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Sandbox Physics
从颗粒碰撞走到碎屑盘辐射证据

AC16 · L2

把碎片质量账本与轨道输运接起来

Sandbox Physics ·

耦合计算必须让碰撞改变后来生成图像的那批颗粒。先把一次遭遇的账算完整，再讨论整片盘。

原点跟随恒星，但坐标轴不旋转

动力学采用天文单位、儒略年和太阳质量，引力常数从SI换算。恒星受到指定Kepler行星的加速；从颗粒惯性加速度中扣除这部分，才得到恒星坐标系的间接项。漏掉它，即使图上行星位置合理，颗粒轨迹也已经不符合选定坐标系。

行星平均运动采用恒星与行星的总质量，颗粒中心引力则按辐射压减弱。PR拖曳保留真实光速，径向和横向运动都参与其负功。这里的PR过程较慢，画面加快的是时间，不是暗中增强拖曳。

r¨=−GM⋆(1−β)rr3+GMp[Rp−r∣Rp−r∣3−RpRp3]−βGM⋆cr2(vrr^+v)\ddot{\mathbf r}=-\frac{GM_\star(1-\beta)\mathbf r}{r^3}+GM_p\left[\frac{\mathbf R_p-\mathbf r}{|\mathbf R_p-\mathbf r|^3}-\frac{\mathbf R_p}{R_p^3}\right]-\frac{\beta GM_\star}{cr^2}\left(v_r\hat{\mathbf r}+\mathbf v\right)
位置与速度均相对恒星；最后一项是光速一阶的PR加速度。
aPR ⁣⋅ ⁣v=−βGM⋆cr2(vr2+v2)≤0\mathbf a_{\rm PR}\!\cdot\!\mathbf v=-\frac{\beta GM_\star}{cr^2}(v_r^2+v^2)\leq0
PR功率非正，但行星仍可改变颗粒的轨道能量。

对应阅读：REBOUNDx 5.1.0 · radiation forces and physical light speed

同一次碰撞，只数一次

每个加权粒子代表同一粒径、同一速度的大量物理颗粒。在有限空间格中，两种不同总体的遭遇率正比于双方颗粒数的乘积；同一总体内的配对无序，对角率要有二分之一因子，每个事件还必须扣除两颗。把两个顺序都处理一次，就会把质量流翻倍。

计算逐一遍历不同加权粒子的无序对。一次统计事件同时从双方扣除较小的可用颗粒数；事件概率是物理率乘子步长，再除以这个统计权重。每颗粒的所有灾变风险相加后，把碰撞子步限制在0.05以内。同一速度的单个总体不发生破坏性的自碰撞，不同速度的同粒径流仍可相撞。

有限空间格还有一处陷阱：直接减去不同方位处的速度，会把平滑Kepler剪切误作局部相对运动。计算先把柱坐标中的扰动速度映到共同位置，再求相对速度；完全冷的圆轨流因而不会凭空破碎。映射本身是数值近似，它造成的动量和动能变化另行记录。

Cij=NiNjVπ(si+sj)2vij,i≠j;Cii=Ni(Ni−1)2Vπ(2si)2viiC_{ij}=\frac{N_iN_j}{V}\pi(s_i+s_j)^2v_{ij},\quad i\ne j;\qquad C_{ii}=\frac{N_i(N_i-1)}{2V}\pi(2s_i)^2v_{ii}
非对角事件各扣一颗，对角事件从同一总体扣两颗。

对应阅读：

对碎片质量积分，不是对标签分配

一次灾变合并双方被破坏的质量。教学阈值取每千克10焦耳，作用于质心系相对动能除以合并质量。能量不足的遭遇被忽略，这里没有隐藏的弹性散射或撞击坑模型。

通过阈值后，碎片数量律指数取3.5，范围从0.01微米到合并等体积半径的一半。某个半径区间中的质量，要积分半径三次方乘数量律。低于0.1微米已解析边缘的部分进入明确的subgrid储库；先对每个截断区间积分再归一化，才能让总质量闭合。

粒径箱比较粗。连续碎片上限落在母体箱内部时，部分质量可能仍分配到同一代表箱；代表半径不意味着该区间所有碎片真的具有那一个半径。粒径加密对热辐射和输运的影响，属于需要检验的离散误差。

