角动量怎样把轨道形状与倾角连起来

先看行星沿轨道横向运动的多少

考虑质量可以忽略的行星。位置与速度都相对于中心恒星测量，坐标轴本身不转动。两者的叉积叫作比角动量，其中“比”表示已经除以行星质量。它垂直于瞬时轨道平面。

行星经过近心点时，径向速度恰好为零，速度完全沿横向。角动量大小便等于近心距乘以此处速度。把速度写成角动量除以近心距，再代入开普勒能量；最后使用椭圆近心距与半长轴的关系，就能得到下面的恒等式。

固定半长轴时，圆轨道拥有最大的角动量。偏心率达到零点八的椭圆，只剩同尺度圆轨道六成的角动量。行星在远处停留很久，随后迅速掠过近心点；叉积始终记录着这份横向运动。

\boldsymbol h=\boldsymbol r\times\boldsymbol v,\qquad E=\frac{v^2}{2}-\frac{GM}{r}=-\frac{GM}{2a}

位置、速度和能量均相对于中心恒星。能量等式对孤立的开普勒轨道成立。

q=a(1-e),\quad v_q=\frac{h}{q},\quad \frac{h^2}{2q^2}-\frac{GM}{q}=-\frac{GM}{2a}\quad\Longrightarrow\quad h^2=GMa(1-e^2)

在近心点代入速度，便得到偏心率与角动量的关系；这里没有把椭圆速度误当成圆轨道速度。

把内外两条轨道上的快速运动都平均掉后，圆外轨的引力作用具有绕轴对称性。让整个内轨椭圆绕外轨轴转动，平均相互作用能不会变化，对应的角动量分量便守恒。

用同半长轴圆轨道的角动量来归一化，所得向量长度就是一减偏心率平方的平方根。互倾角是这个向量与外轨轴的夹角。于是沿外轨轴的投影，等于向量长度乘以倾角余弦。

默认初始偏心率为零点零五、互倾角为六十五度，固定投影约为零点四二二零九。假如偏心率后来升至零点八，角动量长度只剩零点六，互倾角便要降到约四十五点三度。轨道变细长时，平面也随之转动。

单靠投影关系还能得到一个几何上限：向量的总长度不能小于任何分量的绝对值。默认参数下，它允许偏心率接近零点九零七。但实际平均演化的最大值只有约零点八三八九零九；完整的引力哈密顿量还施加了更强的限制，下一章会继续推导。

\boldsymbol j=\frac{\boldsymbol h}{\sqrt{GMa}},\quad j=\sqrt{1-e^2},\quad j_\parallel=\boldsymbol j\cdot\hat{\boldsymbol n}_2=\sqrt{1-e^2}\cos i

轴向由外轨单位法向量定义。这里的倾角是两条轨道之间的夹角，不是相对于观测者天空的倾角。

j_\parallel=\sqrt{1-0.05^2}\cos65^\circ=0.422090,\qquad \cos i=\frac{0.422090}{0.600}

此例采用顺行轨道，并保持圆外轨双平均模型的轴向投影。

e\leq\sqrt{1-j_\parallel^2}

这是必要的几何条件，尚未用尽平均哈密顿量的约束。

这个保守平均模型保持半长轴不变。偏心率从零点零五升到零点八时，近心距从半长轴的零点九五倍减至零点二倍，远心距则从一点零五倍增至一点八倍。行星可以靠近恒星，而椭圆的总体尺度仍然相同。

若要让这些近距离经过形成短周期行星，还需要移走轨道能量。潮汐迁移设想中，承担这件事的是潮汐耗散。保守的相对论近心点进动只转动椭圆方向，并不耗散能量。判断迁移需要继续追踪能量与半长轴的长期变化。

直接三体积分中，瞬时密切半长轴也会有小幅变化。密切轨道是用当时的位置和速度拟合的开普勒椭圆，它与平均理论中固定的轨道作用量有所不同。读数据曲线时，要留意采用的是哪一种描述。

q=a(1-e),\qquad Q=a(1+e)

固定半长轴，近心点与远心点便向相反方向移动。

伴星对内系统的差分加速度，正比于内轨尺度，反比于外轨距离的三次方。平均摄动势具有下面的尺度。用圆轨道角动量除以这个势，便得到特征世俗时间。

本组计算令引力常数、两颗恒星质量和初始内轨半长轴都为一。内轨平均运动角速度为一，周期约为六点二八个时间单位。外轨距离为十二时，伴星相对于中心恒星的周期约为一百八十四点六八七，世俗时间则为一千七百二十八。默认保存轨迹的一次偏心率循环大约需要五个世俗时间。

外轨相对运动的开普勒时钟使用两颗恒星的质量之和；测试粒子的内轨时钟使用中心恒星质量。忽略这项区别，快相位就会改变，两组直接积分也无法保持一致。扩大外轨距离时，摄动力矩减弱得比外轨周期增长快得多。

当两个公转周期都远短于角动量明显变化的时间时，平均通常更可靠。高偏心率状态下，一次外轨公转就可能显著改变内轨角动量，即使半长轴看起来仍相隔很远。第三章会用实际保存的轨迹检验这个近似。

\Phi_0=\frac{Gm_2a_1^2}{a_2^3},\qquad t_K=\frac{\sqrt{GMa_1}}{\Phi_0}=\frac{1}{n_1}\frac{M}{m_2}\left(\frac{a_2}{a_1}\right)^3

外轨为圆。这个定义固定了本组所有平均方程的时间归一化。

n_1=\sqrt{\frac{GM}{a_1^3}},\quad n_2=\sqrt{\frac{G(M+m_2)}{a_2^3}},\quad \tau=\frac{t}{t_K}

完整循环周期需要另行测量，以特征世俗时间为单位。