温度和引力怎样决定大气的高度

先托住一薄层气体

取一根很细的静止气柱。底面的压强向上推，顶面的压强向下推，两者之差必须托住中间气体的重量。沿着远离行星的方向走，压强便逐渐下降。

用 $r$ 表示到行星中心的距离，单位为米，向外为正。压强 $P$ 的单位是帕；质量密度 $\rho$ 的单位是每立方米千克； $g(r)$ 表示朝内引力加速度的正数大小。

让薄层厚度为 $dr$ ，把压强力之差除以面积和厚度，便得到局部的压强变化率 $dP/dr$ 。负号来自向外为正的坐标约定，气体密度仍是正数。

\frac{dP}{dr}=-\rho(r)g(r)

静力平衡描述不流动的薄层：压强梯度托住重量，径向向外取正。

对应阅读：Heng and Kitzmann (2017) · Transmission spectra and the radius–pressure degeneracy · Feinstein et al. (2023) · Early Release Science of WASP-39 b with JWST NIRISS

把压强接到气体粒子上

数密度 $n$ 表示每立方米有多少个气体粒子；温度 $T$ 用开尔文表示。Boltzmann常量 $k_B$ 把温度换成能量尺度，平均粒子质量 $\bar m$ 再把数密度换成质量密度。

这里数的不全是分子，也包括氦原子。冻结的背景气体按粒子数含百分之八十五氢分子、百分之十五氦原子；水占据其中给定的一部分数目。

下面用 $x$ 表示水的数目占比， $u=1.66053906660\times10^{-27}\,\mathrm{kg}$ 表示原子质量单位。这个混合式定义了教学大气的成分，并没有计算WASP-39 b的化学平衡。

P=nk_BT,\qquad \rho=n\bar m

先用理想气体关系联系压强、数密度和温度，再用平均粒子质量联系数密度与质量密度。

\frac{\bar m}{u}=(1-x)\bigl(0.85\times2.01588+0.15\times4.002602\bigr)+18.010565x

各系数是以原子质量单位计的粒子质量。水更多时，吸收体更多，平均粒子质量也会改变。

对应阅读：Heng and Kitzmann (2017) · Transmission spectra and the radius–pressure degeneracy · Chubb et al. (2021) · ExoMolOP cross sections and k-tables

从指数下降得到尺度高度

先看一小段高度，让引力大小几乎不变。温度与成分也保持不变。把理想气体关系代入力平衡，压强每增加一点高度，都会按当前压强的一定比例下降。

分开压强与距离，可写成 $dP/P=-dr/H_0$ 。把沿路这些小变化加起来，左边得到自然对数。自然对数是指数函数的反函数， $\ln e=1$ ；每升高一个尺度高度，压强便乘上 $e^{-1}$ ，约为原来的0.368。

参考压强 $P_0$ 必须对应一个具体参考半径 $R_0$ 。尺度高度描述局部下降速率，并不是一道坚硬的大气顶，也不直接等于云层厚度。

H_0=\frac{k_BT}{\bar m g_0},\qquad P(r)\simeq P_0\exp\!\left[-\frac{r-R_0}{H_0}\right]

这是恒定引力、薄层条件下的指数近似；完整计算采用下一节的球形关系。

对应阅读：Heng and Kitzmann (2017) · Transmission spectra and the radius–pressure degeneracy · Feinstein et al. (2023) · Early Release Science of WASP-39 b with JWST NIRISS

高度大了，就保留引力的变化

气体若延伸几千千米，上端感受到的引力已经小了一些。把恒定引力换成距离平方反比，再沿高度积分。

固定行星质量记为 $M_p$ ，单位为千克；Newton引力常量记为 $G$ ，单位为 $\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$ 。参考引力 $g_0=g(R_0)$ 取在参考半径处。

现在径向积分是 $\int_{R_0}^{r}dr^\prime/(r^\prime)^2=1/R_0-1/r$ 。代回压强平衡，就得到球形压力律。高度远小于参考半径时， $1-R_0/r\simeq(r-R_0)/R_0$ ，前面的指数下降便重新出现。

这套等温静止模型需要有限外边界。把球形等温公式一直延伸到无穷远，压强会留下一个非零极限；要接到逃逸气体，应另算流动。这里在给定的很低压力处结束大气，并单独检查移动顶边界会让结果改变多少。

g(r)=\frac{GM_p}{r^2},\qquad \ln\frac{P(r)}{P_0}=-\frac{R_0}{H_0}\left(1-\frac{R_0}{r}\right)

参考引力由固定行星质量与所选参考半径计算，层内温度和成分保持不变。

对应阅读：Heng and Kitzmann (2017) · Transmission spectra and the radius–pressure degeneracy · Feinstein et al. (2023) · Early Release Science of WASP-39 b with JWST NIRISS

例题，把一巴云顶放到正确高度

一巴等于十万帕。保存的合成例子采用0.28个木星质量和0.932个太阳半径。十巴参考半径是恒星半径的0.133倍，约为八万六千二百千米。温度1100开尔文，水的数目占比为万分之一，对应平均粒子质量约2.315个原子质量单位。

