用同一份颗粒记录生成热辐射图与光谱

光学律把轨道动力学连接到温度

先选一个可控吸收律：波长远短于颗粒周长时效率趋近一，长波处按幂律下降。这是教学边界，不是矿物鉴定。默认指数为一；恒星加热与颗粒冷却使用同一个函数，纯吸收动量模型也用其恒星谱平均值计算beta。

将吸收的恒星功率与颗粒的辐射功率相等。恒星作为黑体，半径由光度与温度一致地求出，辐亮度再按颗粒实际距离稀释。约掉颗粒面积后，得到两个Planck积分之间的平衡式。长波发射不够有效的小颗粒，可能比同处的黑体更热。

Q_{\rm abs}(s,\lambda)=\min\!\left[1,\left(\frac{2\pi s}{\lambda}\right)^p\right],\qquad L_\star=4\pi R_\star^2\sigma T_\star^4

所有光学预测都继承给定指数与忽略散射的假设。

\left(\frac{R_\star}{2r}\right)^2\int_0^\infty Q_{\rm abs}B_\lambda(T_\star)\,d\lambda=\int_0^\infty Q_{\rm abs}B_\lambda(T_s)\,d\lambda

四的因子来自投影吸收面积与整个表面发射面积的差别。

对应阅读：

计算在一纳米到一米之间，对数波长积分。改用对数变量必须带上波长Jacobian；漏掉它，曲线即使平滑，也已经不是原来的物理积分。独立的高分辨率积分恢复了黑体积分恒等式与黑体平衡温度。

浏览器只对有界径向表中的平衡温度插值，没有对轨迹和尘埃总体插值。保留的检验半径不在建表节点上，与四倍加密积分比较。拖动行星时，也没有隐藏的动力学代理；0.2到160天文单位以外的温度属于声明域外。

一个可独立计算的例子：太阳光度恒星外20天文单位的黑体约为62.2开尔文，移到80天文单位后温度减半。小颗粒则要解效率加权平衡式；若改变粒径时仍强行保持黑体温度，就会抹掉一部分随波长变化的形态。

\int_0^\infty B_\lambda(T)\,d\lambda=\frac{\sigma T^4}{\pi},\qquad T_{\rm BB}=\left(\frac{L_\star}{16\pi\sigma r^2}\right)^{1/4}

前一式独立检查有限积分，后一式只在效率为一时成立。

对应阅读：

光学薄条件下，各颗粒独立发射。单颗粒谱光度为表面积乘pi及辐亮度，除以包围观测者距离的球面面积后，剩下颗粒投影面积乘辐亮度、再除以距离平方。乘上物理颗粒数，就得到该加权粒子的流量；全体求和给出合成谱分布。

横轴虽然可以标波长，纵轴仍是每单位频率的流量密度，单位为jansky。总辐射积分要用频率测度，或在换到波长后带上正确Jacobian。不能沿对数波长轴把数值直接相加当作光度。宽仪器通带和单色预测也有区别；教程使用发表流量的单色约定，并说明没有重做全部通带标定。

f_{\nu,i}=\frac{N_i\pi s_i^2Q_{\rm abs}(s_i,\nu)B_\nu(T_i)}{D^2},\qquad F_\nu=\sum_i f_{\nu,i}

一jansky等于每平方米每赫兹十的负二十六次方瓦。

F_\lambda=F_\nu\frac{c}{\lambda^2},\qquad F_{\rm bol}=\int F_\nu\,d\nu=\int F_\lambda\,d\lambda

频率谱密度与波长谱密度是不同量。

对应阅读：

固定天空方向为东在左、北在上。按声明倾角旋转三维位置，将每个粒子的流量放入像素，并把视场外流量另记为图像边缘损失。这里不会用理想环带替换当前记录。主场景为清楚起见，只显示1.5微米以上颗粒；热辐射求和保留全部已解析粒径箱。

离散束核的总和为一，图像足够大时就保留像素流量总和。有限边缘会漏出流量，记录它，闭合检验才有意义。扩大视场、改变像素大小后，总流量应在漏失与离散误差内恢复一致。束平滑改变外观和空间信息，不会改变物理颗粒温度。

P_j=\sum_{i\mapsto j}f_{\nu,i},\quad I_{\nu,j}=\frac{P_j}{\Omega_{\rm pix}},\quad P_j^{\rm conv}=\sum_kK_{j-k}P_k,\quad\sum_kK_k=1

像素流量单位为Jy/pixel；除以像素立体角才得到每球面度的Jy。归一化卷积仍保留像素流量约定。

对应阅读：

HD48682恢复图的高斯束约为7.21乘6.85角秒，方像素边长约0.624角秒。一个束立体角覆盖约144个像素立体角。Jy/beam数值不是单像素流量，未经换算直接求和，会把总流量放大约同样的倍数。

教程实际读取FITS头，包括赤经方向的负增量、束位置角和连续谱参考频率，也屏蔽非有限边缘像素。连续谱坐标轴的参考频率没有被附近的静止频率关键词悄悄替代。转换成像素流量后，孔径求和才有明确单位，模型也才能按真实椭圆束卷积。

CLEAN恢复图的像素噪声相关，缺失干涉短基线还可能滤去扩展辐射。束面积加权可以构造有用的条件诊断，却不会把每个像素变成独立高斯测量。练习给出条件比较，不给行星或唯一盘几何的校准置信区间。

\Omega_b=\frac{\pi\theta_{\rm maj}\theta_{\rm min}}{4\ln2},\qquad P_j[\mathrm{Jy/pixel}]=I_j[\mathrm{Jy/beam}]\frac{\Omega_{\rm pix}}{\Omega_b}

计算立体角时角度须用弧度；仅有和为一的卷积核不会完成此换算。

最小粒径、光学指数和环带半径可以在光谱拟合中相互补偿。空间图像带来额外信息，但弱信号和宽束仍可能保留多组近似解释。两种预测必须使用同一个物理总体，在需要时加入恒星辐射，并先看残差，再比较得分。

公开练习既保留较灵活的颗粒模型，也保留刻意受限的黑体替代模型。后者若拟合不好，应拒绝这个条件模型，不能强迫数据配合；前者即使拟合成功，也继承恒星、颗粒律、尺寸范围、几何与噪声处理的假设。下一页把这些要求变成可独立运行的平目录计算，保存原始输入与预期输出。

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