沿掠射光路算吸收，再把少掉的光加起来

让分子截面遇到一段路程

吸收截面 $\sigma_\lambda$ 是每个分子的有效吸收面积，单位为每分子平方米。乘以水分子数密度 $nx$ ，得到单位为每米的吸收系数 $\chi_\lambda$ ，表示一小段路程带来的相对衰减。

穿过一小段 $ds$ 时，相对强度变化为 $dI_\lambda/I_\lambda=-\chi_\lambda ds$ 。沿途把这些相对损失积起来，便得到无量纲光学厚度；取指数后才是剩余光强。这里没有散射回光路，也没有大气自身发射。

冻结的水截面产品含800至1600开尔文的九个温度点，以及真实压力维度。计算对截面的自然对数，在温度与对数压力上作线性插值；先把每分子平方厘米换成每分子平方米，再乘SI数密度。

\chi_\lambda(r)=n(r)x\sigma_\lambda[T,P(r)],\qquad \frac{dI_\lambda}{ds}=-\chi_\lambda I_\lambda

吸收系数使用同一套静力大气的压力、数密度与成分；可见大气环没有另一套独立编造的透明度。

对应阅读：Chubb et al. (2021) · ExoMolOP cross sections and k-tables · Polyansky et al. (2018) · The POKAZATEL water line list

算出光线穿过每个球壳的长度

用 $b$ 表示光线离行星中心最近的距离，称为冲量参数；用 $z$ 表示沿光线的坐标，最近处取零。一个直角三角形就给出沿途的径向距离。球对称时，前后两半路程相同。

气柱从十巴参考面延伸到一百亿分之一巴的指定顶边界，有限外半径记为 $R_t$ ，单位为米。云挡住低于自身半径的光线；沿同一气柱移动云，只改变遮挡范围。

数值计算把压力区间分为384个对数均匀球壳，每层采用中点处的吸收系数，但光线在壳内走过的长度用精确几何求得。对源产品的每个采样波长分别累加。画面中四个波段的光线，也直接采用这份记录里的分层吸收系数。

r^2=b^2+z^2,\qquad \tau_\lambda(b)=2\int_0^{\sqrt{R_t^2-b^2}}\chi_\lambda\!\left(\sqrt{b^2+z^2}\right)\,dz

顶边界半径明确保留。穿进云内的光线被完全遮挡；从有限大气之外经过的光线完全透过。

\mathcal T_\lambda(b)=e^{-\tau_\lambda(b)},\qquad B_\lambda(b)=1-\mathcal T_\lambda(b)

透过率与挡光比例均在零到一之间；先算挡光比例，之后才做波长平均。

对应阅读：Heng and Kitzmann (2017) · Transmission spectra and the radius–pressure degeneracy · Chubb et al. (2021) · ExoMolOP cross sections and k-tables

掠射为什么格外敏感

一个独立的薄大气近似，可以帮助检查几何。暂时取恒定引力、指数密度，并让有效路程内的截面近似不变。在最近点附近，把径向距离展开到沿程距离的二次项。

代入指数密度后，沿光路出现 $\exp[-z^2/(2bH)]$ 。它的积分是高斯积分，因此得到下面的平方根因子。与竖直柱密度 $n(b)H$ 相比，掠射柱密度多了 $\sqrt{2\pi b/H}$ 倍。

取半径约八万六千二百千米、尺度高度828千米，这个倍数约为25.6。难怪外侧很稀薄的气体也能影响凌星。真实截面随压力改变，球形大气也会延展，所以这个倍数只是在明确极限下的检查，不能取代完整积分。

r\simeq b+\frac{z^2}{2b},\qquad \tau_\lambda(b)\simeq n(b)x\sigma_\lambda\sqrt{2\pi bH}

此近似要求薄而等温的指数大气、近似不变的截面，以及足够远的顶边界。

对应阅读：Heng and Kitzmann (2017) · Transmission spectra and the radius–pressure degeneracy · Chubb et al. (2021) · ExoMolOP cross sections and k-tables

