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Sandbox Physics
从远处力矩走到 Kozai–Lidov 轨道循环

AC09 · L3

比较轨迹时，分清三种不同的误差

Sandbox Physics ·

直接积分与平均曲线的差别，可能来自积分器，也可能来自快相位被平均，或伴星引力只保留到四极阶。用三个初值一致的力模型，再加一个独立积分器，才能逐项检查。比较从保存的位置与速度开始。

先把同一个初值问题写清楚

中心恒星和伴星质量都为一，内行星质量为零，因此不会反过来改变两颗恒星的圆形相对轨道。初始时两条相对位置向量都朝第一坐标轴正向。内轨位于前两个坐标方向张成的平面，外轨绕第一轴倾斜。

伴星相对中心恒星的角速度由两颗恒星总质量决定，位置随时间的表达式如下。在以中心恒星为原点的参考系里，行星同时受到中心引力、伴星引力，以及扣除原点加速的间接项。所有项都保留三维分量。

固定参照确实使用 REBOUND 5.2.2 的 IAS15 积分器计算，精度参数设为十的负十一次方，每隔零点零零五个世俗时间保存笛卡尔状态。浏览器预设读取稀疏化后的实际状态；新参数采用自适应 Dormand–Prince 积分。平均预测则从相同开普勒初值导出的两个轨道向量出发。

R(t)=a2(cos⁡n2t, sin⁡n2tcos⁡i0, sin⁡n2tsin⁡i0),n2=2a23\boldsymbol R(t)=a_2(\cos n_2t,\ \sin n_2t\cos i_0,\ \sin n_2t\sin i_0),\qquad n_2=\sqrt{\frac{2}{a_2^3}}
采用的单位令引力常数和两颗恒星质量均为一。
r¨=−rr3+R−r∣R−r∣3−RR3\ddot{\boldsymbol r}=-\frac{\boldsymbol r}{r^3}+\frac{\boldsymbol R-\boldsymbol r}{|\boldsymbol R-\boldsymbol r|^3}-\frac{\boldsymbol R}{R^3}
最后一项来自坐标原点的加速，坐标轴本身没有旋转。
r0=(1−e0,0,0),v0=(0,1+e01−e0,0)\boldsymbol r_0=(1-e_0,0,0),\quad \boldsymbol v_0=\left(0,\sqrt{\frac{1+e_0}{1-e_0}},0\right)
这组初值对应单位内轨半长轴，近心点朝第一轴正向。

对应阅读：REBOUND 5.2.2 official Kozai example and IAS15 integrator · Tremaine & Yavetz, Why do Earth satellites stay up?, arXiv:1309.5244v1

从保存状态提取密切轨道

每个保存时刻都先计算位置与速度的叉积，再按下式计算偏心率向量。向量长度是密切偏心率，角动量与外轨轴的夹角是互倾角。这里没有额外生成正弦曲线，也没有独立编造偏心率历史。

由于伴星与行星交换能量，内轨二体能量会变化。圆伴星问题存在另一种守恒量：旋转哈密顿量。它的末项减去外轨角速度乘以轴向角动量，势能中仍要保留间接项。

这给出了很实用的误差检查。内轨开普勒能量近似不变，并不是限制性三体积分正确的判据；圆外轨的旋转哈密顿量应保持到数值精度，而密切轨道元素可以振荡。科学测试还沿完整力方程对这个量求导，独立检查导数为零。

h=r×v,e=v×h−rr,cos⁡i=h⋅n^2h\boldsymbol h=\boldsymbol r\times\boldsymbol v,\quad \boldsymbol e=\boldsymbol v\times\boldsymbol h-\frac{\boldsymbol r}{r},\quad \cos i=\frac{\boldsymbol h\cdot\hat{\boldsymbol n}_2}{h}
采用单位中心引力参数。倾角与偏心率都从同一条笛卡尔记录提取。
K=v22−1r−1∣R−r∣+R⋅rR3−n2h⋅n^2K=\frac{v^2}{2}-\frac1r-\frac1{|\boldsymbol R-\boldsymbol r|}+\frac{\boldsymbol R\cdot\boldsymbol r}{R^3}-n_2\boldsymbol h\cdot\hat{\boldsymbol n}_2
这个不变量适用于圆外轨、牛顿引力和无质量测试粒子的直接参照。

