把晚到的元素接到气体演化里

先用没有延迟的闭箱检查方程

先取一个独立理想极限：没有流入、没有风，而且只保留快速净产额 $y_i$ 。由上一章可得 $\dot G=-(1-\mathcal R)\psi$ 、 $G\dot Z_i=y_i\psi$ 。两式相除，时间和星形成速率消去，留下气体分数与丰度的关系。

把 $dZ_i/dG=-y_i/[(1-\mathcal R)G]$ 从初始气体 $G_0$ 积到 $G$ ，便得到对数。这里用自然对数 $\ln$ ，与丰度方括号的十进对数不同。初始丰度 $Z_{i,0}$ 要保留。

例题取铁净产额 $0.000246$ 、归还比例0.4、初始铁分数 $10^{-6}$ 。当气体剩下一半，新增铁分数为 $(0.000246/0.6)\ln2=0.000284190$ ；加上初值，得到 $0.000285190$ 。如果把预先存在的铁当成零，得到的起点就已经换了。

Z_i=Z_{i,0}+\frac{y_i}{1-\mathcal R}\ln\frac{G_0}{G}

这个关系不要求先指定星形成的具体快慢，但要求上述闭箱与快速回收条件成立。

对应阅读：Weinberg, Andrews & Freudenburg, Equilibrium and Non-Equilibrium Aspects of Galactic Chemical Evolution, arXiv:1604.07435v1 · Independent one-zone chemical-evolution Python materials

加一条均匀风，为什么还要说明比较方式

保留恒定风携带比例 $\eta$ 、仍没有流入，快速源满足 $\dot G=-(1-\mathcal R+\eta)\psi$ 。同样积分可得下面的式子。

若保持剩余气体比例相同，分母随风增强而增大，新增丰度较低。若保持星形成总量或时刻相同，强风留下的气体更少，对数又会增大；这两种变化要一起计算。

取初始气体十亿太阳质量，在一十亿年内按同一恒定速率形成三亿太阳质量恒星。无风时剩8.2亿太阳质量，风携带比例为1时剩5.2亿。快速铁理想解分别给出 $8.2365\times10^{-5}$ 和 $1.01541\times10^{-4}$ ，强风这一组反而较富铁。两组都等到气体剩一半时，顺序则相反。

Z_i=Z_{i,0}+\frac{y_i}{1-\mathcal R+\eta}\ln\frac{G_0}{G}

风从当时的混合物取走金属；推导没有使用选择性喷出刚合成金属的假设。

对应阅读：Weinberg, Andrews & Freudenburg, Equilibrium and Non-Equilibrium Aspects of Galactic Chemical Evolution, arXiv:1604.07435v1 · Independent one-zone chemical-evolution Python materials

给一代恒星规定送达时间

用 $D(\tau)$ 描述某一代恒星出生后，年龄为 $\tau$ 时的相对供给。 $D(\tau)d\tau$ 是这个小年龄区间占完整延迟供给的比例，因而 $D$ 的单位是时间的倒数。它不是每颗恒星必发生一次超新星的概率。

本系列采用 $D\propto\tau^{-1.1}$ ，只在0.15至15十亿年内非零。先用无量纲年龄 $u=\tau/(1\,\mathrm{Gyr})$ 计算归一化常数 $A$ ，再恢复时间单位。净Ia产额已经含有整代恒星的元素供给幅度，不另乘一次事件数归一化。

累积函数 $F(a)$ 表示一代年龄达到 $a$ 时，已经送达多少比例。到8十亿年约为0.889076；余下供给属于更晚的延迟范围。把计算止于8十亿年，不等于把归一化上限也改成8。

\begin{aligned}D(\tau)&=\frac{A}{\mathrm{Gyr}}u^{-1.1},\quad0.15\le u\le15\\A&=\frac{0.1}{0.15^{-0.1}-15^{-0.1}}\end{aligned}

区间外的核为零。核积分为1；各时刻的供给速率仍受过去形成了多少恒星控制。

F(a)=\frac{0.15^{-0.1}-(a/\mathrm{Gyr})^{-0.1}}{0.15^{-0.1}-15^{-0.1}}

本式用于

0.15<a/\mathrm{Gyr}<15

。更早取0，更晚取1。

对应阅读：VICE v1.3.1 fixed effective yields and solar reference · Weinberg, Andrews & Freudenburg, Equilibrium and Non-Equilibrium Aspects of Galactic Chemical Evolution, arXiv:1604.07435v1

把各代恒星的贡献相加

在出生时刻 $b$ 附近，一小段时间形成 $\psi(b)db$ 的恒星。它们到了当前时刻 $t$ ，年龄为 $t-b$ ，贡献速率与 $D(t-b)$ 成比例。把所有过去出生的小段相加，就是积分。

换成延迟年龄 $\tau=t-b$ ，同一个积分也可以写成下面的卷积形式。“卷积”在这里就是按过去形成的量与今天对应的年龄权重相乘，再相加。 $C$ 单位与星形成速率相同。

例题用一个瞬时形成 $10^6\,\mathrm M_\odot$ 恒星的理想单代。在年龄0.10十亿年时，它没有Ia供给；到年龄8十亿年，按积分净产额计算，已经供给约 $2580\times0.889076=2293.82\,\mathrm M_\odot$ 新铁。另有约 $8.83\times0.889076=7.85054\,\mathrm M_\odot$ 新镁。它们是累计新生产量，还没有扣除之后锁入恒星或被风带走的部分。