从一条光线走到整个挡光面积

半径 $b$ 、宽度 $db$ 的窄环，面积为 $2\pi b\,db$ 。乘上这一圈的挡光比例，累加云顶上方所有窄环，再加云本身完全遮住的圆盘，最后除以恒星圆盘面积。

气体完全透明时，只剩云的圆盘面积；气体完全不透明时，有效圆盘可以延伸到有限顶边界。两者之间，光学厚度为一的窄环挡住约百分之六十三点二的光；它并没有突然变成一道坚硬边缘。

数值面积积分对同一气柱记录中的正挡光比例，在冲量参数平方上作分段线性插值；顶边界补上零值。保存的检验还另建一套以云顶为起点的积分网格，检查云边界移动时的结果。

D_\lambda=\frac{R_c^2+2\int_{R_c}^{R_t}b\,[1-e^{-\tau_\lambda(b)}]\,db}{R_\star^2}

圆周率在分子分母约掉，深度是无量纲比例，乘一百万后以ppm表示。这里比较均匀亮度面积模型与上游已经处理临边昏暗的拟合半径谱。

对应阅读：Heng and Kitzmann (2017) · Transmission spectra and the radius–pressure degeneracy · Feinstein et al. (2023) · Early Release Science of WASP-39 b with JWST NIRISS

先做传输，再统计光子

探测器统计一段波长范围内的光子。同样能量流下，波长更长的单个光子能量更低，因此光子权重还要乘波长。Planck常量和光速在损失光子数与总光子数之比中约去。

先取均匀的正常光球。它的物理表面流量决定下面的光子权重；一个观测分箱的响应，就是统计这批光子时采用的波长窗口。

公开观测表提供横向半宽；本题把它明确当成74个分箱各自的顶帽响应。这是对上游测量的近似，没有恢复真实NIRISS通量响应或重新提谱。原表边界有微小重叠和空隙，各分箱独立积分，照样保留。

若先平均截面再求透过率，通常会给出不同答案。窄而强的吸收已经接近全黑，透明间隙仍然透光，指数关系不能与平均任意交换。计算先求每个原生波长的挡光面积，再加光子权重。

D_i^{\rm planet}=\frac{\int W_i(\lambda)\,\lambda F_{\lambda,\rm phot}\,D_\lambda\,d\lambda}{\int W_i(\lambda)\,\lambda F_{\lambda,\rm phot}\,d\lambda}

在已说明的顶帽响应下，按正常光球的光子数平均行星深度。

对应阅读：WASP-39 b NIRISS author data · Zenodo 7709712 and fixed repository commit · Chubb et al. (2021) · ExoMolOP cross sections and k-tables · Stuitje · PHOENIX medium-resolution stellar spectra, version 1.0

再让未掩食恒星改变分母

现在让可见恒星盘的投影面积占比 $f$ 来自冷区，行星仍然只经过正常光球。少掉的光子带着正常光球的谱，而凌星前总光的分母混有正常与冷区成分。

两种谱都取自真实冻结的PHOENIX表面流量产品，单位相同，计算保留共同物理归一化。若先把各自连续谱归一化，就会抹去这里要计算的一部分反差。

用损失光子数除以混合分母，再整理成第二个式子，就得到分箱后的冷区与正常光球流量比。冷区更暗，同一片行星影子便显得更深；两种源谱相同时修正严格等于一，冷区占比为零时则回到原本行星深度。

D_i^{\rm app}=\frac{\int W_i(\lambda)\,\lambda F_{\lambda,\rm phot}\,D_\lambda\,d\lambda}{\int W_i(\lambda)\,\lambda[(1-f)F_{\lambda,\rm phot}+fF_{\lambda,\rm spot}]\,d\lambda}