对应阅读：REBOUND 5.2.2 official Kozai example and IAS15 integrator · Tremaine & Yavetz, Why do Earth satellites stay up?, arXiv:1309.5244v1

先检查积分器，再评价物理近似

默认参数的前三个世俗时间内，浏览器自适应积分与独立 IAS15 保存状态比较，最大偏心率差约为千万分之四，最大位置差约为内轨半长轴的万分之八，旋转哈密顿量漂移约为所用能量单位的亿分之四。位置对快速公转相位更敏感，因此残差比偏心率明显。

这些误差小于默认直接轨迹与平均轨迹之间百分量级的偏心率差。它们针对声明区间提供了参考检查，不能自动担保任意长时间、任意参数下都具有相同精度。

平均求解器还有另一组检验：对瞬时潮汐势做有限数值轨道积分，检查平均势的符号和尺度；保留原始向量，检查正交、长度、哈密顿量和轴向投影。这样既检验步长，也检验模型的归一化。

对应阅读：REBOUND 5.2.2 official Kozai example and IAS15 integrator · Tremaine & Yavetz, Why do Earth satellites stay up?, arXiv:1309.5244v1

第三种力模型把平均近似单独拿出来

完整牛顿直接积分保留伴星势的所有阶，而双平均曲线还删去了四极阶以后的项。两者之差同时包含平均和多极截断。

公开材料增加一个中间对照：用 IAS15 积分瞬时四极潮汐加速度，保留内外轨快速时钟。它与双平均四极曲线相比，只改变平均；它与完整牛顿力相比，则在相同初值下改变空间多极截断。

互倾角七十五度、外内半长轴比为六时，完整力、瞬时四极、双平均的测量周期分别为五点零零五、四点八一零、四点六七零个世俗时间。改变外轨平滑窗口后，瞬时四极周期落在四点七四五至四点八一零之间。把半长轴比增至二十，三个周期分别为四点六七五、四点六六五、四点六七零。它们是有限记录的测量结果，不是普遍修正系数。

做一个具体比较：用紧凑瞬时四极周期减去双平均周期，再除以双平均周期，得到约百分之三的相对偏移。换成完整力周期，偏移约为百分之七。把全部差别都称作平均误差，会把空间截断的影响归错原因。

紧凑系统会逐渐积累明显相位差。非线性演化也改变了有限记录实际采到的周期位置，因此两种周期偏移未必能线性相加。三个模型能指出哪些近似影响了当前问题，原始轨迹则允许继续换一种统计量分析。

aQ,tidal=1R3[3(r⋅R^)R^−r]\boldsymbol a_{Q,\mathrm{tidal}}=\frac{1}{R^3}\left[3(\boldsymbol r\cdot\hat{\boldsymbol R})\hat{\boldsymbol R}-\boldsymbol r\right]
中间直接参照截断空间展开，但保留外轨相位，中心恒星引力仍然存在。

对应阅读：Liu, Muñoz & Lai, Short-range forces in triple systems, arXiv:1409.6717v2 · REBOUND 5.2.2 official Kozai example and IAS15 integrator · Klein & Hamilton, Short-range forces beyond double averaging, arXiv:2606.19456v1

声明的物理问题到哪里，就在哪里停下

近极轨预设还没完成一次循环，就到达近星排除边界。完整力保存记录终止于二点一八零个世俗时间，平均记录约在二点一六零终止。程序保留最后一个成功状态，不延长后面的曲线，也不从这段跃升中报告完整周期。

自定义直接记录还会在靠近伴星、内轨密切椭圆失去束缚、出现非有限值或积分预算耗尽时停止。这些边界把记录限制在可用区间；碰撞和潮汐瓦解需要额外的物理模型。场景中的天体半径经过示意放大。

主场景显示平均后的椭圆及其平面，快速公转相位已经去掉。伴星标记用于改变外轨平面，不表示与内轨某点同时测量的位置。内外轨采用分别声明的显示放大率，数值记录仍保留真实单位；直接轨迹及差值放在独立数据行。