先按引力公式计算，参考处的加速度约为4.77米每二次方秒。再代入尺度高度关系，得到约828千米。分子是能量，分母是单个粒子受到的力，作比确实给出长度。

一巴云顶比十巴参考压力低十倍。把球形压力律反解成半径，便得到下面的式子。恒定引力估计约1910千米，球形计算约1950千米；上方引力较弱，气体延伸得稍远。

压力标签与可见云环由此接在一起。把云移到较低压力处，就是沿同一套大气把不透明表面抬高，并没有另外换一条温度曲线。

r(P)=\frac{R_0}{1-(H_0/R_0)\ln(P_0/P)}

分母必须为正；保留的参数范围还让有限大气远离静力公式的奇异极限。

对应阅读：Heng and Kitzmann (2017) · Transmission spectra and the radius–pressure degeneracy · Chubb et al. (2021) · ExoMolOP cross sections and k-tables

高度尺度还不是谱带高度

尺度高度告诉我们气体放在哪里，却还没回答某个波长在哪一层被挡住。还需要吸收截面，以及光线掠过大气时经过的长度。很稀薄的外层，也可能对强吸收波长十分重要。

增加水含量，会同时增加吸收体，并让混合气体稍重、压力尺度稍短。完整透射计算同时保留这两件事。改变温度时，气体的高度分布和真实分子截面也都会变化。

一个谱带高度还要结合光路与截面，才能约束丰度。下一章沿着掠射路径求吸收，再把整个大气环少掉的光加起来。

对应阅读：Heng and Kitzmann (2017) · Transmission spectra and the radius–pressure degeneracy · Chubb et al. (2021) · ExoMolOP cross sections and k-tables

不打开Lab也能核对的保存计算

这组合成例子固定行星质量为0.28个木星质量，恒星半径为0.932个太阳半径，十巴半径比为0.133。温度1100开尔文，水数目占比万分之一，云压一巴，未掩食冷区占比为零；背景粒子数含百分之八十五氢分子和百分之十五氦原子。

计算从十巴到一百亿分之一巴有限顶边界取384个压力壳层，保留15,084个原生截面采样、压力相关截面及74个独立顶帽分箱。数值描述教学大气，没有拟合实测点。

量	保存结果	方法
参考引力	$4.770\,\mathrm{m\,s^{-2}}$	固定行星质量，取十巴半径处
局部压力尺度高度	$828.1\,\mathrm{km}$	单粒子热能与粒子重力之比
一巴云顶高度	$1949.9\,\mathrm{km}$	引力平方反比等温压力律
行星分箱最小深度	$18614.9\,\mathrm{ppm}$	先原生传输，后光子分箱
行星分箱最大深度	$20882.7\,\mathrm{ppm}$	同一气体、云与恒星响应

纸笔复算采用以下SI常量：

M_J=1.89813\times10^{27}\,\mathrm{kg}

R_\odot=6.957\times10^8\,\mathrm{m}

G=6.67430\times10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}

k_B=1.380649\times10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-1}}

先算参考半径与引力，再算尺度高度和云顶半径；完整光谱还需要公开截面输入与L2积分。

先预测高度，再改变大气

重置并记下尺度高度。保持水占比、云顶压力和参考半径，先预测温度1500开尔文时的值。
只改变“大气温度”，等计算完成后比较高度读数与比例预测，再看光路透过率怎样改变。
回到1100开尔文。在进阶设置里，把十巴半径比从0.133改到0.140，行星质量保持不变。用引力平方反比解释尺度高度为什么升到约918千米。

练习与解释性答案

保持成分、行星质量和参考半径不变。温度从1100升到1500开尔文，尺度高度怎样变化？
展开解释
这些条件下，尺度高度与温度成正比。828千米乘以1500与1100之比，得到约1130千米。这一步预测高度尺度，各个谱带的变化还取决于随温度改变的分子截面。
单独做一次尺度高度迁移练习：同样温度与引力下，把平均粒子质量换成28个原子质量单位，估计新高度。
展开解释
尺度高度与平均粒子质量成反比。828千米乘以2.315与28之比，约为68.5千米。这一步只计算压力尺度；若要计算这种不同气体的光谱，还要提供适用的吸收与展宽输入。
仍从十巴参考面出发，把云顶压力改成一毫巴。恒定引力与球形计算还会给出相同高度吗？
展开解释
压强比现在是一万。恒定引力得到约7630千米，球形公式得到约8370千米，相差约740千米。上层引力更弱，局部指数近似对延展高度的低估逐渐变大。

来源与计算范围

Feinstein et al. (2023) · Early Release Science of WASP-39 b with JWST NIRISS
已发表，Nature 614，670–675。核读图1至图3及谱提取、光变与大气模型方法。教程使用作者发布的固定nirHiss光谱，选取74个一阶分箱，没有重做论文的完整化学与云检索。
Heng and Kitzmann (2017) · Transmission spectra and the radius–pressure degeneracy
固定接受稿arXiv 1702.02051v2，对应MNRAS 470，2972–2981，DOI 10.1093/mnras/stx1453。第2.2节推导薄大气、恒定引力极限；第3.2至3.3节讨论参考半径与压力。本课程另行推导随距离变化引力的扩展。
Chubb et al. (2021) · ExoMolOP cross sections and k-tables
A&A 646，A21；核读第3.1至3.3节和表1至表3。真实采样截面产品给出压力、温度、波数及每分子的平方厘米截面。近似氢氦展宽和源分辨率保留为模型条件。