被掩食处都是正常光球，冷区完全位于凌星弦外，每种成分内部亮度均匀。

D_i^{\rm app}=\frac{D_i^{\rm planet}}{(1-f)+f q_i},\qquad q_i=\frac{\int W_i\lambda F_{\lambda,\rm spot}\,d\lambda}{\int W_i\lambda F_{\lambda,\rm phot}\,d\lambda}

在定义好的响应下，这是对已完成光子加权的行星深度作严格代数修正。

对应阅读：Rackham, Apai and Giampapa (2019) · The Transit Light Source Effect II · Stuitje · PHOENIX medium-resolution stellar spectra, version 1.0 · Husser et al. (2013) · A PHOENIX library of stellar atmospheres and spectra

带着近似一起读结果

模型只保留氢氦背景中的水吸收和不透明灰云，没有碰撞诱导吸收、其他分子、随波长变化的气溶胶、散射、折射、风或三维晨昏结构。一条曲线像某个谱带，并不会自动补齐这些遗漏过程。

源截面的分辨本领约为一万五千，原生采样不等于新算了一份逐线高分辨光谱。径向积分和输入量化检验只建立该产品内部的数值一致性，没有证明线翼、展宽或源采样本身的物理精度。

五个预设的敏感性检查中，原生波长隔点取样会让最终分箱改变约40至145 ppm，与报告的测量误差相当或更大；删去一个已知温度行，改变约3.4至31.8 ppm。这些是更粗源表示的变化，既不是高斯误差条，也不能界定未知精确光谱的误差。每份后验始终以保留的完整采样产品为条件。

低于源产品最小压力时，截面固定在最低压力行，数密度继续下降。改变这一处理，或移动有限顶边界，都另记为敏感性检查；它们不构成全部截面与大气模型误差的上界。下一章做推断时，这些限制仍然存在。

对应阅读：Chubb et al. (2021) · ExoMolOP cross sections and k-tables · Heng and Kitzmann (2017) · Transmission spectra and the radius–pressure degeneracy · Feinstein et al. (2023) · Early Release Science of WASP-39 b with JWST NIRISS

不打开Lab也能核对的保存计算

这组合成例子固定行星质量为0.28个木星质量，恒星半径为0.932个太阳半径，十巴半径比为0.133。温度1100开尔文，水数目占比万分之一，云压一巴，未掩食冷区占比为零；背景粒子数含百分之八十五氢分子和百分之十五氦原子。

计算从十巴到一百亿分之一巴有限顶边界取384个压力壳层，保留15,084个原生截面采样、压力相关截面及74个独立顶帽分箱。数值描述教学大气，没有拟合实测点。

量	保存结果	方法
参考引力	$4.770\,\mathrm{m\,s^{-2}}$	固定行星质量，取十巴半径处
局部压力尺度高度	$828.1\,\mathrm{km}$	单粒子热能与粒子重力之比
一巴云顶高度	$1949.9\,\mathrm{km}$	引力平方反比等温压力律
行星分箱最小深度	$18614.9\,\mathrm{ppm}$	先原生传输，后光子分箱
行星分箱最大深度	$20882.7\,\mathrm{ppm}$	同一气体、云与恒星响应

纸笔复算采用以下SI常量：

M_J=1.89813\times10^{27}\,\mathrm{kg}

R_\odot=6.957\times10^8\,\mathrm{m}

G=6.67430\times10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}

k_B=1.380649\times10^{-23}\,\mathrm{J\,K^{-1}}

先算参考半径与引力，再算尺度高度和云顶半径；完整光谱还需要公开截面输入与L2积分。

把大气环、光路和分箱接起来

重置，选择1.4微米光路波段。沿着掠射光进入吸收环，对照下面光学厚度图，看哪段开始明显变暗。
把金色云顶手柄向外拖。同一批较低光线在云面被挡住，光谱中的分子反差也会减小；同时读云顶压力与半径。
选择“带斑恒星”，比较行星曲线与表观曲线。保持气柱不动，切换冻结的冷区温度，解释两条曲线为什么随波长拉开。