比较需要交代每条曲线的力模型、初始状态、实际完成的时间，以及测量的量。另一位读者才能用同一组保存实验，继续提出更具体的物理问题。

对应阅读：REBOUND 5.2.2 official Kozai example and IAS15 integrator · Liu, Muñoz & Lai, Short-range forces in triple systems, arXiv:1409.6717v2

保存的数值例子与计算方法

合成动力学单位令引力常数、两颗恒星质量和初始内轨半长轴均为一。平均原始向量采用 RK4，最大世俗步长为零点零零一；直接参照为固定 REBOUND 5.2.2 IAS15 状态，保存间隔为零点零零五个世俗时间。

默认完整力峰时刻τ1=2.510,τ2=7.565\tau_1=2.510,\quad\tau_2=7.565
默认直接与平均周期Pfull/tK=5.055,PDA/tK=5.025P_{\mathrm{full}}/t_K=5.055,\quad P_{\mathrm{DA}}/t_K=5.025
紧凑系统，初始互倾角均为七十五度A=6:P/tK=5.005, 4.810, 4.670A=6:\quad P/t_K=5.005,\ 4.810,\ 4.670
宽层级系统，初始互倾角均为七十五度A=20:P/tK=4.675, 4.665, 4.670A=20:\quad P/t_K=4.675,\ 4.665,\ 4.670
近极轨实际完成区间τfull=2.180,τDA=2.160\tau_{\mathrm{full}}=2.180,\quad\tau_{\mathrm{DA}}=2.160

紧凑与宽层级两行依次列出完整牛顿、瞬时四极和双平均四极周期。周期来自一个外轨周期平滑后的分组偏心率峰，近极轨的停止片段没有完整周期。

亲手改变轨道交换

  1. 比较宽层级与紧凑层级预设，两者都从七十五度开始，便于判断直接轨迹与平均预测为何越来越不同。
  2. 改变倾角后导出记录，在合画偏心率前，核对直接力模型、实际完成区间，以及平均模型的相对论系数。

练习与解释性答案

  1. 完整直接轨迹偏离双平均，但瞬时四极与双平均很接近，应优先怀疑哪项近似？

    展开解释

    对这个观测量和时间区间，多极截断更值得检查。中间对照没有显示出同等大小的平均误差；解释之前仍要验证数值积分收敛。

  2. 位置残差增长，但偏心率残差很小，怎样继续判断？

    展开解释

    检查旋转哈密顿量，以更严格容差重复积分，并分别比较快相位与密切轨道形状。快相位通常比慢变偏心率更敏感。

  3. 把问题推广到偏心外轨，还能照用这里的圆外轨时钟和旋转哈密顿量吗？

    展开解释

    不能。伴星速度和距离随时间变化，圆外轨旋转不变量不再以此形式成立，平均后还可能保留八极项。应先写清新的开普勒时钟，再选择适合该时变力的诊断量。

来源与计算范围

  1. Tremaine & Yavetz, Why do Earth satellites stay up?, arXiv:1309.5244v1

    固定为2013年9月20日版本，DOI10.1119/1.4874853。势函数18、向量方程23、条件24和第IV节给出四极模型及近圆轨道临界角极限。

  2. Liu, Muñoz & Lai, Short-range forces in triple systems, arXiv:1409.6717v2

    固定为2015年1月7日版本，DOI10.1093/mnras/stu2396。阅读第2–4节、四极势7、八极势8、GR项32–33/42和图3–4、7。浏览器采用圆外轨、测试粒子四极模型，导读继续阅读更完整的模型。

  3. REBOUND 5.2.2 official Kozai example and IAS15 integrator

    官方例程用于选择独立直接积分参照。固定轨迹使用REBOUND 5.2.2、源提交c34134716cd484ed9cdb9f7d54ef8d859bdf547d、IAS15 精度参数为十的负十一次方，初值与停止条件另行列明。软件采用GPL-3.0-only，Lab没有复制发布者代码。

  4. Klein & Hamilton, Short-range forces beyond double averaging, arXiv:2606.19456v1

    固定阅读2026年6月17日预印本v1，另有八月v2。图1区分平均和物理选择，图2–3展示周期变化，附录B与直接N体例子比较。本页导读原文，浏览器没有复现其中单平均GR及潮汐计算。

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