Qimp=mimj2(mi+mj)2vij2,Qimp≥QD=10 J kg−1Q_{\rm imp}=\frac{m_im_j}{2(m_i+m_j)^2}v_{ij}^2,\qquad Q_{\rm imp}\geq Q_D=10\,\mathrm{J\,kg^{-1}}
这是声明的合成材料律，不是对某种矿物强度的实测。
fk=∫max⁡(sk,−,smin⁡)min⁡(sk,+,smax⁡)s3−qf ds∫smin⁡smax⁡s3−qf ds,fsub+∑kfk=1f_k=\frac{\int_{\max(s_{k,-},s_{\min})}^{\min(s_{k,+},s_{\max})}s^{3-q_f}\,ds}{\int_{s_{\min}}^{s_{\max}}s^{3-q_f}\,ds},\qquad f_{\rm sub}+\sum_k f_k=1
没有重叠的区间贡献为零；给定指数下，原函数正比于半径平方根。

对应阅读：Stark & Kuchner 2009 · collisional grooming, fixed arXiv 0909.2227v1

完整例题：质量与动能一起跟踪

让两颗等质量颗粒分别以每秒100米相向运动。相对速度为每秒200米，质心系冲击能按合并质量归一后是每千克5000焦耳。先支付每千克10焦耳的破裂预算；剩余相对动能的十分之一进入对称碎片踢动，其余记为内部能。质心速度保持为零。

每个粒径贡献分成两个相反踢动方向。加上未解析物质，局部事件的质量与质心动量精确闭合，动能、破裂能和内部能之和也闭合；质心若在移动，其平移动能仍保留。这个局部陈述不等于全局机械能守恒：碎片改变beta，行星做功，PR耗散，空间映射还带来单独记录的数值变化。

对应阅读：

共振需要一个角度，不只需要一个半径

外侧2:1整比意味着颗粒转一圈时，行星大约转两圈。用辐射减弱后的颗粒中心质量，以及行星总质量时钟配平均运动，得到名义半长轴。它只是位置预期，不保证发生捕获。行星半长轴13天文单位、采用最大代表颗粒时，名义位置约为20.6天文单位。

临界角组合颗粒平均经度、行星平均经度与颗粒近心点方向。若持续环绕，相遇几何会扫过所有相位；若有界摆动，则在观察时窗内出现有组织的相位演化。独立保守参照从20.9209天文单位、偏心率0.15、临界角pi开始，150个行星周期内范围为4.69188弧度；同一初态去掉行星后，解包裹角度环绕20.8150弧度。这些是该参照有限时窗的结果，不代表整个碰撞云，也不证明永久稳定。

nnp=12,a2:1=ap[M⋆(1−β)M⋆+Mp]1/322/3\frac{n}{n_p}=\frac12,\qquad a_{2:1}=a_p\left[\frac{M_\star(1-\beta)}{M_\star+M_p}\right]^{1/3}2^{2/3}
名义位置会随颗粒辐射压改变。
ϕ=2λ−λp−ϖ\phi=2\lambda-\lambda_p-\varpi
瞬时椭圆根数使用减弱后的中心质量；无界颗粒不应被强行赋予椭圆平均经度。

对应阅读：REBOUNDx 5.1.0 · radiation forces and physical light speed · Han et al. · ARKS II, arXiv 2601.13670v1

什么守恒？先说清开关条件

把当前质量与外域、内边界、subgrid及数值停止储库相加，应等于初始质量加上明确声明的注入。生产记录没有后续注入。近行星数值停止不被写成真实吸积，外域穿越也不自动叫作逃逸。

圆形指定行星、固定beta、关闭PR和碰撞时，旋转Hamilton量保持常数；没有行星时，减弱中心势中的二体能量保持常数。偏心驱动或用户正在拖动轨道时，不能原样搬用这些检查。独立IAS15轨迹进一步检查了含间接项和PR的实际力。