练习与解释性答案

两个波长权重相同，光学厚度分别为零和十。平均透过率与“平均光学厚度对应的透过率”各是多少？
展开解释
真正平均透过率约为二分之一，因为一个波长透明，另一个几乎全黑。平均光学厚度是五，对应指数透过率仅约0.00674。观测分箱应保留各波长分别传输后的光，再求平均。
一条光线的光学厚度是一。如果几何与截面不变，水分子数密度翻倍，挡光比例也翻倍吗？
展开解释
光学厚度变为二，挡光比例却只从约0.632升到约0.865。窄环接近不透明后，再增加吸收体，新增挡光量逐渐减小。这道题固定了几何；完整混合气体中，平均粒子质量还会略变。
一个分箱的冷区与光球流量比为0.6，未掩食冷区占比为0.05。原本20,000 ppm的行星深度会变成多少？
展开解释
恒星分母是0.95加0.05乘0.6，等于0.98；表观深度约20,408 ppm。若冷区在所有分箱的光谱都与光球相同，修正严格等于一，不受面积占比影响。

来源与计算范围

Feinstein et al. (2023) · Early Release Science of WASP-39 b with JWST NIRISS
已发表，Nature 614，670–675。核读图1至图3及谱提取、光变与大气模型方法。教程使用作者发布的固定nirHiss光谱，选取74个一阶分箱，没有重做论文的完整化学与云检索。
WASP-39 b NIRISS author data · Zenodo 7709712 and fixed repository commit
归档数据采用CC BY 4.0；精确CSV取自作者仓库固定提交0608071e1e70ec7ff12707774ea03ace4b52ea85，仓库另附MIT许可。公开出处文件保存原始字节、选行规则、单位与SHA256，没有整取归档。
Heng and Kitzmann (2017) · Transmission spectra and the radius–pressure degeneracy
固定接受稿arXiv 1702.02051v2，对应MNRAS 470，2972–2981，DOI 10.1093/mnras/stx1453。第2.2节推导薄大气、恒定引力极限；第3.2至3.3节讨论参考半径与压力。本课程另行推导随距离变化引力的扩展。
Chubb et al. (2021) · ExoMolOP cross sections and k-tables
A&A 646，A21；核读第3.1至3.3节和表1至表3。真实采样截面产品给出压力、温度、波数及每分子的平方厘米截面。近似氢氦展宽和源分辨率保留为模型条件。
Polyansky et al. (2018) · The POKAZATEL water line list
主水同位素线表的一手说明。交付的截面是ExoMolOP衍生产品，没有重新计算完整线表。ExoMol数据及本题截面衍生文件保留CC BY-SA 4.0。
Husser et al. (2013) · A PHOENIX library of stellar atmospheres and spectra
恒星模型库的一手说明。冻结输入采用另行固定版本的中分辨率衍生产品Zenodo 17674612，1.0版，CC BY 4.0。真实ASCII单位是纳米与每平方厘米、每秒、每纳米的尔格，光谱保留未缩放表面流量。
Stuitje · PHOENIX medium-resolution stellar spectra, version 1.0
三个精确源成员的温度为3500、4500与5500开尔文，cgs对数引力4.5，太阳金属丰度及零alpha增丰。公开包保留原始成员、ZIP偏移、CRC32、SHA256与CC BY 4.0出处。有效光谱分辨率为5000，过采样不会提高有效分辨率。
Rackham, Apai and Giampapa (2019) · The Transit Light Source Effect II
固定arXiv 1812.06184v1，对应AJ 157，96，DOI 10.3847/1538-3881/aaf892。第III.1节式3至式6定义未掩食区域修正及均匀亮度近似；第IV.3节说明，通常活跃程度的F、G、K型恒星分子污染一般较弱。