透射光与热辐射的偏振为什么相差九十度

先说朝哪里看，再说偏振朝哪里

选定光的传播方向 $\boldsymbol n$，电场就在垂直于它的平面里振动。给这个平面定两根互相垂直的轴 $\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2$。Lab的红外光沿 $+z$ 到达观察者，因此天空平面是 $x,y$。主画面却是 $x,z$ 侧视投影；看侧面方便拖云，但不会改变实际观察者。

许多波的振动有随机相位，不能直接把电场振幅相加后当成强度。将复振幅与共轭相乘后取平均，得到两行两列的相干矩阵 $J$。按这里的归一化，矩阵迹就是强度或光束功率。两个对角元记录两种线偏振模式的功率；非对角元保留偏好方向斜着放时所需的信息。

Stokes $I$ 是总量；$Q$ 为正，表示第一根轴上的功率较大，为负则第二根较大；$U$ 区分两个斜对角方向。这里采用实的吸收张量，没有产生圆偏振的机制，因此也不从它推断真实观测中圆偏振应当多大。

对应阅读：Hensley & Draine, arXiv:2208.12365v1 (2022) · Dust absorption, heat and polarization: standalone science

把取向差异写进材料

用单位向量 $\boldsymbol b$ 指定取向轴。教学材料的不透明度由标量 $\kappa_0(\nu)$ 乘一个正定张量 $K$。对比参数 $\eta$ 从零到二分之一。沿取向轴的特征值为 $1-\eta$，两个垂直方向都为 $1+\eta/2$。

一束光只用到横向电场，所以先把张量投影到该光束的天空平面。均匀尘埃柱质量为 $\Sigma$ 时，振幅传播矩阵是 $A=\exp[-\kappa_0\Sigma K_\perp/2]$，输出为 $J_{\mathrm{out}}=AJ_{\mathrm{in}}A^\dagger$。指数里的二分之一属于振幅；乘上共轭后已得到强度衰减，不能再把强度透射率平方一次。

这套张量规定了两个方向的吸收差异，没有求辐射力矩怎样让尘粒转起来，也没有计算取向随尺寸的变化或磁流体演化。场方向柄改变的是输入轴；柄的长度只是方向引导，不表示磁场强度。

对应阅读：Dust absorption, heat and polarization: standalone science · Hensley & Draine, arXiv:2208.12365v1 (2022)

算一块均匀薄板：幸存较多与发射较多

把取向轴放在第一根天空轴上，设 $\eta=0.35$，两个模式的不透明度就是 $0.65\kappa_0$ 与 $1.175\kappa_0$。用总强度为一的非偏振光照一块均匀板，每个模式初始分到一半。若参考光深 $\kappa_0\Sigma=1$，输出分别为 $e^{-0.65}/2$ 和 $e^{-1.175}/2$。

相加得 $I=0.415432$，相减再除以总量得 $Q/I=0.256632$。第一种模式吸收少，因此透射光偏向第一根轴。这是可独立验算的均匀板极限，不是对某颗恒星的拟合。

再沿同一方向看同样材料的光学薄热辐射。模式功率正比于各自的吸收能力，而不是透过去剩下的比例，于是 $Q/I=(0.65-1.175)/(0.65+1.175)=-0.287671$。负号表示热辐射的电场轴转向第二根轴，与透射偏振垂直；总强度仍然为正。

整团云需要把不同温度、不同权重的单元加起来，照明光线也未必指向观察者。均匀板例子解释局部符号，并给程序一个解析极限；它不能授权我们把不同光束平面里的角度直接拿来相减。

对应阅读：Dust absorption, heat and polarization: standalone science

为什么转九十度，两个Stokes量都反号

线偏振度为 $p=\sqrt{Q^2+U^2}/I$。只要它非零，电场位置角可写成 $\chi=\tfrac12\operatorname{atan2}(U,Q)$。二分之一来自轴的对称性：一条线转过 $180^\circ$，仍是同一条偏振轴。

固定天空坐标，把整套物理配置绕观察方向主动旋转 $\alpha$，Stokes向量就转过 $2\alpha$。转 $90^\circ$ 后，$Q$ 与 $U$ 同时反号，图像相应旋转，而这套整体旋转的源—云问题中 $I$ 不变。科学复算检验的是整个配置；只转固定云里的取向轴，可能改变吸光，不能要求总强度也不动。

把 $\boldsymbol b$ 反向，$\boldsymbol b\boldsymbol b^{\mathsf T}$ 不变。如果正沿取向轴看过去，横向两个特征值相等，偏振消失。偏振度为零时，位置角没有定义，图像中的方向棒应该消失，而不是显示一个看似精确的角度。

对应阅读：Dust absorption, heat and polarization: standalone science

一个偏振角，为什么还画不出三维磁场

偏振度小，可能是取向轴接近视线，也可能是排列较弱、同一波束内不同方向相互抵消，或者混进了非偏振辐射。教学云只用一个规定轴；真实云不一定这么简单。一个偏振度不能把这些原因全部区分开。

原生Astrodust模型包含随波长变化的材料响应、尺寸分布与拟合取向函数。其偏振截面带符号，也不必遵循这里的简单正对比张量。教学推导与完整材料预测，应该分别看。

在Lab中，可以先选沿视线的取向，再改成斜向。读出实际Stokes结果，而不要把拖动柄当成反演出来的场。真实反演还需要额外的几何与取向假设，并说明它们带来的不确定性。

对应阅读：Hensley & Draine, arXiv:2208.12365v1 (2022) · Dust absorption, heat and polarization: standalone science