M0+Minj=Mactive+Mouter+Minner+Msub+MnumericalM_0+M_{\rm inj}=M_{\rm active}+M_{\rm outer}+M_{\rm inner}+M_{\rm sub}+M_{\rm numerical}
质量误差必须包含所有储库，而不只看画面中的颗粒。
J=12v2−GM⋆(1−β)r−GMp∣r−Rp∣+GMpr ⁣⋅ ⁣RpRp3−np(r×v)z\mathcal J=\frac12v^2-\frac{GM_\star(1-\beta)}r-\frac{GM_p}{|\mathbf r-\mathbf R_p|}+\frac{GM_p\mathbf r\!\cdot\!\mathbf R_p}{R_p^3}-n_p(\mathbf r\times\mathbf v)_z
只适用于已经说明的圆形、旋转定常驱动与保守力条件。

对应阅读：REBOUNDx 5.1.0 · radiation forces and physical light speed

重采样是数值操作，不是物理碰撞

有限粒子预算避免数量失控。程序按粒径抽样，再校正速度均值与离散；压缩前后的质量、线动量与动能因此一致。但引力势能、角动量、空间结构和高阶速度矩不会因此自动保留。原始跳变与校正后跳变意义不同，必须分别保存。

全母体反例说明了风险：固定质量破成小颗粒后，总截面与碰撞风险可以显著上升。碰撞算子变得刚性、或光学厚度超界时，应停止并报告有限记录，而不是为了画面方便随意减慢碰撞。保存的加密比较会改变时间步、粒子数、空间格和随机种子，再检查密度矩与辐射流量。共振团块是否收敛，还要看这些加密之后的密度结构是否稳定。

对应阅读：

不打开Lab也能检查的保存计算

太阳参数恒星，行星质量为太阳的0.003倍，圆轨半长轴13天文单位，初始法向光学厚度0.0003。八个粒径箱，384个初始加权粒子，RK4每行星周期128步，有限格灾变碰撞，每粒径箱128个压缩预算。代表记录经历了八个行星周期。

量保存结果解释
经过时间374.42 yr374.42\,\mathrm{yr}真实的有限积分时窗
加权碰撞事件590统计包事件，不是单颗粒事件数
最大法向光学厚度0.0019440.001944有限格柱密度估计
最大原始动能压缩跳变3.16%3.16\%显式速度矩校正之前
保守参照临界角范围4.6919 rad4.6919\,\mathrm{rad}独立150周期记录，不代表整个碰撞云

随机四周期加密比较中，850微米流量变化约0.7至4.0%，70微米约8.7至32%。质心与低阶密度矩变化足够大，不能把单个云团块作为已收敛的行星推断。独立保守参照只建立了指定初态、保存150周期窗内的临界角有界行为。

检查实际加密记录 · 检查全母体有限压力反例

检查正在演化的碰撞记录

  1. 载入较密释放，运行后导出物理总体与各质量储库。
  2. 比较冻结保守角度参照与演化云，分别说明两份记录支持什么。

练习与解释性答案

  1. 六颗同类颗粒有多少无序对？发生两次对角碰撞后还剩多少颗？

    展开解释

    无序对有十五个，每次对角事件消耗两颗，因此两次后剩两颗。若把三十个有序对都算进去，就会重复统计。

  2. 重采样严格保留动能，为什么图像仍可能变化？

    展开解释

    被选中的位置，以及位置、粒径与速度之间的相关性仍可能改变。温度依赖距离，像素依赖投影位置；保留几个速度矩，不足以保留一整幅辐射图。

来源与计算范围

  1. Stark & Kuchner 2009 · collisional grooming, fixed arXiv 0909.2227v1

    核读原文第II.1至II.4、III与IV节，涉及局部率、格点噪声与碎片重分配边界。本题加权初值算子没有复现其稳态流求解器。

  2. REBOUNDx 5.1.0 · radiation forces and physical light speed

    官方力文档与例子；独立记录实际运行REBOUND 5.2.2 IAS15与REBOUNDx 5.1.0，采用真实光速PR，并将质心坐标转换到恒星坐标。

  3. Han et al. · ARKS II, arXiv 2601.13670v1

    固定2026年1月20日全文入口，对应已发表A&A705A196。核读第2、4.3至4.5节、图8与附录H；不声称复现ARKS数据或发现行星。

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