。Lab的材料也不是灰色的：它在约一微米附近转折，在长波侧近似随频率平方增长。这道例题用来检查几何和单位，不用来替换实际材料。

T=\left(\frac{F}{4\sigma_{\mathrm{SB}}}\right)^{1/4}

平行光照射灰色球形尘粒，忽略其他辐射浴。分母中的四，来自球表面积与投影面积之比。

灰色尘粒温度随照射增强缓慢升高。 — 由独立解析图生成程序重算的灰色球形极限，用于检查几何，不是Lab材料的不透明度。

对应阅读：Dust absorption, heat and polarization: standalone science

材料不同，升温的规律也不同

若主要冷却波段内满足 $\kappa_\nu\propto\nu^\beta$ ，可以把 $x=h\nu/(k_{\mathrm B}T)$ 换入普朗克积分。频率的幂次连同积分微元一起，给出冷却正比于 $T^{4+\beta}$ 。当 $\beta=2$ ，就是温度的六次方。

如果照明光谱形状不变，只把整体强度放大，加热功率跟着同比增长，温度便近似按它的 $1/(4+\beta)$ 次方变化。但把云挪位置时，内部遮挡也会改变光谱形状，不能把这个近似当成任意移动都严格成立的公式。

实际计算会把每个单元前方已经吸收过的光谱继续传进去，再做加热积分。同样的总辐射强度，也未必对应相同加热；若颜色变了，材料吸收效率的加权就变了。固定颜色、只调强度的表会漏掉这层变化，受到遮挡的单元需要各自的局部光谱。

对应阅读：Hensley & Draine, arXiv:2208.12365v1 (2022) · Dust absorption, heat and polarization: standalone science

换成波长积分，必须得到同一份功率

每赫兹和每米的光谱密度，不是同一个数字。对应小区间里的功率必须相同，于是当 $\nu=c/\lambda$ 时，有 $F_\lambda=F_\nu c/\lambda^2$ 。两个普朗克函数也按这个雅可比因子转换。不透明度仍是对应频率的截面除以质量，本身不再额外乘一次光谱密度的转换因子。

一个好检查，是分别用频率和波长重新积同一份加热功率。结果相符，才说明坐标转换与积分范围相互一致。只把频率坐标轴改写成波长标签，积分却照旧，是过不了这个检查的。

有限光谱网格还会漏掉两端。科学复算分别给出源光谱和冷却光谱的尾部功率上界。求根残差很小，只能说明所输入的那条方程解得准；如果一开始就漏掉重要的紫外加热，这个小残差不能替它作证。

\int\kappa_\nu F_\nu\,d\nu=\int\kappa_{c/\lambda}F_\lambda\,d\lambda

右侧按波长递增积分，对应左侧反向的频率边界；正的光谱密度已经包含雅可比绝对值。

对应阅读：Dust absorption, heat and polarization: standalone science

方程解出来，还要检查它是否完整

如果云连自身的红外光也大量吸收，尘粒之间就会互相加热，仅计算直接星光便不够。这里要求忽略的红外再吸收功率上界低于千分之一，也限制忽略宇宙微波背景所带来的加热，并只接受声明的暖尘温度范围。

这些检查分别回答不同问题。吸收与发射相等，检查局部冷却平衡；云质量对不对，检查几何积分；图像加密后变多少，检查单元通过规定成像模糊后的空间误差。不能拿其中一个过关，代替其他项目。

试着把质量增加到红外逃逸条件失效。页面会保留上一份有效结果并提示拒绝。即使程序仍能求出温度根，新的条件也已需要加入更多辐射传输过程。读懂这种拒绝，也是模型实验的一部分。

对应阅读：Dust absorption, heat and polarization: standalone science

一颗尘粒的温度由什么决定

先给光束放一块有效接光面积

尘粒向四周发光，冷却要把方向加起来

完整算一次：灰色球形尘粒

材料不同，升温的规律也不同

换成波长积分，必须得到同一份功率

方程解出来，还要检查它是否完整

练习与解释性答案

动手检验预测

沿着同一团尘埃追踪吸光、升温与偏振

来源与计算范围