先选定一颗颗粒，再考虑图像
取半径为s、材料密度为rho的球形颗粒。质量按半径的三次方增加，投影吸收面积却只按二次方增加。固定恒星与距离，把辐射力除以引力，两者共有的距离平方反比就消掉了，留下无量纲的beta。
光学效率必须按入射恒星谱加权。本课程采用纯吸收的教学光学律和黑体恒星，所以动量效率等于吸收效率；真实散射会改变这个关系。beta并不是只要输入半径、就能脱离恒星与材料得到的普适数表。这里密度取每立方米2700千克，默认恒星具有太阳质量与光度。
对应阅读：REBOUNDx 5.1.0 · radiation forces and physical light speed
从圆轨母体释放
先让较大母体在半径r处，近似只受恒星引力而做圆周运动。碎片继承圆轨速度。释放后，辐射压立刻减弱它的中心吸引，却没有立刻减小继承的速度。把这个速度放入新的单位质量轨道能量，就能直接得到逃逸判据。
beta小于二分之一时，新的二体轨道仍有界，释放点成为近心点；等于二分之一时能量为零，更大时能量为正。这个常见阈值要求母体为圆轨、碎片速度踢动可忽略。偏心母体或带踢动的释放，应该检查实际位置和速度，不能习惯性套用同一阈值。
对应阅读：
完整例题：同一释放点，不同远游范围
在20天文单位处释放一颗beta为0.2、没有额外踢动的颗粒。新半长轴为26.7天文单位，偏心率为0.25；近心距仍为20，远心距却到达33.3。一圈母体本身就能供给更宽的尘埃光晕，无需额外行星。
若同样释放的颗粒beta为0.6，新的二体能量为正。它并不会在释放瞬间消失；计算继续跟踪，直到它越过声明的160天文单位外域边界。离去过程中，它仍可能为天图贡献热辐射。质量账本把这记为外域穿越，另用能量诊断说明穿越时是否无界。
这个例子提醒我们：宽光晕可以来自轴对称释放后的辐射动力学。看到盘外有尘埃，并不能直接认定行星把它散射了出去。先比较没有行星的预设，再讨论额外机制。
对应阅读：
破碎级联为什么可能接近某个斜率？
暂时放下有限释放，考虑理想稳态级联。假设相对速度与灾变强度不随粒径改变、碎片律自相似、主要由相近粒径的投射物破坏目标，而且供给与损失的尺度相隔很远。若每单位半径的颗粒数服从幂律，每个对数粒径区间的数量会多一个半径因子，质量再多三个。
目标的碰撞率等于同级数量密度乘截面与速度。用它乘该区间质量，可得沿尺度向下流动的质量率；要求它不随尺度改变，便得到七除以二，也就是三点五的指数。尺寸相关强度、最小粒径附近的辐射清除，以及跨很远尺度的碰撞，都可能改变推导。有限云团不因初始采用这个指数就自动达到了稳态。Dohnanyi的1968年报告区分了简化质量指数十一除以六与表III更完整的数值结果；其中质量指数1.837对应半径指数3.511。本章七除以二是声明的尺度极限，不是把原始碰撞模型一律说成精确3.5。
对应阅读：Stark & Kuchner 2009 · collisional grooming, fixed arXiv 0909.2227v1 · Dohnanyi 1968 · NASA-CR-99280, sections III–IV and Table III
实验真正初始化了什么？
生产实验包含八个已解析代表半径，约从0.173到379微米。初始有限释放谱采用相同的数值指数；这是给定初值，不是算出来的稳态。每个加权粒子携带物理颗粒数，总截面由初始法向光学厚度归一化，开始后不再持续注入。
随后，真实的灾变遭遇在粒径箱之间转移质量，辐射让颗粒在空间中分离，开放边界带走物质。下一章会明确写出每一笔转移。判断稳态级联，需要检验质量流是否稳定，以及改变初始斜率后是否仍趋近同一分布。
对应阅读：