三个红外波段能分辨几个温度

目录里的一个点，也有光谱约定

SPIRE接收的是一整个波段，不是某个精确波长。目录报告的数值，是假如源光谱满足参照形状 $S_\nu\propto\nu^{-1}$，产生同样带内信号时所对应的单色通量密度。要比较别的光谱，就得先把模型穿过仪器波段积分。

把第 $b$ 个波段的操作记为 $\mathcal B_b$，其中包括相对光谱响应、孔径效率和已声明的波束处理。这里是按频率积分的能量响应，不能再当成光子计数器额外乘 $1/(h\nu)$。教程分别保留点源响应对照和两种扩展图波束近似。

我们使用固定的NGC4254记录：三个SPIRE条目没有质量标记，每个比较情景都读同一份保存行。另两个PACS点有轻度覆盖标记，且这次没有取得相应响应曲线，因此只能放进单独注明的单色敏感性比较。五点结果也要连同这两项条件一起阅读。

对应阅读：Clark et al., DustPedia photometry, arXiv:1708.05335v1 · Griffin et al., SPIRE photometer calibration, arXiv:1306.1778v1 · ESA SPIRE context 14.3 RSRF and aperture-efficiency products

先看看单温模型究竟假设了什么

选择光学薄的修正黑体，并固定不透明度斜率 $\beta$。将形状 $f_\nu(T)$ 归一化后，它在 $250\,\mu\mathrm m$ 对应的参考频率 $\nu_r$ 处等于一；振幅 $A$ 就是以央斯基计的单色模型归一化，尚未经过波段响应。

一个成分预测 $A\mathcal B_b[f_\nu(T)]$。每试一个温度，振幅都可用一参数的非负加权线性拟合求出，再搜索温度，完成这套双参数条件拟合。模型把可能复杂的温度分布压成一个参数，真实发光材料仍可能有许多温度。

主情景采用扩展图波束近似和 $\beta=2$，三点给出的观测系颜色温度约为 $23.54\,\mathrm K$。把斜率改成 $\beta=1.5$，同一份数据得到约 $37.12\,\mathrm K$。材料斜率与热谱位置可以互相补偿，因此必须把斜率选择与温度结果一起报告。

对应阅读：Dust absorption, heat and polarization: standalone science · Clark et al., DustPedia photometry, arXiv:1708.05335v1

加一个温度，数据却还是原来的三个数

改用 $S_\nu=A_1f_\nu(T_1)+A_2f_\nu(T_2)$，两个振幅均非负。即使固定 $\beta$，也已有两个振幅、两个温度，共四个参数；三个波段只给三个数。局部的三行四列雅可比矩阵不可能有四个独立列方向。要求 $T_1<T_2$ 只消除了标签交换，没有消除物理退化。

真实资料程序在 $8$ 到 $80\,\mathrm K$、间隔 $0.25\,\mathrm K$ 的声明网格上搜索温度对，每一对都求两个线性振幅并检查非负。主响应情景中，约 $11.75+33\,\mathrm K$ 与 $15.5+67.5\,\mathrm K$ 的混合都能很好地贴近同样三点。这是在展示不同的可行解释，不是在发现两套真实冷热相。

该情景有 $13\,607$ 个采样温度对，其平方白化距离不超过网格最小值加一。这个数量依赖网格、参数范围、响应与权重，不能叫置信区间或后验概率；这里没有指定先验测度，也没有验证真实资料的完整似然。

参数增加后，真正要问的是新增方向能否被数据区分。更关键的是，模型空间中有些方向，数据根本没有充分约束。优化器若只给出一个漂亮的最优点，很容易把这种无从确定藏起来。

对应阅读：Dust absorption, heat and polarization: standalone science

完整例子：第二个成分没有发光时

双成分模型包含 $A_2=0$ 的单成分极限。这时，无论 $T_2$ 怎样变化，所有预测都不动。第二个温度是不可辨识，不是零开尔文，也不是取允许区间的中点就有了答案。

最初只搜严格正振幅的离散网格，部分情景的残差反而比连续单温最优解略大。这是搜索范围与离散误差造成的，不是嵌套模型加成分后变差。现在保留原网格结果，同时明确比较零振幅边界，最终候选不可能比已知单温解更差。

加入轻度标记PACS点的五波段敏感性情景中，这个边界经常胜出。输出便保留零振幅，把无用成分的温度留为空，不因为程序设了一个槽位就编出冷相或热相。若正振幅网格候选胜出，也只称它为候选，不冒充连续全局最优。

对应阅读：Dust absorption, heat and polarization: standalone science

共同校准误差，不能再当一份独立噪声加上去

目录误差已经把孔径噪声与采用的校准误差按平方相加。若探索跨SPIRE波段共同的校准分量 $c_b$，为了保留原来的边缘方差 $\sigma_b^2$，应先从独立对角线上减掉 $c_b^2$，再加共同外积；剩余对角方差必须为正。

比较采用平方白化距离 $D^2=(\boldsymbol y-\boldsymbol m)^{\mathsf T}C^{-1}(\boldsymbol y-\boldsymbol m)$。它能给声明的候选一个统一距离尺度，但原始行没有提供完整协方差。直接把它叫作校准过的卡方显著性，就加入了并不存在的信息。

共同校准偏移通常让几个波段一起移动，光谱形状变化则改变它们的比例，两者对归一化与颜色的影响不同。相关误差与“每个独立误差都放大一点”会给出不同的权重方向。程序保留这些不同假设，不假称测到了真实协方差。

对应阅读：Clark et al., DustPedia photometry, arXiv:1708.05335v1 · Griffin et al., SPIRE photometer calibration, arXiv:1306.1778v1 · Dust absorption, heat and polarization: standalone science

这个温度属于哪个参考系，振幅又是不是质量

本练习没有固定星系的红移和距离，因此拟合参数只能称观测系颜色温度。对同一红移后的修正黑体形状，有 $T_{\mathrm{rest}}=(1+z)T_{\mathrm{colour}}$。没有定下 $z$，就不能把结果改称物理静止系温度。

把通量归一化换成尘埃质量，还需要距离、按明确质量约定定义的不透明度，以及合适的发射和几何模型。一个以央斯基计的振幅并不等于这些条件都已满足。Lab里逐单元的平衡温度分布，与整座星系分辨不开的双温拟合，也在回答不同问题。

下一篇会实际获取固定源行，检查质量标记，并对同一行做这些比较。看懂同一份观测还容许哪些变化，以及为什么，才能判断一个最优温度有多少信息。

对应阅读：Clark et al., DustPedia photometry, arXiv:1708.05335v1 · Dust absorption, heat and polarization: standalone science